Tekislikda dekard koordinatalar sistemasi

TEKISLIKDA DEKARD KOORDINATALAR SISTEMASI. 

1. Analitik geometriya fani xaqida. 

 

Analitik geometriya fani turli egri chiqlarni  amaliyotda geometrik masalalarni yechishda 

zarurot tug`dirganligi natijasida kelib chiqqan  fan.  

 

Bu  maqsad  natijasida  koordinata  metodiu  yuzaga  kelgi.  Bunda  asosiy  -  hisoblash, 

yordamchisi  –yasash.Yatijada  masalalarni  yechimini  analitik  geometriya  metodi    kamroq 

tadqiqot qilishga olib krladi. 

 

Koordinata metodi  qadimgi grek matematiklarini mehnati natijasidir. 

17 asrning birinchi  yarmida  koordinata metodi  sistematik  ravishda Ferma va Dekarta ishlarida 

ko`rinadi. 

2.  Koordinatalar. 

 

Nuqtaning  koordinatalari  shunday kattalikki, u shu nuqtani qayerda joylashganini 

aniqlaydi.  

 

M  nuqtaning  biror-bir 

X

X



  to`g`ri  chiziqda  yotsin,  u  holda  nuqtani    joylashishini  bitta 

nuqta  bilan  yozish  mumkin. 

X

X



  to`g`ri  chiziqda  bosh  0  nuqtani  tanlaymiz,  OM  kesmani 

o`lchaymiz, masalan santimetrda. Biz x musbat  yoki manfiy soniga ega bo`lamiz.  OM kesmani 

qaysi tomoniga yo`naltirilganiga qarab  x soni M nuqtaning koordinatasi bo`ladi. Shunday qilib x 

koordinata bosh 0 nuqtani qayerdan olinishga ,musbat yo`nalishni qanday tanlashga va   kesmani 

qanday birlik masshtab bilan olishga  bog`liq.  

3.  To`g`ri burchakli koordinata sistemasi. 

 

Tekislikda nuqtaning jorlashishi ikkita koordinata bilan  aniqlaniladi.  

 

O`zaro perpendikulyar ikkita to`g`ri chiziqlar 

Y

Y

X

X





,

 o`tkaziladi. Bular koordinata 

o`qlari deyiladi. Biri 

X

X



(gorizontal) - abscissa o`qi, ikkinchisi 

Y

Y



(vertical)- ordinate o`qi 

deyiladi. 

 

To`g`ri chiziqlarni kesishish nuqtasi 0 koordinata boshi deyiladi. O`qlarda ixtiyoriy birlik 

masshtabda kesmalar joylashtiriladi. Xar bir o`qda musbat yo`nalish tanlanadi.  

 

 Ox nur –abssissa o`qi,     Oy nur - ordinata o`qi bo`ladi. 

 

Ox  nurni 

o

90

 ga soat strelkasiga qarshi burilsa  Oy  nyrning musbat yo`nalishi bilan mos 

tushadi.

  

           

  

X

X



  va 

Y

Y



  koordinata o`qlari ( berilgan yo`nalishda va berilgan masshtabda) to`g`ri 

burchakli koordinata sistemasini tashkil qiladi. 

4. To`g`ri burchakli koordinata sistemasi. 

 

M nuqtaning koordinata sistemasida quridagicha joylashtiriladi. 

 

Y

Y

MP



 

X

X



o`qidagi P nuqtagacha va 

X

X

MQ



 

Y

Y



   o`qidagi Q  nuqtagacha. x va y sonlar   

OP

  va   

OQ

   kesmalarda tanlangan birlik masshtabda M nuqtaning to`g`ri burchakli 

koordinatalari deyiladi. 

 

Rasimdagi 

OP

 va 

OQ

 kesmalarni yo`nalishiga qarab musbat yoki manfiy sonlar olinadi.  

 

Chizmada  M  nuqtaning abscissa o`qi 

2



x

 va ordinatasi 

3



y

 gat eng. Bu esa 

 

3

;

2

M

  

ko`rinishda yoziladi. 

 

Umuman  

 

b

a

M

;

 da, 

M

 nuqta 

a

x



 -abssissa,

b

y



- ordinataga ega bo`ladi. 

