Tayanch iboralar va tushunchalar

4.16. SIRTLAR 

                    

Reja: 

1. Sirtlar va ularning chizmada berilishi. 

2. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari.  

3. Chizilqi sirtlar. 

4. Vint sirtlar. 

Tayanch iboralar va tushunchalar

 

Sirt, algebraik sirt, transsendent sirt, kinematik sirt yasovchi, yo 'naltiruvchi,  sirtning 

karkasi, aylanish sirtlari, ikkinchi tartibli sirt, chiziqli sirt, vint sirt. 

Umumiy ma'lumotlar 

Biror chiziqning fazodagi uzluksiz harakati natijasida turli 

sirtlar

 hosil qilish 

mumkin. Sirtlarning hosil qilishning turli usullari ma'lum. 

                                           1-rasm.                                   2-rasm. 

Yasovchilarning  turiga  qarab  egri  chiziqli  yasovchi  hosil  qilgan  sirt    egri  

chiziqli sirt (1-rasm), to'g'ri chiziqli yasovchi hosil qilgan sirt chiziqli sirt (2-rasm) deb 

ataladi. Sirtlar hosil bo'lish jarayoniga qarab qonuniy va qonunsiz sirtlarga bo'linadi. 

Sirtning  hosil  bo'lishi  biror  matematik  qonunga  asoslangan  bo'lsa,  bunday  sirt 

qonuniy  sirt  deyiladi.  Doiraviy  silindr,  konus,  sfera  kabi  ikkinchi  tartibli  sirtlar  bunga 

misol bo'la oladi. 

3-rasm. 

 

 

Sirtning  hosil  bo'lishi  xech  qanday  qonunga  asoslanmagan  bo'lsa,  bunday  sirt 

qonunsiz  sirt  deb  ataladi.  Bunga  topografik  (3-rasm)  va  empirik  (tajriba  asosida 

olingan) sirtlar (4-rasm) kiradi. 

Sirtlarning berilish usullari 

Chizma geometriyada sirtlar asosan kinematik va karkas usullarda beriladi. 

Sirtlarning kinetik usulda berilishi 

Biror  chiziqning  fazodagi  uzluksiz  harakatidan  kinematik  sirt  hosil  bo'ladi. 

Kinematik  harakatning  asosiy  turlari:  ilgarilanma,  aylanma  va  bu  ikki  harakatning 

yig'indis-vintsimon harakatdir. 

Ta’rif. Yasovchisining kinematik harakati natijasida xosil bo'lgan sirt kinematik 

sirt deyiladi. 

Xarakatning  turiga  qarab,  ilgarilanma  harakat  natijasida  hosil  bo'lgan  sirt  tekis 

parallel  ko'chirish  sirti,  aylanma  harakatdan  hosil  bo'lgan  sirt  aylanish  sirti  va 

vintsimon harakat natijasida hosil bo'lgan sirt vint sirti deb ataladi. 

Tekis parallel ko'chirish sirtlari 

Ta'rif.  Yasovchining  ma'lum  yo'naltiruvchi  bo'yicha  doimo  o'z-o'ziga    parallel 

ravishda harakatlanishidan hosil bo'lgan sirt  tekis parallel ko'chirish sirti deyiladi. 

5-  rasmda  n  tekis  egri  chiziqli  yasovchining  m  egri  chiziq  bo’ylab  doimo  o'z-o'ziga 

parallel  ravishda  ilgarilanma  harakatlanishi  natijasida  hosil  bo'lgan  F  sirti  ko'rsatilgan. 

Agar  m  yo'naltiruvchi to'g'ri  chiziq bo'lsa,  silindr sirti hosil  bo'ladi.  Biror parabolani 

boshqa  parabola  bo'yicha  tekis  siljitilsa,  giperbolik  paraboloid  sirti  hosil  bo'ladi. 

Demak, bu sirtlar ham tekis parallel ko'chirish sirtlari turiga kiradi. 

Sirtlarning karkas usulida berilishi 

Ba'zi  bir  sirtlarni  aniq  geometrik  qonuniyatlar  bilan  berib  bo'lmaydi.  Bunday 

sirtlar  shu  sirt  ustida  yotuvchi  bir  nechta  nuqtalar  yoki  chiziqlar  bilan  beriladi.Sirtni 

uning  ustidagi  bir  necha  nuqtalar  yoki  chiziqlar  bilan  berilishi  uning  karkas  usulida 

berilishi  deb  yuritiladi.  Sirt  ustida  tanlangan  chiziqlar  to'plami  sirtning  karkaslari 

deyiladi (6,7-rasmlar). 

 

 

 6-rasm                                                                                        7-rasm 

Aylanish sirtlari  

Ta'rif.  Biror  tekis  yoki  fazoviy  chiziqning  qo'zg'almas  to'g'ri  chiziq  atrofida 

aylanishidan hosil bo'lgan sirt aylanish sirti deb ataladi. 

