Tebranishlar. Garmonik ostsillyator. Matematik va fizik mayatnik. So’nuvchi va majburiy tebranishlar. Garmonik ostsillyator energiyasi. To’lqinlar. To’lqin tenglamasi. To’lqinlarning elastik muhitda tarqalishi

So‘nuvchi tebranishlar
Erkin tushish, ya’ni og‘irlik kuchining tezlanishi og‘irlik singari balandlik va chuqurlik hamda joyning geografik kengligiga bog‘liqdir. Hamda tebranayotgan real sistemalar so‘nuvchi tebranishlarga ega, chunki sistemaga ishqalanish kuchlari yoki qarshilik kuchlari ta’sir qiladi va bu kuch quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
(29)
bunda: - qarshilik koeffitsiyenti, - harakat tezligi.
So‘nuvchi tebranishlar uchun Nyutonning 2-qonunini yozamiz:
(30)
Agar: va bo‘lsa, u paytda (25) formula quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(31)
Hosil bo‘lgan (26) formula so‘nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasi deb aytiladi. Differensial tenglamani yechish natijasida siljishning vaqtga bog‘liqligi hosil bo‘ladi:
(32)
bunda
( - natural logarifm asosi) (33)
so‘nuvchi tebranishlar amplitudasi.
(28) formuladan ko‘rinib turibdiki, tebranish amplitudasi vaqt o‘tishi bilan kamaya boradi.
So‘nuvchi tebranishlarning siklik chastotasi esa:
(34)
bunda: - .erkin, so‘nmas tebranishlarning siklik chastotasi. So‘nuvchi tebranishlarning davri esa:
(35)
So‘nuvchi tebranishlarning amplituda nisbatini va vaqt paytida topamiz.
Bunda:
(36)
yoki
(37)
- so‘nish koeffitsiyenti
(38)
bu .Yerda - so‘nishning logarifm dekrementi.
erkin tebranishlar vaqt o‘tgandan keyin bora-bora to‘xtaydi, shu sababli ulardan amalda kamdan kam foydalanadi. Istagancha uzoq vaqt davom eta oladigan so‘nmas tebranishlar esa katta amaliy ahamiyatga ega.
Majburiy tebranishlar. Rezonans.
So‘nmaydigan tebranishlarni hosil qilishning eng oson usuli sistemaga tashqi davriy ravishda o‘zgarib turuvchi kuch bilan ta’sir etishdir.
Tebranuvchi sistemada davriy ravishda o‘zgaruvchi tashqi kuch majbur etuvchi kuch ta’sirida sodir bo‘ladigan so‘nmovchi tebranishga majburiy tebranish deyiladi.
Dinamikaning asosiy tenglamasini majburiy tebranishlar uchun quyidagicha bo‘ladi:
(39)
bu .Yerda: - majburiy kuch, yoki (34) formulani quyidagi ko‘rinishda yozsak bo‘ladi:
(40)
(40) formula, majburiy tebranishlarning diff.erensial tenglamasi.
Agar
(41)
bo‘lsa va shu kuch ta’sirida hosil bo‘lgan tebranishlar garmonik bo‘lsa va
(42)
u paytda majburiy tebranishlarning amplitudasini topish k.erak. (42) formuladan biz bilamizki,
(43)
Agar shu ifodalarni (40) tenglamaga qo‘ysak, u paytda quyidagini hosil qilamiz:
(44)
(44) tenglikning hama a’zolarini ga bo‘lib chiqamiz:
(45)
Demak, (45) tenglikni shunday yozishimiz mumkin:

bunda:
(46)
(46) ifoda asosida:
(47)
(47) formula majburiy tebranishlar amplitudasining formulasi deyiladi.
Majburiy tebranishning amplitudasi tebranayotgan sistemaning xossalariga, majburiy kuchning amplitudasi va chastotasiga, hamda sistema xususiy chastotasining nisbatiga bog‘liq bo‘ladi. Sistemaga ta’sir qiluvchi majburiy kuchning chastotasi o‘zgarganda uning amplitudasi ham o‘zgaradi. Davriy ravishda o‘zgaruvchi majburiy kuchning chastotasi sistemaning xususiy chastotasiga yaqinlanishi bilan majburiy tebranishning amplitudasi ortadi va chastotalar teng bo‘lganda u maksimal qiymatga erishadi.
Tebranayotgan sistemaga ta’sir qiluvchi davriy o‘zgaruvchi majburiy kuchning chastotasi sistemaning xususiy tebranish chastotasiga tenglashganda majburiy tebranish amplitudasining keskin o‘sishiga rezonans deyiladi.