5. Koordinata burchaklari. 

 

Koordinata o`qlari orqali hosil bo`lgan to`rtta burchaklar koordinata burchaklari 

deyiladi. Ularni quyidagicha nomerlanadi: 

 

                         Koor. Burchagi 

koordinatalar 

 

     I 

 

     II 

 

   III 

 

   IV 

 Abssissa 

    + 

       - 

     - 

         + 

Ordinata 

     + 

    + 

    - 

     - 

 

Rasimda:      

1

A

-    I -chorak,  

2

A

-     II – chorak,  

3

A

-  IV- chorak va 

4

A

 -  III- choraklarda 

joylashgan. 

Agar nuqta abscissa o`qida joylashgan bo`lsa, unda uning ordinatasi  

0



y

 gat eng bo`ladi. 

 

Agar nuqt ordinate o`qida joylashgan bo`lsa , u ho;da abssisssi 

0



x

 bo`ladi. 

 

 

 

 

 

6. Ikki nyqta orasidagi masofa. 



 



2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

3

2

2

3

1

2

1

y

y

x

x

y

y

x

x

P

P

P

P

P

P























 

Misol. 

 

2

;

1



  va  

 

3

;

5

  nuqtalar orasidagi masofa topilsin. 

Yechish:   





 





41

5

4

2

3

1

5

2

2

2

2

















d

 

7. Kesmani berilgan nisbatta bo`lish. 

  Kesmani teng ikkiga bo`lish. 





2

1

P

P

  kesmani teng ikkiga bo`luvchi nuqtaning kordinatasi: 

2

2

1

x

x

x





 , 

2

2

1

r

y

y





 





2

1

P

P

  kesmani berilgan  

n

m





 nisbatta bo`luvchi nuqtaning koordinatasi. 











1

2

1

x

x

x

     va    











1

2

1

r

y

y

 

Misol.          

 

4

;

1

A

 va 

 

1

.

1

B

  kesmani 

3

1





 nisbatta bo`luvch  

 

y

x

M ;

nuqtaning koordinatasi 

topilsin. 

Yechish.      

1

3

4

3

4

3

1

3

3

1

3

3

1

1

1

*

3

1

1

















x

 

25

,

3

4

13

3

4

3

13

3

1

3

3

1

12

3

1

1

1

*

3

1

4



















y

 

J: 





25

,

3

;

1

M

 

 Misollar. 

1-6. Nuqtalar orasidagi masofani toping.(Cal. A-15) 

 1. 

 

1

;

1

  ,

 

5

;

4

           2. 

 

3

;

1



 ,

 

7

;

5

 

3. 





2

;

6



, 





3

;

1



           4. 

 

6

;

1



 ,





3

;

1





  

5.

 

5

;

2

  ,





7

;

4



        6. 

 

b

a;

  ,   

 

a

b;

 

7-11.  P va Q nuqtalar orasidagi masofani toping.     (Cal. A-15)         

7. 

 

5

;

1

P

    , Q

 

11

;

4

    

 8. 





6

;

1



P

 ,





3

;

4



 

9. 





3

;

3



P

 ,





6

;

1





Q

  

10. 





4

;

1





P

,  

 

0

;

6

Q

 

11.  

 

1

;

2

P

,  

 

3

;

4

Q

 

12. Uchlari 





7

;

6



A

  ,





3

;

11



B

 va 





2

;

2



C

  nuqtalarda bo`lgan uchburchat to`g`ri burchakli 

uchburchak ekanligini isbotlang. (Cal. A-15) 

13.Quyidagi berilgan nuqtalar  qaysi choraklarda joylashgan:





9

;

2



 , 

 

6

;

4

, 

 

0

;

1

  va 





3

;

5



.(Cal. A-15) 

14. 





3

;

1



A

  , 

 

11

;

3

B

  va 

 

15

;

5

C

 nuqtalar berilgan. 

AC

BC

AB





 

 ayniyatni isbotlang. (Cal. A-15) 

15. 

 

3

;

1

  va 

 

15

;

7

  nuqtalar orasidagi masofani teng ikkiga bo`luvch nuqtaning koordinatasi 

topilsin. (Cal. A-16) 

16. 





6

;

1



  va 





12

;

8



  nuqtalar orasidagi masofani teng ikkiga bo`luvch nuqtaning koordinatasi 

topilsin. (Cal. A-16). 

17. А (8 ; -3) va В (-4 ; 2) nuqtalar orasidagi masofani toping. 

