Tekislikda dekard koordinatalar sistemasi

kesishish  nuqtasining ordinatasi  v ma`lum bo‟lsa, u holda  l  to‟g‟ri  chiziq  tekislikda bir qiymati 

aniqlangan bo‟ladi.  

 

M(x,y) to‟g‟ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsin. U holda  

i

b

y

i

x

e

b

y

e

x

M

B

m















)

(

)

(

2

1















   

(1) 

Vektor l to‟g‟ri chiziqda yotadi va 

2

/







 bo‟lgani uchun tangensning ta`rifidan  

x

b

y

tg







   

(2) 

(2) dan 

b

x

tg

y







  

(3) 

М(х,у) 

у-в 

Д 

у 

Х 

А 

У 

В 

N 

O 

i    x 



 



x

 

(l) 

j 

в 

m



 

1





j

i





 

 bo‟lib, 

k

tg





 desak,  

b

kx

y





 

 

(4) 

 kelib chiqadi.  

 

Shunday  qilib  l    to‟g‟ri  chiziqning  ixtiyoriy  M(x,y)  nuqtasining  koordinatalari  (4) 

tenglamani qanoatlantiradi. 

m











,

1

 bo‟lganligi uchun 

1



m



 bo‟ladi. Demak, 

b

kx

y





 

tenglama  l  to‟g‟ri  chiziqning  tenglamasidir. 



tg

k



  miqdorni  l  to‟g‟ri  chiziqning  burchak 

koeffisiyenti, (4) tenglamaga esa to‟g‟ri chiziqning burchak koeffisiyentli tenglamasi deyiladi. v 

soni to‟g‟ri chiziqning Oy o‟qidan ajratgan kesmaning miqdorini anglatadi.  

 

Agar  to‟g‟ri  chiziq  Ox  o‟qiga  parallel  bo‟lsa  burchak  koeffisiyent  nolga  teng 

(

0







tg

k

) bo‟lib uning tenglamasi  

y=b 

 

(5) 

dan iborat bo‟ladi.  

 

Agar 

2

/







  bo‟lsa  to‟g‟ri  chiziq  Oy  o‟qiga  parallel  bo‟lib,  uning  burchak 

koeffisiyentli tenglama bilan berib bo‟lmaydi. Uning tenglamasi  

x=a 

 

(6) 

dan iborat bo‟lib, a to‟g‟ri chiziqning Ox o‟qidan ajratgan kesmaning miqdorini bildiradi.  

 

1-misol:  Ox  o‟qi  bilan 

0

120





  burchak  tashkil  qiluvchi  va  Oy  o‟qini  (0;3)  nuqtada 

kesib o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasi tuzilsin va grafigi yasalsin.  

 

Yechish: 

.

3

,

3

)

30

(

)

30

90

(

)

120

(

0

0

0

0

















b

ctg

tg

tg

k

 

(4)-formuladan 

3

3







x

y

 ni topamiz. x=0 bo‟lsa y=3, y=0 bo‟lsa 

.

3



x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х 

У 

С 

Д 

3 

2 

1 

0 

1 

2       3        4 

3

3





x

y

 

)

3

;

0

(

)

0

;

3

(

С

Д

 

3

 

120

0

 

1.  Funktsiyalarning burchak kooeffitsiyetli tenglamasi tuzilsin: (Cal.A-16) 

a) 

0

3





y

x

,  b) 

0

5

2





y

x

 c) 

2





y

 d) 

0

6

3

2







y

x

 e) 

12

4

3





y

x

 f) 

10

5

4





y

x

 

2.  Burchak koeffisienti 

;

5

2



k

 Oy o`qini  b=4 kesmada kesib o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasi 

tuzilsin. (Cal.A-15) 

3. Abssissa o`qini 1, ordinate o`qini -2 nuqtada kesib o`tadigan to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin. 

(Cal.A-15) 

4.  Abssissa  o`qini  -8,  ordinate  o`qini  6    nuqtada  kesib  o`tadigan  to`g`ri  chiziq  tenglamasi 

tuzilsin(Cal.A-15). 

7. Quyidagi chiziqlarni Oy o`qi bilan kesishgan nuqtaning koordinatasi aniqlansin: 

a)

0

3





y

x

 b) 

0

5

2





y

x

 c) 

2





y

 d) 

0

6

3

2







y

x

e)

12

4

3





y

x

 

f)

10

5

4





y

x

 (Cal.A-15).

 

8. 

Oy

 o„qidan 

4



b

 kesama ajratib  Ox  o„qi bilan 

0

135

 burchak tashkil etuvchi to„g„ri 

chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing. 

9. 

Oy

  o„qidan 

2





b

  kesma  ajratib  Ox   o„qi  bilan 

0

60

  burchak  tashkil  etuvchi  to„g„ri 

chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing. 

10. 

Koordinatlar 

boshidan 

o„tib, 

Ox  

o„qi 

bilan: 

0

0

0

0

90

).

4

,

60

).

3

,

120

).

2

,

45

).

1

  burchak  tashkil  etuvchi  to„g„ri 

chiziqlarni yasang va ularning tenglamalarini yozing. 

11.  1) 

0

15

5

3







y

x

;  2) 

0

2

3





y

x

;    3) 

2





y

;  4) 

1

4

/

4

/





y

x

  to„g„ri 

chiziqlar uchun 

k

 va 

b

 parametrlarni aniqlang. 

12. 

)

3

;

2

(

A

 nuqtadan o„tib,  Ox  o„qi bilan 

0

60

 burchak hosil qiluvchi to„g„ri chiziqni yasang 

va uning tenglamasini yozing. 

13. 

2

3





x

y

  va 

3

3

1





x

y

  to„g„ri  chiziqlar  berilgan.  Ularning  abssissa  o„qi  bilan 

tashkil qiladigan burchaklarini toping. 

14. 5х + 2у + 6 = 0 va  х + у – 6 = 0  to`g`ri chiziqlarning burchak koeffisientli tenglamasi 

tuzilsin. 

15.  Аbsisa o`qidan kesgan kesmasi 3 ga, оrdinata o`qidan kesgan kesmasi  

1 ga teng bop`lgan to`g`ri chiziq tenglamasining burchak koeffisiyentini toping . 

16. Аbsisa o`qidan kesgan kesmasi 5 ga, оrdinata o`qidan kesgan kesmasi  

1 ga teng bop`lgan to`g`ri chiziq tenglamasining burchak koeffisiyentini toping . 17. 5х - 2у + 6 

= 0  va х + у – 6 = 0 to`g`ri chiziq tenglamalarini burchak koeffisiyentini toping . 

18. 5х + 2у + 6 = 0  va  х + у – 6 = 0  to`g`ri chiziq tenglamasining burchak koeffisiyentini 

toping . 

19. А (-1;4) nuqtadan o`tib,Ох  o`qi bilan 45

0

 li burchak tashkil qilgan to`g`ri chiziq tenglamasi 

tuzilsin  

20. А (2;3) nuqtadan va   Оу o`qdan b = 6 kesmakesuvchi to`g`ri chiziq tengkamasi tuzilsin . 

 

9. Ikki to‟g‟ri chiziq orasidagi burchak. 

 

Tenglamalari bilan berilgan  l

1 

va l

2

 to‟g‟ri chiziqlarni olaylik: 

l

1 

: y=k

1

x + b

1 

l

2

 : y=k

2

x + b

2

 

 

2

2

1

1

,





tg

k

tg

k





  deb  olaylik.  Chizmadan  ko‟rinib  turibdiki,  agar  Ox  o‟qini  to‟g‟ri 

chiziqlarning kesishish nuqtasiga parallel ko‟chirsak, hamda l

1

 va l

2

 to‟g‟ri chiziqlar orasida hosil 

bo‟lgan burchaklardan birini 



bilan belgilasak, 

2

1











 bo‟ladi. 

U holda  

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

*

1

*

1

)

(

k

k

k

k

tg

tg

tg

tg

tg

tg































 

Shunday qilib, burchak koeffisiyentlari k

1

 va k

2

 bo‟lgan ikki to‟g‟ri chiziqlar orasida hosil 

bo‟lgan burchaklardan birini topish formulasi  

tg

2

1

2

1

*

1

k

k

k

k









 

 

(1) 

dan  iborat  bo‟lib,  ikkinchi  burchak  esa 





0

180

  ga  teng  bo‟lar  ekan.  Bu  formuladan 

foydalanib ikki to‟g‟ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlarini topish mumkin. 

Agar  to‟g‟ri  chiziqlar  parallel  bo‟lsa 

0





,ya`ni   

0





tg

    bo‟ladi,  bundan  esa 

0

2

1





k

k

  yoki  

2

1

k

k



 

 

(2) 

 

kelib chiqadi. 

Agar to‟g‟ri chiziqlar o‟zaro perpendikulyar bo‟lsa 

,

0

1

1

,

2

2

1

2

1













k

k

k

k

tg

ctg









demak, 

,

0

1

2

1





k

k

    

yoki 

1

2

1

k

k





 

 

(3) 

ekanligi kelib chiqadi. 

 

Shunday qilib, burchak koeffisiyentlari k

1 

va k

2

 , bo‟lgan ikki to‟g‟ri chiziqning parallellik 

sharti k

1 

= k

2

 va perpendikulyarlik sharti  

1

2

1

k

k





 dan iboratdir. 

Misol. 

 

1

2





x

y

 va 

0

2







y

x

 to‟g‟ri chiziqlar  orasidagi burchakni toping. 

Yechish: 

l

1

: y=2x+1 , k

1

=2 

l

2

: x-y-2=0. 

 

Avvalo  l 

2

  to‟g‟ri  chiziqning  burchak  koeffisiyentini  aniqlaymiz,  buning  uchun  uning 

umumiy ko‟rinishdagi tenglamasini burchak koeffisiyentli ko‟rinishga keltiramiz: 

l

2

: y=x-2, k

2

=1 

Burchakni topamiz: 

3

1

1

*

2

1

1

2











tg

 

 

0

5

,

18

3

1





arctg



 

 

 

Misollar. 

1. 

0

19

5

3







y

x

 va 

0

50

6

10







y

x

 to`g`ri chiziqlar perpendikulyar ekanligi  isbotlansin. 

(Cal.A-16). 

2. 6x-2y+5=0 va 4x+2y-7=0  to‟ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang. 

3. 1) 

0

16

15

3







y

x

,   

2) 

0

8

15

3







y

x

, 

0

13

30

6

)

3







y

x

, 

4) 

0

7

6

30







y

x

 

to„g„ri chiziqlardan qaysilari perpendikulyar va qaysilari parallel. 

4. Quyidagi to„g„ri chiziqlar orasidagi burchaklarni toping: 

1) 

9

5

7

3

/

2











x

y

x

y

; 

2) 

0

3

2

6

0

9

4

2













y

x

y

x

 

3) 

0

5

3

7

2

7

/

3













y

x

x

y

; 

4) 

1

18

/

2

/

1

5

/

4

/









y

x

y

x

 

5. 

Tomonlari 

0

18

7

,

0

4

4

3

,

0

5

3

4



















y

x

y

x

y

x

 

to„g„ri 

chiziqlarda yotgan uchburchakning ichki burchaklarini toping. 

6. 

)

5

;

4

(

A

  nuqtadan  o„tuvchi  to„g„ri  chiziqlar  dastasining  tenglamasini  yozing  va  ulardan 

0

6

3

2







y

x

 to„g„ri chiziqqa perpendikulyar va parallel bo„lganlarini ajrating. 

7. Uchburchak tomonlari  

0

9

6

7







y

x

; 

0

25

2

5







y

x

; 

0

29

10

3







y

x

 

tenglamalar bilan berilgan. Uning uchlarini va balandliklarining tenglamalarini toping. 

8.  Uchlari 

)

0

;

4

(



P

,   

)

4

;

0

(

Q

  va 

)

2

;

2

(

R

  nuqtalarda  bo„lgan  uchburchak 

medianalarining tenglamalarini topin . 

9. To‟g‟ri chiziqlar: 



















1

18

2

1

5

4

y

x

y

x

   

orasidagi burchakni toping. 

10. 

3

5

/

2









x

y

;  

7

/

2

7

/

3







x

y

 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

11. 

0

5

8

6







y

x

;   

0

3

4

2







y

x

 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

12. 

 2x – 7y + 16 = 0   vа   2y – 5x + 7 = 0   to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

13. 

 5х + 2у + 6 = 0  vа  х + у – 6 = 0  to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

14.  х + 5у – 7 = 0 (АВ), 4х – у – 1 = 0 (ВС), 6х + 8у – 35 = 0 (АС). Uchburchakni tomonlari 

tenglamasi berilgan. to„g„ri chiziqlarda yotgan uchburchakning ichki burchaklarini toping. 

15. х + 5у + 7 = 0 va  2х + 5 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

16. 2 x - y + 5 = 0 vа  y – 2x - 2 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

17. 4x – 3y + 16 = 0 vа 3y – 4x + 7 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

17. х + 5у +9 = 0 (АВ), 4х – у +1 = 0 (ВС), 6х + 8у – 35 = 0  (АС). Uchburcnakning B uchidan 

tushirilgan balandlik tenglamasi tuzilsin. 

18. 

A (2;9), B (4;-7) vа C (4;9) uchburchak uchlari bo`lsa, burchaklarini aniqlang. 

19. 

 x -2 y + 5 = 0 va  4y –2 x + 7 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

20. 5х - 2у + 6 = 0  vа  х + у – 6 = 0  to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

21. A (-7;0), B (4;-7) va C (4;0) uchburchak uchlari bo`lsa, burchaklarini aniqlang.  

22. 2 x - y + 1 = 0 vа   2x - 2 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

23. 3y + 16 = 0   vа   3y – 4x + 7 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni topilsin. 

24.  х + 5у – 7 = 0  (АВ), 4х – у – 1 = 0  (ВС), 6х + 8у – 35 = 0  (АС). uchburchak uchlari 

bo`lsa, A burchagi topilsin.  

25. х - 5у + 7 = 0  vа 2у + 5 = 0 to„g„ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 

 

10. Berilgan nuqtadan o‟tuvchi to‟g‟ri chiziqlar tenglamasi 

M(x

0

 ; y

0

) nuqta berilgan bo‟lsin. Tenglamasi y=kx+b bo‟lgan to‟g‟ri chiziq shu nuqtadan 

o‟tadigan  bo‟lishi    uchun  M(x

0

;  y

0

)  nuqtaning  koordinatalari  to‟g‟ri  chiziq  tenglamasini 

qanoatlantirishi lozim: 

y

0

=kx

0

+b 

To‟g‟ri chiziq tenglamasidan oxirgi tenglamani hadma-had ayirib, ushbuga ega bo‟lamiz: 

y-y

o

=k(x-x

0

)   

(4) 

Bu tenglamani berilgan M(x

0

;y