Tekisliklarning o`zaro vaziyatlari

Proeksiyalar tekisligini almashtirish usuli bilan quyidagi metrik va pozitsion masalalarni yechamiz:
1-masala: Umumiy vaziyatda joylashgan to‘g‘ri chiziqni proeksiyalari tekisligini almashtirish usulini qo‘llab proeksiya tekisliklaridan biriga parallel bo‘lgan vaziyatga keltirish.
P₁P₂ sistemada umumiy vaziyatda joylashgan a to‘g‘ri chiziq berilgan (49-shakl).
Ushbu masalani yechish uchun qabul qilingan yangi P₄ tekislik P₁ ga perpendikulyar va a to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lishi kerak. AV kesma va  burchak P₄ tekislikka nisbatan frontaldir. 49-shakl a to‘g‘ri chiziqqa parallel qilib X₁₄ proeksiyalar o‘qi o‘tkazilgan va yuqoridagi (47-shaklda) yasalgan qoidaga asosan kesmaning A₄V₄ proeksiyasini yasaymiz.
Bu masalani gorizontal proeksiyalar tekisligini yangi proeksiyalar tekisligi bilan almashtirib ham yechish mumkin.

2-masala. Umumiy vaziyatdagi to‘g‘ri chiziq proeksiyalari tekislikigini almashtirish bilan proeksiya tekisliklaridan biriga perpendikulyar vaziyatga keltirilsin.

Umumiy vazziyatdagi to‘g‘ri chiziqni perpendikulyar vaziyatda keltirish uchun, proeksiya tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish zarur. 49-shakl P₄ tekislik P₁ ga perpendikulyar va AV kesmaga parallel qilib oldik, natijada AV kesma P₄ tekisllikka o‘zgarmay proeksiyalanadi buni 1 – masalada tushuntirib o‘tilgan edi. Ikkinchi P₅ tekislikni a to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar qilib olamiz. Shu bilan birga P₄ va P₅ tekisliklar ham o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi. x₄₅ proeksiyalar o‘qini a₅ to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar qilib o‘tkazamiz. a to‘g‘ri chiziq P₅ tekislikka nuqta ko‘rinishda proeksiyalanadi. Shunday qilib P₄ va P₅ tekisliklar sistemasida a to‘g‘ri chiziq P₅ tekislikka nasbatan proeksiyalovchi vaziyatga keltiriladi.
3-masala. Umumiy vaziyatdagi tekislikni proeksiyalar tekisligini almashtirish bilan yangi proeksiya tekisliklaridan biriga perpendikulyar vaziyatga keltiring.
50-shaklda P₁ va P₂ tekisliklar sistemasida umumiy vaziyatdagi tekislik o‘zining uchta A,V va S nuqtalari bilan berilgan. Almashtiriladigan P₄ tekislik uchburchak AVS ga va proeksiya tekisliklaridan biriga perpendikulyar joylashadi. Buning uchun AVS tekislikdan bosh chiziqlaridan birini masalani S₁ gorizontal o‘tkazamiz. Bu gorizontal yangi o‘tkaziladigan P₄ tekislikni yo‘nalishini aniqlaydi. P₄ tekislik S₁ gorizontal va P₁ tekislikka perpendikulyar bo‘lib joylashadi.
Proeksiyalar o‘qi X₁₄ tekislikning gorizontal S₁ ga perpendikulyar bo‘lib yo‘naladi.

50-shakl
AVS uchburchakning uchlaridan yangi proeksiyalar o‘qiga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz va bu to‘g‘ri chiziqlarga X₁₄ dan boshlab Z_A, Z_B va Z_S uzunlikka ega bo‘lgan kesmalarni qo‘yib, to‘g‘ri chiziq kurinadigan yangi frontal proeksiyasi A₄ V₄ S₄ ni yasaymiz.
AVS tekislikni P₁ tekisligi bilan hosil qilgan  burchagi o‘zgarmasdan P₄ tekislikka proeksiyalanadi. Xuddi shunga o‘xshash, gorizontal proeksiyalar tekisligini yangi tekislik bilan almashtirib ham masalani yechish mumkin. AVS tekislikning A2 frontaliga perpendikulyar qilib P₄ tekislikni o‘tkazamiz. Bu tekislikka AVS tekislik to‘g‘ri chiziq ko‘rinishda proeksiyalanadi. Shuningdek, AVS tekislik bilan P₂ tekislik orasidagi burchagini ham aniqlash mumkin. Buning yechimini o‘quvchini o‘ziga havola qilamiz.
AVS uchburchakning koordinatalarini o‘zingiz tanlab oling.

51-shakl
4-masala: Proeksiyalar tekisligini almashtirish usuli bilan umumiy vaziyatdagi tekislikni yangi sistemadagi proeksiya tekisliklaridan biriga parallel vaziyatga keltiring. Bu masalani yechish uchun, proeksiya tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish zarur. Buning uchun P₂ tekislikni P₄ tekislik bilan almashtirib shu bilan birga uni AVS tekislikka perpendikulyar qilib joylashtiriladi. Birinchi almashtirishda AVS uchburchak P₄ tekislikka nisbatan proeksiyalovchi vaziyatni egallaydi. Bu masalani yechish yuqoridagi 3-masaladan bayon etilgan. Ikkinchi marta almashtirishda P₅ tekislik P₄ ga perpendikulyar va AVS tekislikka parallel qilib joylashtiriladi. Buni epyurda yasash lozim bo‘lsa X₄₅ o‘qini AVS ning yangi frontal proeksiyasi A₄V₄S₄ ga parallel qilib chizamiz va uchburchakning yangi gorizontal A₅V₅S₅ proeksiyasini yasaymiz. Bu nuqtalarni yasash uchun, X₄₅ ga o‘tkazilgan perendikulyarga l_A l_B va l_C uzunlikka teng bo‘lgan kesmalarni qo‘yamiz, natijada AVS ga teng bo‘lgan A₅ V₅ S₅ uchburchak yasaladi. (51-shakl).