Tekislikdagi to’g’ri chiziqlarning o’zaro vaziyatlari. To’g’ri chiziqlar dastasi va bog’lami. Reja

А х + В у + С =0,
Bir nuqtadan o’tishligin bilish uchun, ulardan ikkitasinining kesishish nuqtasini topish, so’ngra bu nuqtaning koordinatalari uchinchi to’g’ri chiziqning tenglamasini qanoatlantirishligini tekshirish kerak. Tayyor formuladan foydalanib topish mumkin: (22) to’g’ri chiziqlarni bir nuqtadan o’tishligi uchun
= 0
bo’lishi kerak.
Birgina nuqtadan o’tuvchi hamma to’g’ri chiziqlar to’plami to’g’ri chiziqlar dastasi deyiladi.; ularning umumiy nutqasi dastaning markazi deyiladi. Agar x va u markazning koordinatalari bo’lsa, u holda:
А (х - х ) + (у - у ) = 0
tenglama dastaning ixtiyoriy to’g’ri chizig’ini tasvirlaydi. A:V nisbatga aniq qiymat bersak, biz (24) dastadan aniq bir to’g’ri chiziqni ajratib olamiz.
Dastaning markazi faqat o’zining koordinatalari bilan aniqlanmay, balki unidan utuvchi har qanday ikkita to’g’ri chiziq bilan ham aniqlanishi mumkin. Agar ikkita to’g’ri chiziq:
Ах + Ву + С =0,
А х + В у + С =0,
berilgan bo’lsa, ularning kesishish nuqtasidan o’tuvchi harqanday to’g’ri chiziq ushbu
(Ах + Ву + С ) + q (А х + В у + С ) = 0
tenglama bilan tasvirlanadi. Tenglamadagi q parametrning har bir qiymatiga dastaning aniq bir to’g’ri chizig’i mos keladi; q ni o’zgartirib, biz ikkita asosiy to’g’ri chiziq (17) bilan aniqlangan dastaga tegishli hamma to’g’ri chiziqlarni hosil qilamiz.
269. Quyidagi: 3х – у = 0; 3х – у + 1 = 0; 2х + 5 = 0; 4у – 9 = 0; 7х = 0; х +2у = 0; 2х + 3у – 6 = 0; to’g’ri chiziqlarning koordinatalar o’qlariga nisbatan qanday joylashganligi tekshirilsin va ular yasalsin.
270. birinchi darajali tenglama berilgan. Bunga mos to’g’ri uchun: a) umumiy tenglama; b) normal tenglama; s) burchak koeffetsentli tenglama va d) kesmalarga nisbatan tenglama topilsin. .
272. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga nisbatan tomonlari 18х + 6у -17 =0; 14х -7у +15=0 ва 5х +10 у- 9=0 tenglamalar bilan berilgan uchburchakning burchaklari hisoblansin.
274. Tenglamalari bilan berilgan а).3х-2у +7=0
b) 6х -4у -9 =0 с ) 6х +4у -5=0 ;d) 2х +3у – 6 =0;
е) х – у + 8 =0; f) х+ у -12 =0 ва g) – х + у - 3 =0 to’g’ri chiziqlar orasida o’zaro parallel yoki perpendikulyar bo’lganlari bormi? .
276. Parameter a ning qanday qiymatida 3ах -8у +13 =0
Ва (а + 1 ) х -2 ау – 21 =0 tenglamalar parallel to’g’ri chiziqlarni tasvirlaydi?
277. O’zgarmas a ning qanday qiymatida (3а +2) х + ( 1 -4а ) у – 7 = 0; to’g’ri chiziqlar bir – biriga perpendikulyar bo’ladi? .
278. Koordinatalar boshidan 2 х -3у + 7 =0 to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazilsin.
Yechish. Izlangan to’g’ri chiziq kordinatalar boshidan o’tadi; shuning uchun uning tenglamasida ozod had bo’lmaydi va tenglama Ах +Ву =0 shakilga ega bo’ladi. Izlangan to’g’ri chiziq berilgan to’g’ri chiziqqa parallel; demak, ularning tenglamalaridagi koeffitsientlar proportsional : ёки А=2 В =- 3 Koeffitsintlarning olingan qiymatlarini izlangan to’g’ri chiziqning tenglamasiga quyib, 2)х-3 у =0 ёки 2х -3у =0 ni hosil qilamiz. Tenglamaning hamma hadlarini bir xil songa ko’paytirishdan ( yoki bo’lishdan ) uning geomitrek ma‘nosi o’zgarmaydi; shuning uchun berilgan to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq tenglamasini tuzishda faqat koordinatalar oldidagi koeffitsentlarni proportsional qilib olmasdan, balki berilgan tenglamaning koeffitsientlariga mos ravishda teng qilib olish mumkin.
280. М(+2; - 1) nuqtadan 4х -7у + 12=0 to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazilsin.
282. А(- 5; + 2) nuqtadan 4х –у +3 =0 to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning tenglamasi yozilsin.
286. М ( -1; +4 ) nuqtadan 5х -3у +11 = 0 to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushirilsin.
.
287. Quyidagi to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalari topilsin:
а) b) с)
Berilgan tenglamalar sistemalari oldin tekshirilsin.
288. Uchburchak tomonlarining tenglamalari berilgan:
5х- 3у – 15 = 0, х + 5у – 3 =0 ва 3х +у +5 =0. Uchlarining koordinatalari hisoblansin.
289.Uchlarining koordinatalari А(2:3) В(0:-3) ва С(5:-2)bo’lgan uchburchak tomonlarining o’rtalaridan chiqarilgan perpendikulyarlar kesishgan nuktani toping.
290.Turtburchak uchlarining koordinatalari berilgan:А(-9:0) В(-3:6) С(3:4) ваД(6:-3). Uning AS va VD diognallariningkesishish nuktasi topilsin vaular orasidagi burchak topilsin.
291. Rombning ikki tomonining tenglamalari 2х-5у-1=0 ва 2х-5у-34=0 vadiognallaridan birining tenglamasi x+3u-6=0 berilgan. Romb uchlarining koordinatalarini toping.
292. 2х+5у-38=0 to’g’ri chiziqqa nisbatan В(-2:-9) nuktaga nisbatan simmetrik nukta topilsin.

