Техника и полупроводниковая электроника свч

Рис. 2.1. Для вывода телеграфных уравнений
В случае такого подхода количествен­ными характеристиками линии передачи явля­ются: погонная индуктивность L₁ (Гн/м), по­гонная ёмкость C₁ (Ф/м), погонное сопротив­ление проводников R₁ (Ом/м) и погонная про­водимость изоляции G₁ (См/м) (индекс “1” означает, что эти величины описывают свой­ства отрезка линии единичной длины).
Выведем уравнения состояния регуляр­
ной линии передачи, используя комплексные амплитуды напряжения U(z) и тока I( z) от продольной координаты. Будем считать, что зависимость от вре­мени имеет вид exp( j ш t). Представим линию как последовательное соединение отрезков длиной A z каждый, при условии A z ^ 0 такие четырёхполюсники могут быть описаны методами теории электрических цепей. Исходя из данных в виде параметров линии передачи L₁ , C₁ , R₁ , G₁ можно ввести погонное ком­плексное сопротивление Z 1 = Л^>₁ + jшL1 и погонную комплексную проводи­мость Y1 = G1 + j ш C1.
Обходя контур согласно рис.2.1, на основе второго закона Кирхгофа по­лучим:
U (z + Az)- U (z)+ Z 11( z )Az = 0.
В соответствии с первым законом Кирхгофа имеем
I( z )= I( z + Az)+ Y1Az U (z + Az).
Разностные уравнения (2.1) и (2.2) преобразуем в следующую систему уравнений:


(2.3)
U^z _'U⁽z¹ = — z.Xz)
I^{(z + A};^)-I⁽ z ) = —Y j (z. ₊ Az)
Осуществим теперь операцию предельного перехода A z ^ 0, в результа­те чего уравнения (2.3) преобразуются в систему двух обычных дифференци­альных уравнений с постоянными коэффициентами:

--- Z 11
-Y1U

(2.4)
' dU
dd
dI
~Т'-
l dz
Эта система дифференциальных уравнений получила название телеграф­ных уравнений.
Из (2.4) можно легко получить уравнение Гельмгольца относительно U или I, если обе части одного из уравнений продифференцировать по z, а потом второе уравнение подставить в полученное выражение. Тогда имеем
d ²U
- Z 1Y1U = 0. (2.5)
dz^{2 1 1}
Общее решение этого уравнение имеет вид


(2.6)
U(z) = U⁺e^{-Y z} + U ^-e^{Y z}, где U+, U- - комплексные амплитуды прямой (англ. - direct) и обратной (англ. - return) волн, которые распространяются в направлении увеличения и умень­шения координаты z, соответственно; Y — постоянная распространения, которая равняется Y = Z% ₁Y₁.
Каждое из слагаемых описывает чисто бегущую волну. В определенных ситуациях с прямой волной ассоциируется падающая (англ. - incident) волна (волна, которая распространяется от генератора), а с обратной - отраженная (англ. - reflected) волна, обусловленная отражением от нагрузки (англ. - load).
Из первого уравнения в системе (2.4) и явного вида выражения для напряжения (2.6) следует выражение для тока: