Tayanch tushunchalar: To`plam halqa, to`plamlar algebrasi, to`plamlar yarim halqasi 1-Ta`rif

2-Teorema. Har qanday to`plamlar sistemasi uchun shu sistemani o`z iciga olgan yagona minimal halqa mavjud.
Isbot. Avvalo sistema o`z ichiga olgan halqaning mavjudligini ko`rsatamiz. Buning uchun sistemaga kiruvchi barcha to`plamlarning yig`indisining orqali belgilaymiz:

Agar to`plamning barcha to`plamlaridan tuzilgan sistemaning orqali belgilasak, bu sistemani tuzilishiga asosan halqa tashkil etadi. Hamda sistemani o`z ichiga oladi. Endi sistemani o`z ichiga olgan har bir halqada joylashgan barcha halqalardan iborat sistemani orqali belgilaymiz. U halqa 1-teoremaga asosan

sistema halqa bo`lib, u teorema shartini qanoatlantiradi.
Haqiqatdan, halqa sistemani o`z ichiga olgan ixtiyoriy halqa bo`lsin. U holda 1-teoremaga asosan halqa bop`lib, bu halqa sistemani biror elementi bo`ladi. Shu sababli halqaning tuzilishiga asosan

munosabatlar o`rinlidir. Bu munosabatdan va ning sistemani o`z ichiga olgan ihtiyoriy halqaligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.
4-Ta`rif. to`plamlar sistemasi uchun SH va har qanday va uchun bo`lib, shu sistemaning va elementlari munosabatni qanoatlantirganda sistemadagi o`zaro kesishmaydigan soni chekli elementlar topilsaki, ular uchun tenglik o`rinli bo`lsa, u holda sistema yarim halqa deyiladi.
Yuqorida har qanday sistema uchun uni o`z ichiga olgan yagona minimal halqa mavjudligi halqadagi teoremani isbotladik. Agar qaralyotgan to`plamlar sistemasi ihtiyoriy bo`lsa, u holda halqa elementlarining ko`rinishi to`g`risida biror narsa aytish qiyin. Lekin to`plamlar sistemasi yarim halqa tashkil etsa, uni o`z ichiga olgan minimal halqaning har bir elementi qanday ko`rinishga egaligini aytish mumkin. Aniqrog`i, quyidagi teorema o`rinlidir.