Harakatlanuvchi  chiziq  sirtning  yasovchisi,  qo'zg'almas  to'g'ri  chiziq  esa  uning 

aylanish o'qi deyiladi. Yasovchi va aylanish o'qi aylanish sirtning 

aniqlovchilarini  tashkil  qiladi.  8-rasmda  m(m',  m")    egri 

chiziqning    i(i',  i")  aylanish  o'qi  atrofida  aylanishidan  hosil 

bo'lgan  umumiy  ko'rinishdagi  aylanish  sirti  chizmada 

tasvirlangan.  Aylanish jarayonida  yasovchining  hamma  nuqtalari 

aylanalar bo'yicha harakat qilib, bu aylanalar sirtning parallellari 

deyiladi.  Aylanish  o'qidan  o'tgan  barcha  tekisliklar  meridian 

tekisliklari, ularning aylanish sirti bilan kesishish  chiziqiari esa 

sirtning  meridianlari  deyiladi.  Frontal  meridian  tekisligi  bosh 

meridian  tekisligi  hisoblanib,  uning  sirt  bilan  kesishish  chizig'i 

bosh  meridian  chizig'i  yoki  sirtning  frontal  ocherki  deb  ataladi. 

Meridian    kesimlari    ko'rsatilgan.  Bosh  meridian  V  ga  parallel  bo'lganligi  uchun 

uning frontal proyeksiyasi o'zining haqiqiy kattaligiga teng bo'ladi. 

Eng kichik radiusli parallel sirtning bo'yini, eng  katta radiusli parallel esa uning 

ekvatori    deyiladi. 8-rasmdagi  aylanish  sirtida  parallellardan  n

2

  (n

2

',n

2

'')  bo’yin,  n

3

 

(n

3

',n

3

'')  esa  ekvator  chizig’i  hisoblanadi.  Parallellar  yordamida  sirt  ustida 

nuqtalaring  proyeksiyalari  topiladi.  Masalan,    aylanish  sir  tiga  tegishli  A

1

  va  A

2

 

nuqtalarning  frontal  proyeksiyalari  A

1

'  va  A

2

''nuqtalar  berilgan  bo’lsa,  ularning 

gorizontal  proyeksiyalari  n

1

-parallelning  n'

1

-gorizontal  proyeksiyasida  topiladi. 

Ekvatorda  yotuvchi  V  nuqtaning  gorizontal  V''  proyeksiyasi  berilgan.  Uning  V'' 

frontal proyeksiyasi ekvatorning n

3

'' frontal proyeksiyasida bo’ladi. 

Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari 

Ta'rif.  Ikkinchi  tartibli  egri    chiziqlarning  o’z  o’qlaridan  biri    atrofida 

aylanishidan hosil bo'lgan sirt ikkinchi tartibli aylanish sirtlari deyiladi. 

Sfera 

9-rasmda tasvirlangan sfera ustidagi A nuqtaning A"  frontal va V nuqtaning 

V  '  gorizontal    proyeksiyalari  berilgan.  A  nuqtaning  A

1

'  va  A

2

'  gorizontal 

proyeksiyalarini  yasash  uchun  u  orqali  0

A

"1"  radiusli  parallel  o'tkaziladi.  A 

nuqtaning  gorizontal  proyeksiyalari  ana  shu  parallelning  gorizontli  proyeksiyasida 

yotadi.  A  nuqta    sferaning  oldingi  yoki  yarmida  joylashgan  bo'lishi  mumkin 

.Shuning  uchun  uning  gorizontal    proyeksiyalari  A

1

'  va  A

2

'  nuqtalar  parallelning 

gorizontal proyeksiyasida topiladi. V nuqta sfera ekvatorida yotganligi uchun uning V" 

frontal proyeksiyasi ekvatorning frontal proyeksiyasida topiladi. 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                    9-rasm 

 

Ellipsoid 

Ta'rif. Ellipsning o'z o'qlaridan biri atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirt 

aylanma   ellipsoid deyiladi. Bunda  m (m', m") – ellips va i (i', i") aylanish o’qi bilan 

ustma-ust tushadi. Ellipsning kichik o'qi atrofida aylanishidan siqiq aylanma 

ellipsoid (10-rasm), katta o'qi atrofida aylanishidan cho'ziq aylanma ellipsoid hosil 

bo'ladi (11-rasm). 10- va 11-rasmlarda ellipsoidlar ustida berilgan A va V 

nuqtalarning bitta proyeksiyasi bo'yicha ularning yetishmaydigan proyeksiyalarini 

yasash ko'rsatilgan. Yetishmaydigan proyeksiyalar parallel, meridian va 

proyeksion bog'lanish chiziqlari yordamida aniqlangan. 

 

 

 

             10- rasm                                                       11-rasm 

Paraboloid 

Ta’rif.  Parabolaning  o'z  o'qi  atrofida  aylanishidan  hosil  bo'lgan  sirt  aylanma 

paraboloid deyiladi. 

12-rasmda  m(m',  m") parabolani i(i', i") o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan 

paraboloidning proyeksiyalari berilgan va uning ustida nuqta tanlash ko'rsatilgan. 

