Тема №9. Интерполяционный многочлен Лагранжа

X	1	2	3
5
y	1	5	14	81

Решение. Степень L_n (x) не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Интерполяционный многочлен Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона
Очевидно, что условие (1.10) эквивалентно условию
(1.12)
Будем искать интерполяционный полином в виде
(1.13)
Значения коэффициентов  находим из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая  из (1.13) найдем  . Далее, последовательно придавая  значения  и  получаем,

Откуда, применяя (1.12), для коэффициента  получим выражение  , а для  -  .(из учебника "Численные методы на базе Mathcad")
Продолжая наши рассуждения, запишем формулу для любого  :  . Подставляя в (1.13) выражения для коэффициентов  через конечные разности, получим первую интерполяционную формулу Ньютона
(1.14)
При  справедливы следующие пределы
.
Отсюда следует, что при  интерполяционный полином (1.14) принимает вид полинома Тейлора
.
Для практический целей формулу Ньютона (1.14) удобнее записывать в несколько ином виде. Введем переменную  . Тогда  . Таким образом, для полинома  получим выражение
(1.15)
Формулу (1.15) выгодно использовать для интерполирования в окрестности начального значения  . Поэтому ее часто называют формулой для интерполирования вперед. В этой формуле из таблицы конечных разностей используются  верхней диагонали.
Остаточный член в формуле (1.15) имеет вид
,
где  – некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы  и точку  . При наличии дополнительного узла  на практике пользуются более удобной приближенной формулой
.
При  из (1.15) получается формула линейного интерполирования
.
При  из (1.15) имеет место формула параболического или квадратического интерполирования
.