296. Quydagi uchta to’g’ri chiziqning bitta nuqtadan o’tish yoki o’tmasligi tekshirilsin:

а) 3х- у – 1=0, b) х + 3у - 1 = 0,
2х –у +3 =0, 5х + у -10 =0,
х –у +7 =0, 3х – 5у -8 =0,
с) 3х – у + 6=0, d) 5х – 3у- 15 =0,
4х + 3у -5=0, х + 5у –3= 0,
2х – у +5=0, 3х + у + 5= 0.
297. ах + ьу + 1 = 0 ва 2х - 3у +12 = 0. ва х - 1 =0 to’g’ri chiziqlar bitta nuqtadan o’tishi uchun a va koeffitsentlar qanday shartni qanoatlantirishi kerak.

298.Uchburchak uzining tomonlari bilan berilgan : х+2у+3=0:3х-7у+9=0 ва5х-3у-11=0.

Uning balandliklari bir nuqtada kesishishligi tekshirilsin.

299. 7х-у+3=0 ва 3х+5у-4=0 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasidan va A(2:-1) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasi yozilsin.

300. 2х + 5у -8 = 0 ва х - 3у +4 = 0 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasidan to’g’ri chiziq o’tkazilsin: va u bundan tashqari 1) koordinatalar boshidan o’tsin:
2) abtsissalar o’qiga parallel bulsin
3) ordinatalar o’qiga parllel bulsin
303. Uchburchak tomonlarining tenglamalari berilgan: 2х –у +3 =0, х + 5у –7= 0,

312. 
     3х –2у + 6=0 .SHu uchburchak balandliklariningtenglamalari tuzilsin.
     
313. 
     
314. 
     Uchburchak uchlaridan biri А ( - 4 ; + 2 ) va ikkita medianasining tenglamalari : 3х – 2у +2 = 0 ва 3х + 5у – 12 = 0 berilgan. Tomonlarining tenglamalari tuzilsin.
     

Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning elementar xossalari
Aylana
Markaz deb ataluvchi nuqtadan bir xil uzoqlikda turuvchi barcha nuqtalarning geometrik o’rniga aylana deb ataladi . Agar markazning koordinatalarini a va desak aylananing radiusini r bilan belgilaymiz uxolda aylananing tenglamasi
(х-а) +(у-ь) =r шаклни олади.

318. а) Markazi ( + 2 ; - 5 ) nuqtada va radiusi 4 birlikkateng bo’lgан; b) markazi ( 3 ; + 4 ) nuqtada bo’lgan va o’zi koordinatalar boshidan o’tgan ; с) markazi ( 0; + 4 ) nuqtada bo’lgan va o’zi ( + 5 ; - 8 ) nuqtadan o’tgan aylananing tenglamasi tuzilsin.