 

 

12-rasm 

 

Giperboloid 

Ta'rif. Giperbolaning o'z mavhum yoki haqiqiy o'qi atrofida aylanishidan hosil 

bo'lgan  sirt  aylanma  giperboloid  deyiladi.  Giperbolaning  mavhum  o'q  atrofida 

aylanishidan bir  pallali aylanma giperboloid hosil bo'ladi (13-rasm).  Giperbolaning 

o'z  haqiqiy  o'qi  atrofida  aylanishidan  ikki  pallali  aylanma  giperboloid  hosil 

bo'ladi(14-rasm). 

 

 

14-rasm 

 

 

 

Tor sirti 

Ta'rif.  Biror  aylananing  shu  aylana  tekisligida  yotuvchi,  ammo  aylana 

markazidan o'tmaydigan, ixtiyoriy i o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirt tor sirti 

deyiladi. 

Yasovchi  m  aylana  radiusi  r  va  aylana  markazidan  i  o'qqacha  bo'igan  R 

masofalarning o'zaro nisbatiga ko'ra tor sirtlari turlicha bo'ladi. 



 

r

bo'lgan tor ochiq tor yoki halqa deyiladi (15,a-rasm). 



 

rqR bo'lganda yasovchi m(m', m") aylana aylanish o'qi i(i', i")ga urinadi. Bunday 

tor yopiq tor deb ataladi (15,b-rasm). 



 

r>R bo'lganda yasovchi m(m', m") aylana aylanish o'qi i(i', i")ni kesadi. Bu holda 

xosil bo'lgan tor ham yopiq tor deyiladi (15,v-rasm). 

 

                        

 

 

                                a) 

                                 b)                        v) 

15-rasm 

Qaytish qirrali yoyiladigan chiziqli sirtlar. Torslar 

Ta'rif. Biror fazoviy egri chiziqqa urinib o'tuvchi chiziqlar to'plamidan hosil bo'igan sirt 

qaytish  qirrali  sirt  deb  ataladi.  Qaytish qirrali sirtlar torslar deb ham ataladi. Bunda, 

fazoviy  egri  chiziq  sirtning  yo'naltiruvchisi,  urinma  chiziqlar  esa  uning  yasovchilari 

bo'ladi (16-rasm). 

 

Vint sirtlar 

  Ta'rif.    Biror  chiziqning  vintsimon  harakati    natijasida    hosil  bo’lgan  sirt 

vint sirti deyiladi                                               

Vintsimon  harakatlanuvchi  chiziq  sirtning  yasovchisi  bo'ladi.  Yasovchining  bir 

marta to'la aylanishida bosib o'tgan h masofa vint sirtining qadami deb ataladi. 

 

                                                 

 

16-rasm 

17-rasmda    o'q  chizig'i  va  u  orqali  o'tuvchi  tekislikda  yotgan  l  egri  chizig'i  berilgan. 

Rasmda  bu  yasovchining  vintsimon  harakati  natijasida  hosil  bo'lgan  θ  vint  sirtining 

chizmasi tasvirlangan. To'g'ri chiziqning vintsimon harakati natijasida hosil bo'igan vint 

sirtlari gelikoid deb yuritiladi. 

Vint sirtining yasovchisi( to'g'ri chizig') uning aylanish o'qini kesib o'tsa, yopiq, 

kesmasa ochiq vintsimon sirtlar (gelikoidlar) hosil bo'ladi. 

Yasovchi  to'g'ri  chiziq  vint  sirtining  o'qiga  parpendikulyar  bo'lsa,  to'g'ri  va 

perpendikulyar  bo'lmasa,  og'ma  vintsimon  sirt  (gelikoid)  deyiladi.  18-rasmda 

yo'naltiruvchilar  sifatida  i  o'q  chiziq,  m  vint  chizig'i  va  yo'naltiruvchi  konus  sirt 

berilgan. 

 

17-rasm 

                18-rasm 

 

Nazorat savollari 

1.

 

Sirt deb nimaga aytiladi? 

2.

 

Sirtning yasovchisi va yo'naltiruvchisi nima? 

3.

 

Sirtlarni hosil bo'lishining qanday usullari mavjud? 

4.

 

Sirtlarni hosil qilishning kinetik usulini tushuntirib bering. 

5.

 

Aylanish sirtlari nima va ularga misollar keltiring. 

6.

 

Aylanish sirtlarining xarakterli chiziqlari qatoriga qaysi chiziqlar kiradi? 

7.

 

Chiziqli va chiziqli bo'lmagan sirtlarning farqi nimada? 

8.

 

Qanday sirtlar yoyiladigan sirtlar qatoriga kiradi? 

9.

 

Vint sirtini hosil bo'lishini tushuntirib bering. 

10.

 

Bir pallali va ikki pallali giperboloid sirtlar qanday hosil bo'ladi? 

11.

 

Siqiq va cho'ziq ellipsoidlarning farqi nimada? 

12.

 

To'g'ri  chiziq  kesmasini  aylantirish  yo'li  bilan  qanday  sirtlar  hosil  bo'lishi 

mumkin? 

13.

 

Sirtlarni chizmada tasvirlash deganda nimani tushunasiz? 

14.

 

Sirt yuzidagi nuqta qanday aniqlanadi?