Текисликдаги аффин координаталар системаси

2– Мавзу. Текисликда ва фазода аффин координаталар системаси. Тўғри бурчакли декарт координаталар системаси. Икки нуқта орасидаги масофа.
Текисликдаги аффин координаталар системаси
Текисликда O нуқтага қўйилган иккита базис векторлар берилган бўлсин (чизма). Бу векторлар орқали ўтувчи ва тўғри чизиқларни оламиз ( ).
1 - Таъриф. Мусбат йўналишлари мос равишда векторлар билан аниқланувчи ва тўғри чизиқлардан иборат бўлган система текисликдаги аффин координаталар системаси дейилади ва 0, ёки (0, ) кўринишда белгиланади. 0 нуқта координаталар боши векторларни координат векторлар дейилади; тўғри чизиқни Ox билан белгилаб абсиссалар ўқи, тўғри чизиқни эса Oy билан белгилаб ординаталар ўқи деб аталади.
Текисликда (0, ) аффин координаталар системаси берилган бўлсин. Шу текисликда бирорта N нуқтани олайлик (2- чизма ) векторни N нуқтанинг радиус вектори дейилади.
векторни ҳамма вақт базис векторлари буйича ёйиб ёзиш мумкин:
(8.1 )
сонлар радиус векторнинг координаталари дейилади ва каби ёзилади.
Радиус векторнинг координаталари N нуқтанинг ҳам координаталари дейилади ва уни N( ) каби белгилаймиз. Бунда сони N нуқтанинг абсиссаси ёки биринчи координатаси, сон эса N нуқтанинг ординатаси ёки иккинчи координатаси дейилади.
Хуллас, текисликда аффин координаталар системаси берилса, исталган N нуқтага унинг координаталари бўлмиш бир жуфт сонлар мос келади, аксинча, маълум тартибда олинган сонларига, координаталари шу сонлардан иборат битта N нуқта мос келади.
Ҳақиқатан, текисликда (0, ) аффин координаталар системаси берилган бўлсин (17-чизма) абсиссалар ўқига O нуқтадан бошлаб векторни, ординаталар ўқига эса векторларни қўйиб, N₁ ва N₂ нуқталардан Oy ва Ox ўқларга параллел тўғри чизиқлар ўтказамиз, уларнинг кесишган нуқтаси изланаётган N нуқта бўлади, чунки
Шундай қилиб, (0, ) га нисбатан

Агар =0 бўлса
Агар =0 бўлса , яъни ўқида ётади.
Шундай қилиб, абсисса ўқида ётган нуқта координаталари ( , 0) ва ордината ўқида ётган нуқтанинг координаталари (0, ) бўлади. Координаталар бошининг координаталари O(0, 0) бўлади.
Координат ўқлари текисликни тўртта қисмга ажратади. Ҳар бир қисмни чорак дейилади.
M(x,y) нуқта координат ўқларида ётмаса унинг қайси чоракда ётишини x, y сонларнинг ишорасига қараб аниқлаш мумкин.
1-масала. AB векторнинг боши A(x₁, y₁) ва oхири B(x₂, y₂) координаталари билан берилган бўлса, вектор координатасини топинг.(18-чизма)
_Ечиш: бундан


2-мисол. Аффин координаталар системаси берилган A(3, -2), B(0, 3), C(-2, 0) нуқталарни ясанг.
Ечиш. A нуқтани ясаш учун векторни ясаймиз.
Бунинг учун 0 нуқтадан бошлаб векторга коллинеар векторни, векторга коллинеар векторларни ясаймиз.
Бу векторларнинг йиғиндисини ясасак векторга эга бўламиз ва A нуқтани топамиз.

Тўғри бурчакли Декарт координаталар системаси.

Аффин координаталар системасининг координат вектори ортогонал базисни ташкил қилса, яъни бўлса, у ҳолда аффин координаталар системаси декарт координаталар с истемаси булади. Бундай координаталар системасини кўринишида белгилаймиз (22-чизма).
Бу ерда .
Декарт координат системаси аффин координаталар системасининг хусусий ҳоли бўлгани учун аффин координаталар системасига нисбатан ўринли мулоҳазалар Декарт координаталар системасида ҳам ўз кучини сақлайди.
Аммо декарт координаталар системада ўринли бўлган баъзи мулоҳазалар аффинда ўринли бўлавермайди.
Икки нуқта орасидаги масофа.
Бизга текисликда ва нуқталар берилган бўлсин. Бу ва нуқталар орасидаги масофа уларнинг координаталарига боғлиқдир.
Айтайлик ва бўлсин. ва нуқталардан координата ўқларига параллел тўғри чизиқлар ўтказамиз (ўтказилган параллел тўғри чизиқлар А нуқтада кесишсин). У ҳолда ва нуқталар орасидаги масофа га, ва нуқталар орасидаги масофа эса га тенг бўлади. Ҳосил бўлган учбурчак тўғри бурчакли эканидан Пифагор теоремасига кўра:
(*)
(*) формула текисликда иккита нуқта орасидаги масофани аниқлайди.¹
Текисликда тўғри бурчакли декарт координаталар системаси берилган бўлсин. Бу координаталар системасига нисбатан A(x₁, y₁) ва B(x₂, y₂) нуқталар координаталари билан берилган (21-чизма).
(11.1)

Бундан
Иккита A ва B нуқталар орасидаги масофа деб, вектор модулига | | айтилади ва кўринишида ёзилади.
(11.2)
Шундай қилиб A ва B нуқталар орасидаги масофа (11.2) формула билан ҳисобланади.
1-масала. A(-1, 0) va B(2, 3) нуқталар орасидаги масофани ҳисобланг.
Ечиш (11.2) формуладан топамиз.
.
2-масала. Учбурчак учларининг координаталари тўғри бурчакли декарт координаталар системасида A(3, 2), B(6, 5), C(1, 10) берилган. Учбурчакнинг тўғри бурчакли учбурчак эканлигини исботланг.
Ечиш Учбурчак томонларини топамиз.

иккинчи томондан
.

1