320. А ( + 2; + 3 ) ва В ( + 5 ; +2 ) nuqtalardan o’tuvchi shunday aylana topilsinki, uning markazi abtsissalar o’qida yotsin; shu aylananing tenglamasi yozilsin.
321
322. Berilgan uchta А ( 0; + 2 ), В ( +1 ) ва С ( + 2 ; - 2 ) nuqtalardan o’tuvchi aylananing tenglamasi tuzilsin.
Yechish: Izlangan aylananing ( х - а ) +( у – b) = r tenglamasida topish kerak bo’lgan uchta parametr; а, b ва r бор. Tenglamadagi qavslarni ochib, hamma hadlarni chap tomonga o’tkazsak, tenglama х + у - 2 а х – 2 bу + а +b - r tenglamasida topish kerak bo’lgan учта parametr: а, b, ва r бор. Tenglamadagi qavslarni ochib, hamma hadlarni chap tomonga o’tkazsak, tenglama х +у -2 а х -2bу + а + b - r =0 shaklni oladi. Masalaning shartiga ko’ra А, В ва С nuqtalari aylanada yotgani uchun ularning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi lozim. Bu kordinatalarni tenglamaga quysak, izlanga parametrlarni bog’lovchi uchta munosabat hosil qilamiz:
4- 4 b + а + b - r = 0
2 – 2 а – 2 b + а +b - r =0;
8 – 4 а +4 b + а + b - r = 0.
parametrni sistemadan yuqotish uchun oxirgi tenglamadan avval birinchi tenglamani, so’ngra ikkinchi tenglamani ayirsak, qo’yidagi tenglamalarni hosil qilamiz:
4 – 4а + 8b =0,
6 – 2а + 6b =0.
Bu sistemani yechib, а =- 3; b =- 2 ekanligini aniqlaymiz.
a va b ning topilgan qiymatlarini birinchi tenglamaga quyib, r -25
ekanligini aniqlaymiz va izlanyotgan aylananing tenglamasi
( х + 3 ) +( у + 2 ) = 25
bo’ladi.
Aylana markazini ikki vatarning, masalan, AV va AS vatarlarning o’rtalaridan chiqarilgan perpendikulyarning kesishgan nuqtasi kabi topish mumkin.
323. Uchlarining koordinatalari:
а) ( + 7; +7 ), ( 0; +8 ) ва ( - 2; + 4 );
b) ( 0; + 4 ), ( + 1; + 2 ) ва ( + 3; - 2 )
bo’lgan uchburchakka tashqi chizilgan aylananing tenglamasi topilsin.
TEKISLIKDAGI ANALITIK GEOMETRIYA
324. Ushbu ( х + 1) + ( у – 2) =25 aylanaga nisbatan А( - 3; 0 ),
В( + 5; 0 ), С ( + 4 ; + 2 ), ( + 2; + 7 ), Е ( - 4; + 6 ), F( - 3; - 1 ),
G( - 2; + 3) nuqtalar qanday joylashgan?
325. Ushbu х + у - 8х + 6у + 21 =0 tenglama bilan berilgan aylananing markazi va radiusi aniqlansin.
Yechish. Berilgan tenglama aylana tenglamasi, chunki unda koordinatalar ko’paytmasidan hosil bo’lgan had yuq va koordinatalar kvadratlarining koeffitsentlari bir – biriga teng. Bu tenglamani normal ( х – а ) + ( у – b) = r shaklga keltiramiz. Buning uchun х li hadlarni ayrim ( х – а ) - 8х ) va у li hadlarni ( у + 6у) ayrim yig’ib olamiz; so’ngra birinchi gruppaga + 16 ni va ikkinchi gruppaga + 16 ni va ikkinchi gruppaga + 9 ni qo’shib, ularni to’la kvadratga to’ldiramiz.
Buning natijasida ikki kvadratning yig’indisiga ega bo’lamiz; ( х – 4) + ( у + 3) . Tenglamaning chap qismiga 16 + 9 =25 qo’shdik, keyingi tenglama berilgan tenglama bilan teng kuchli bo’lishi uchun o’ng qismiga ham 25 qo’shamiz; bu son berilgan tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazilgan ozod hadi bilan birga + 4 ni beradi va aylananing oxirgi tenglamasi( х – 4) + ( у + 3) = 4 ko’rinishni oladi. Bundan markazning koordinatalari а = 4; b = - 3 va radius r = 2 ekanligini aniqlaymiz.
Berilgan va izlangan tenglamalardagi koeffitsientlar proportsional bo’lish kerakligidan foydalanib ( ikkala tenglama birgina egri chiziqni tasvirlaydi ), bu masalani boshqacha yechish ham mumkin. Normal tenglamadagi qavslvrni ochib, koeffitsientlarni solishtirib, quyidagilarni topamiz:

Yoki


а = b= -
r =а

326. 
     Bundan shunday natija chiqarish mumkin: agar aylananing umumiy tenglamasida koordinatalar kvadratlarining koeffitsientlari birga teng bo’lsa, u holda markazningkoordinatalari birinchi darajali koordinatalar koeffitsentlarining teskari ishora bilan olingan qiymatining yarmiga teng; radiusning kvadrati esa r = а formula bilan aniqlanadi, bu yerda F – berilgan aylana tenglamasining ozod hadi.
     
327. 
     Qo’yidagi aylanalarning tenglamalari normal shaklga keltirilsin:
     

а) х с) х

b) х d) 3х

1 Csaba Vincze and Laszlo Kozma “College Geometry” March 27,2014 pp.179-189, mazmun – mohiyatidan foydalanildi