18. А (7 ; 5) va В (-4 ; -2) nuqtalar berilgan. АВ kesmani 3 : 4 nisbatda        bo`luvchi С(x ; y) 

nuqtaningkoordinatalari topilsin. 

19. A (2 ; 5) va B (4 ; 7) nuqtalar orasidagi masofani toping. 

20. A (4 ; 5) va B (-2 ; -1) nuqtalar berilgan. АВ kesmani 3 : 4 nisbatda bo`luvchi С 

nuqtaningkoordinatalari topilsin. 

21.  А (2 ; -1) va  В ( -2 ; 4) nuqtalar orasidagi masofa topilsin. 

22. А (3 ; 1) va В (0 ; 4) nuqtalar berilgan. АВ kesmani 2:3  nisbatda bo`luvchi          С (x ; y) 

nuqtalarning koordinatalari topilsin. 

23.  А(3;-3) va В (-5;1) nuqtalar orasidagi masofani toping. 

24. А (-4 ; -3) va В (-4 ; 2) nuqtalar orasidagi masofani toping. 

25. А (-1 ; -5) va В (4 ; 2) nuqtalar berilgan. АВ kesmani 3 : 4 nisbatda bo`luvchi          С (x ; y) 

nuqtalarning koordinatalari topilsin. 

26.  A (-2 ; 5) va B (-4 ; 5) nuqtalar orasidagi masofani toping. 

27. A (-4 ; 5) va B (-2 ; -1) nuqtalar berilgan. АВ kesmani 3 : 4 nisbatda bo`luvchi          С (x ; y) 

nuqtalarning koordinatalari topilsin. 

28.  А (5 ; -1) va  В ( -2 ; 5) nuqtalar orasidagi masofani toping. 

29.  А (-5 ; 1) va В (2 ; -3) nuqtalar berilgan. АВ kesmani 2:3 nisbatda bo`luvchi          С (x ; y) 

nuqtalarning koordinatalari topilsin. 

30.  А (1;-3) va  В (-1;-5)  nuqtalar orasidagi masofani toping. 

 

6. To‟g‟ri chiziqning umumiy tenglamasi 

Birinchi tartibli chiziqlar haqida asosiy teorema . 

 

Teorema. Tekislikdagi har qanday birinchi tartibli chiziq to‟g‟ri chiziqdir.  

 

Isbot: Birinchi tartibli 1 chiziq  

0

,

0

2

2











B

A

C

By

Ax

 

(1) 

tenglama bilan aniqlansin. Bunda ikki holni qaraymiz:  

 

a) 

,

0



B

  bu  holda 

.

0



A

  Shuning  uchun  (1)  tenglama 

A

C

x

/





  tenglamaga 

ekvivalent bo‟ladi. Bu holda l to‟g‟ri chiziq Oy o‟qiga parallel to‟g‟ri chiziq bo‟ladi.  

 

b) 

,

0



B

 bu holda (1)-tenglama 

B

C

x

B

A

y







                                                      (2) 

tenglamaga  ekvivalent  bo‟ladi.  Agar 

B

C

b

B

A

k

/

,

/









  deb  belgilasak,  (2)-tenglamani 

quyidagicha  yozish  mumkin 

b

kx

y





.  Bu  esa  to‟g‟ri  chiziqning  burchak  koeffisiyentli 

tenglamasidir.  (1)-formula  bilan  aniqlanuvchi  to‟g‟ri  chiziq  tenglamasiga  to‟g‟ri  chiziqning 

umumiy tenglamasi deyiladi.  

7. To‟g‟ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi. 

 

 

(1)-tenglamada C ni tenglmaning o‟ng tomoniga o‟tkazaylik, ya`ni 

.

C

By

Ax







 Bu 

1







y

C

B

x

C

A

 

 

(3) 

 ni hosil qilish mumkin. Bu yerda 

m

A

C





/

 va 

n

B

C





/

 deb belgilasak (3) dan  

1





n

y

m

x

 

 

(4) 

ni hosil qilamiz.  

 

(4) tenglama to‟g‟ri chiziqning kesmalardagi  tenglamasi  deyiladi.  Bu  yerda  m  va n  mos 

ravishda to‟g‟ri chiziqning Ox va Oy o‟qidan ajratgan kesmalari miqdori.  

2-misol.  

 

0

3

2





y

x

 to‟g‟ri chiziq tenglamasini kesmalarga nisbatan yozing va yasang.  

 

Yechish:  

1

2

3

1

6

3

6

2

)

6

(

:

6

3

2





















y

x

y

x

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Misollar. 

1. Quridagi funktsiyalarni grafigini yasang.(Cal.A-15) 

a)

3



y

  b)

2





y

  c) 

1



y

 

2. Ox o`qini 6 birlik, Oy o`qini -8 birlik kesmada kesib o`tadigan to`g`ri chiziq tenglamasi 

tuzilsin. (Cal.A-16). 

3. 1) 

0

12

3

4







y

x

; 

2)

0

3

4





y

x

; 

3)

0

7

2





x

; 

4) 

0

7

2





y

 

to„g„ri chiziqlarning kesmalarga nisbatan tenglamalarini yozing va ularni yasang. 

4. 1) 

0

6

3

2







y

x

; 

2) 

0

4

2

3







y

x

  to„g„ri  chiziq  tenglamalarini,  kesmalar 

bo„yicha tenglamasiga keltiring. 

5.  

0

40

5







y

Ax

 to„g„ri chiziq 

A

 ning qanday qiymatlarida koordinata o„qlaridan bir xil 

kesmalar ajratadi. 

6.  

4

2

/

1







x

y

 to„g„ri chiziq berilgan. Uning koordinat o„qlari bilan kesishish nuqtalarini 

toping.

 

7.  To‟g‟ri  chiziq  Ox  o‟qni  A(-6;0)  nuqtada,  Oy  o‟qni  B(0;7)  nuqtada  kesib  o‟tadi.  Bu  to‟g‟ri 

chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasini tuzing. 

8. 

3. Абцисса ўқида кесган кесмаси 4, ордината ўқидан кесган кесмаси 

2 бўлган тўғри чизиқ тенгламасини тузинг. 

 9. Абцисса ўқидан кесган кесмаси 9, ордината ўқидан кесган кесмаси 6           бўлган тўғри 

чизиқ тенгламаси тузилсин. 

10. Абцисса ўқида кесган кесмаси 6, ордината ўқидан кесган кесмаси 

-2 бўлган тўғри чизиқ тенгламасини тузинг. 

11. А (-2;3) нуқтадан ва   Ох ўқдан a = 6  кесма кесувчи тўғри чизиқ тенгламаси тузилсин. 

12. Абцисса ўқида кесган кесмаси 4, ордината ўқидан кесган кесмаси 

 12 бўлган тўғри чизиқ тенгламасини тузинг. 

Х 

У 

    –3     –2       –1  

2 

(l) 

6

3

2







y

x

 

13. А (-2;-3) нуқтадан ва   Оу ўқдан b = 6 кесма кесувчи тўғри чизиқ тенгламаси тузилсин. 

14. Абцисса ўқида кесган кесмаси 4, ордината ўқидан кесган кесмаси 

-5 бўлган тўғри чизиқ тенгламасини тузинг. 

15./А (-2;3) нуқтадан ва   Ох ўқдан a = 6  кесма кесувчи тўғри чизиқ тенгламаси тузилсин. 

8. To‟g‟ri chiziqning burchak koeffisiyentli tenglamasi. 

 

Tekislikda  Dekart  koordinatalar  sistemasi  berilgan  bo‟lib,  bu  sistemada  Ox  o‟qini  N 

nuqtada kesib o‟tuvchi ixtiyoriy 1 to‟g‟ri chiziq berilgan bo‟lsin.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ox  o‟qini  N  nuqta  atrofida  soat  strelkasi  harakatiga  teskari  yo‟nalishda  l  to‟g‟ri  chiziq 

bilan ustma-ust tushguncha aylantirishdan hosil bo‟lgan 

)

2

0

(











 burchak l to‟g‟ri chiziq 

bilan Ox o‟qi orasidagi burchak deyiladi. Agar 1 to‟g‟ri chiziq Ox o‟qiga parallel bo‟lsa, u holda 

bu to‟g‟ri chiziq bilan Ox o‟qi orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi. Dastlab 

2

/







 

holni qaraymiz.  

 

Agar  l  to‟g‟ri  chiziq  Ox  o‟q  orasidagi 



  burchak  va  l  to‟g‟ri  chiziqning  Oy  o‟q  bilan