Тема №9. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функций в конце таблицы. Поэтому когда точка интерполирования лежит вблизи точки  удобно пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, которая имеет вид
(1.16)
Вводя новую переменную  , эту формулу перепишем в виде
(1.17)
В формуле (1.17) из таблицы конечных разностей используются  нижней диагонали.
Остаточный член формулы (1.17) имеет вид
(1.17')
где точка  имеет тот же смысл, что и ранее.
Отметим, что формулы Ньютона используются и для экстраполирования функций. Если  , то для экстраполирования назад используют первую интерполяционную формулу Ньютона. Если  , то для экстраполирования вперед используют вторую интерполяционную формулу Ньютона. Следует заметить, что операция экстраполирования менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле.
Примеры
Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции вычислить значение функции, заданной таблично в точке  . Оценить погрешность интерполяционной формулы.
Построить таблицу данных из условия  .
Решение. Поскольку точка  лежит ближе к концу отрезка интерполирования и узлы  – равноотстоящие, поэтому применяем вторую формулу Ньютона для равноотстоящих узлов (1.17) и учитываем, что  .
Составляем таблицу конечных разностей:

0	0.385	1.93943	0.28915	0.24747	0.13152
1	0.585	2.22857	0.53662	0.37899
2