Tema: Funksiya tuwındı, onıń geometriyalıq hám mexanik mánisi

Tema: Funksiya tuwındı, onıń geometriyalıq hám mexanik mánisi

Tayansh sóz dizbegiler: háreket tezligi máselesi, funksiya arttırıwı, argument arttırıwı, tuwındı, differensiallash, tiykarǵı differensiallash formulaları, jıyındı, ayırma, kóbeytpediń tuwındı, quramalı funksiya tuwındı, tuwındınıń geometriyalıq hám mexanik mánisi.

Differensial esap - matematikanıń tuwındılar hám differensiallarni esaplaw, olardıń ózgesheliklerin úyreniw hám de funksiyalardı tekseriwge qollanıw qılıw menen shuǵıllanatuǵın bólimi.
Differensial esaptıń payda bolıwı daǵı dáslepki jumıslar iymek sızıqqa urınba ótkeriw máselesin tarqatıp alıwda Ferma, Dekart hám basqa matematikalıqlar tárepinen etilgen. I. Nyuton hám G. Leybnits ózlerinen aldınǵı matematikalıqlardıń buǵan baylanıslıǵı jumısların aqırma jetkezdiler.
1. Funksiya tuwındı, onıń geometriyalıq hám mexanik mánisi
Tuwındı túsinigine alıp keletuǵın máseleler. Tuwındı túsinigine alıp keletuǵın máseleler gápine qattı jismni tuwrı sızıqlı háreketin, joqarıǵa vertikal halda otilgan jismning háreketin yamasa dvigatel cilindridagi porshen háreketin tekseriw sıyaqlı máselelerdi kirgiziw múmkin. Bunday háreketlerdi teksergende jismning konkret ólshemlerin hám formasın itibarǵa almay, onı háreket etiwshi materiallıq noqat formasında kóz aldımızǵa keltiremiz. Biz bir máseleni alıp qaraymız.
Háreket tezligi máselesi. Aytaylik, M materiallıq noqattıń tuwrı sızıqlı háreket nızamına kóre onıń t=t₀ Waqıttaǵı tezligin (máwrit tezligin ) tabıw talap etińsin. Noqattıń  Waqıtlar arasındaǵı basıp ótken jolı  Boladı. Onıń sol waqıttaǵı ortasha tezligi .
Ekenin aytıw kerek, qanshellilik kishi bolsa, ortasha tezlik noqattıń t0 waqıttaǵı tezligine sonshalıq jaqın boladı. Sol sebepli noqattıń t0 waqıttaǵı tezligi tómendegi limitdan ibarat. 
Fuksiya tuwındı.
y=f(x) Funksiya (a, b) intervalda anıqlanǵan bolsın, (a, b) intervalǵa tiyisli x₀ va x₀+  Noqatlardı alamız.
Argument qandayda bir (oń yamasa keri - barlıǵı bir) arttırıwın alsın, ol waqıtta y funksiya qandayda bir arttırıwdı aladı. Sonday etip argumentning x0 ma`nisinde y₀=f(x₀) ga, Argumentnin x₀+  Bahada Ga iye bolamız. Funksiya arttırıwı ni tabamız

Funksiya arttırıwın argument arttırıwına qatnasın dúzemiz.

Bul - koefficienttiń 0 Dagi limitini tabamız.
Eger bul limit ámeldegi bolsa, ol berilgen f(x) Funksiyanıń x0 noqat daǵı tuwındı dep ataladı hám bilan belgilanadi. Shunday qilib,
yoki
Tariyp. Berilgen y=f (x) funksiyanıń argument x boyınsha tuwındı dep, argument arttırıwı qálegen túrde nolǵa intilganda funksiya arttırıwı dıń argument arttırıwı ga qatnasınıń limitiga aytıladı.
Ulıwma halda x dıń hár bir ma`nisi ushın tuwındı málim bahaǵa iye, yaǵnıy tuwındı da x dıń funksiyası bolıwın belgilengenler etemiz. Tuwındında belgi menen birge basqasha belgiler de isletiledi. 
Tuwındınıń x=a dagi konkret ma`nisi yamasa menen belgilenedi.
Funksiya tuwındın tuwındı tariypiga kóre esaplawdı kóremiz.
Mısal : funksiya berilgen, onıń :
1) qálegen x noqat daǵı hám 2) x=5 noqat daǵı tuwındı y' tapilsin.
Sheshiw:
1) argumentning x ga teń ma`nisinde ga teń. Argument ma`nisinde ga iye bolamız.
Koefficientti dúzemiz.
Limitga ótip, berilgen funksiyadan tuwındı tabamız. 
Sonday eken, funksiyanıń qálegen noqat daǵı tuwındı x=5 da 
Tuwındınıń geometriyalıq hám mexanik mánisi. Háreket etiwshi jismning tezligin tekseriw nátiyjesinde, yaǵnıy mexanik qıyallardan shıǵıp barıp, tuwındı túsinigine keldik. Endi tuwındınıń geometriyalıq mánisin beremiz.
Bizge berilgen y=f (x) funksiya x noqat jáne onıń átirapında anıqlanǵan bolsın. Argument x dıń qandayda bir ma`nisinde y=f (x) funksiya anıq bahaǵa iye boladı, biz onı M0 (x0; y0) dep belgileylik. Argumentga x arttırıw beremiz hám nátiyje funksiyanıń y+y=f (x+x) arttırılǵan ma`nisi tuwrı keledi. Bul noqattı M1 (x+x, y+y) dep belgileymiz hám M0 kesetuǵın ótkerip onıń OX oǵınıń oń baǵdarı menen shólkemlesken múyeshin  menen belgileymiz.

Endi  Koefficientti qaraymız. Suwretden usıdan ayqın boladı,  ga ten.
Eger x0 ge, ol halda M1 noqat iymek sızıq boyınsha háreketlenip, M0 noqatqa jaqınlasha baradı. M0 M1 kesetuǵın da x0 de óz jaǵdayın ózgertira baradı, atap aytqanda  múyesh da ózgeredi hám nátiyjede  múyesh  múyeshka ıntıladı. M0 M1 kesetuǵın bolsa M0 noqattan ótetuǵın urınba jaǵdayına ıntıladı. Urınbanıń múyesh koefficiyenti tómendegishe tabıladı

Sonday eken,, yaǵnıy, argument x dıń berilgen ma`nisinde tuwındınıń ma`nisi f (x) funksiyanıń grafigiga onıń M0 (x0;y0) noqatı daǵı urınbanıń OX oǵınıń oń baǵdarı menen payda etgen múyesh tangensine, yaǵnıy múyesh koefficiyentine teń.
Tuwındınıń mexanik mánisi tezlikti ańlatadı, yaǵnıy materiallıq noqattıń t waqıt ishindegi S aralıqtı basıw ushın háreketdegi tezligin tabıwdan ibarat. 
2. Differensiallash, onıń tiykarǵı qaǵıydaları hám formulaları
Berilgen f (x) funksiyadan tuwındı tabıw ámeli sol funksiyanı differensiallash dep ataladı.
Differensiallashning tiykarǵı qaǵıydaları
1. Ózgermeytuǵın muǵdardıń tuwındı nolǵa teń, yaǵnıy eger y=c bolsa (c=const) y'=0 boladı.
2. Ózgermeytuǵın ko'paytuvchini tuwındı belgisinen tısqarına shıǵarıw múmkin: y=cu (x) bolsa y'=cu' (x) boladı.
3. Chekli sandaǵı differensiallanuvchi funksiyalar jıyındısınıń tuwındı sol funksiyalar tuwındılarınıń jıyındısına teń:

4. Eki differensiallanuvchi funksiyalar kóbeymesiniń tuwındı birinshi funksiya tuwındınıń ekinshi funksiya menen kóbeymesi hám de birinshi funksiyanıń ekinshi funksiya tuwındı menen kóbeymesiniń jıyındısına teń: