Tekshirdi: Mavzu: Ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy hosilalari va ekstrimumi

Amaliy matematika:
Bajardi :________
Tekshirdi:_______
Mavzu: Ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy hosilalari va ekstrimumi
Reja:
1.Ikki o’zgaruvchili funksiya
2. Funksiyaning hususiy hosilalari
3.Ekstrimum
Bir o‘zgaruvchili funksiya xususiyatlarini o‘rganishda va juda ko‘p masalalarni yechishda funksiyaning hosilasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham aniqlash masalasi bilan shug‘ullanamiz. Bunda ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun kiritiladigan tushunchalar va keltiriladigan tasdiqlar deyarli o‘zgarishsiz ikkidan ortiq o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham umumlashtirilishi mumkinligini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.

• Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi ∆f funksiya orttirmasining ∆x argument orttirmasiga nisbatining ∆x→0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz.

Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga x orttirma berib, y ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +x,y) nuqta ham D sohaga tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi x f = f (x+x , y) – f (x, y), ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi.

Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. Endi z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasining bir umumlashmasini kiritamiz. Buning uchun funksiya M(x,y) nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtadan o‘tuvchi l to‘g‘ri chiziq bo‘yicha yo‘nalish biror e={cosα, cosβ} birlik vektor orqali berilgan bo‘lsin. Bunda cosα, cosβ berilgan e birlik vektorning mos ravishda OX va OY koordinata o‘qlari bilan hosil etgan α va β (β=900–α) burchaklar bilan aniqlanadi va yo‘naltiruvchi kosinuslar deb ataladi. Bu l to‘g‘ri chiziqda yotuvchi va M(x,y) nuqtaning atrofiga tegishli yana bir N(x+∆x,y+∆y) nuqtani qaraymiz. Bunda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi ayirma orqali ifodalanadi va u funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha orttirmasi deyiladi. Bu yerda MN=∆l belgilash kiritamiz. Bunda N→M desak, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lsa, unda ∆l→0 bo‘ladi.
Oldin z=f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasidagi biror M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini eslaymiz (§1, (3) ga qarang): z=f = f (x +x , y + y )– f (x , y) .
4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi
4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi