Тема Математическое введение в цифровую технику

^{Тема 1}. Математическое введение в цифровую технику.


1-1. Системы счисления, используемые в цифровой технике.
Для изображения чисел используются определенные приемы и правила, называемые системами счисления. Все известные системы счисления делятся на две группы: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.
В непозиционной системе счисления значение символа (цифры, буквы, знака или иероглифа) постоянно и не зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. В позиционных системах наоборот, значение символа зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. Непозиционные системы, как более простые, появились исторически гораздо более раньше позиционных систем. Ими пользовались древние славяне, китайцы и другие народы. До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем - римская система счисления. В ней используются так называемые римские цифры: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Значение числа вычисляется суммированием всех чисел с учетом правила, что если цифра меньшего веса стоит слева от следующей за ней цифрой большего веса, то она имеет знак минус, а если справа - то знак плюс. Например, число MCCXXXIV определяется следующим образом:

1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 - 1 + 5 = 1234

Непозиционные системы счисления обладают двумя существенными недостатками. Во-первых, при увеличении диапазона представляемых чисел увеличивается число различных символов в изображаемых числах. Во-вторых, очень сложны правила выполнения даже самых простых арифметических действий.

Позиционные системы счисления обладают тем чрезвычайно важным свойством, что все числа, и малые, и большие, могут быть записаны с помощью конечного набора различных символов. Кроме того, правила действия с числами могут быть резюмированы в виде таблиц сложения и умножения. Изобретение позиционных систем счисления имело неоценимые последствия для дальнейшего развития человеческой цивилизации. Впервые такие системы счисления стали использовать древние шумерийцы и индусы.
В позиционных системах счисления любое число X изображается в виде полинома


. (1.1)

B этом выражении a_j называются разрядными коэффициентами, S - основанием системы счисления, а S^j – весовыми коэффициентами. Значение любого разрядного коэффициента в изображаемом числе может лежать в диапазоне от 0 до S-1. В настоящее время во всех странах мира используется десятичная система счисления, представляющая собой позиционную систему счисления с основанием S=10. Разрядные коэффициенты при изображении чисел в десятичной системе счисления могут принимать значения в диапазоне от 0 до 9. Для краткости вместо записи числа в виде полинома записывают только последовательность разрядных коэффициентов этого полинома. Когда мы пишем десятичное число X₁₀=163,28, то подразумеваем величину

Нижний индекс в записи числа указывает на основание используемой системы счисления. В принципе, роль основания способно играть любое вещественное число. Переход от системы счисления с произвольным основанием к десятичной системе счисления осуществляется при помощи выражения 1.1, которое справедливо как для целой, так и для дробной частей числа. Возьмем, например, восьмеричное число 367₈ и преобразуем его в десятичное. Вполне логично записать это число как

.

Переход от десятичной системы счисления к системе счисления с произвольным основанием выполняется в соответствии со следующими правилами: целая часть десятичного числа делится на основание новой системы счисления, запись целой части нового числа производится с последнего результата деления (старший разряд целой части); дробная часть десятичного числа умножается на основание новой системы счисления, запись результата нового числа производится с первого результата умножения (старший разряд дробной части).

То же самое десятичное число 247₁₀ можно записать в виде 11110111₂ двоичного числа. Действительно

247:2=123+1 (X₀=1)

123:2=61+1 (Х₁=1)
61:2=30+1 (Х₂=1)
30:2=15+0 (Х₃=0)
15:2=7+1 (Х₄=1)
7:2=3+1 (Х₅=1)
3:2=1+1 (Х₆=1)
1:2=0+1 (Х₇=1)

Записываем число в новой системе счисления с последнего результата деления: 11110111₂.

Осуществим перевод дробного десятичного числа 125,48₁₀ в двоичное. Переведем сначала целую часть:

125:2=62+1 (Х₀=1)

62:2=31+0 (Х₁=0)
31:2=15+1 (Х₂=1)
15:2=7+1 (Х₃=1)
7:2=3+1 (Х₄=1)
3:2=1+1 (Х₅=1)
1:2=0+1 (Х₆=1)

Записываем целую часть: 125₁₀=1111101₂.

Переведем теперь дробную часть:

0,482=0+0,96 (Х_-1=0)

0,962=1+0,92 (Х_-2=1)
0,922=1+0,84 (Х_-3=1)
0,842=1+0,68 (Х_-4=1)
0,682=1+0,36 (Х_-5=1)
0,362=0+0,72 (Х_-6=0)
0,722=1+0,44 (Х_-7=1)
и т.д.

Следует иметь в виду, что дробная часть числа в новой системе счисления может иметь большое количество разрядов и даже оказаться бесконечной. Поэтому нет необходимости находить все разряды, а можно ограничиться лишь их частью исходя из требований точности представления числа. В нашем случае ограничимся семью разрядами дробной части и запишем ее с первого результата умножения 0,48₁₀=0,0111101₂. Окончательно получается 125,48₁₀=1111101,0111101₂.

Для представления числа с основанием системы счисления S средствами цифровой вычислительной техники необходимо, чтобы электронное устройство могло формировать на выходе и воспринимать на входе S различных состояний электрических сигналов. При этом каждый разряд должен обрабатываться своим отдельным узлом данного устройства. Поэтому, чем выше основание системы счисления, в которой представляются обрабатываемые числа, тем меньше требуется разрядов и, следовательно, узлов электронного устройства. С другой стороны, количество различных состояний электрических сигналов возрастает. Так для представления десятичных чисел средствами электронной техники необходимо, чтобы электронный узел был способен различать десять состояний (уровней напряжения или тока) электрического сигнала. Реализация такого устройства является достаточно сложной технической задачей. Кроме того, такое устройство будет помехонезащищенным из-за сложности идентификации одного из десяти параметров электрического сигнала, что повысит вероятность ошибочного результата обработки. Требования помехоустойчивости в вычислительных устройствах имеют больший приоритет перед аппаратными затратами и, поэтому, наибольшее распространение получила двоичная система счисления, оперирующая с двумя разрядными коэффициентами 0 и 1. Один разряд двоичного кода носит название бит. Группа разрядов из восьми бит называется байтом. Логическому нулю в цифровых вычислительных устройствах обычно соответствует электрический сигнал с низким уровнем напряжения (тока), а логической единице – с высоким.
Кроме двоичной в цифровых вычислительных устройствах часто применяются восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы счисления. В десятичной системе счисления осуществляется, как правило, ввод и вывод информации в цифровые вычислительные устройства с помощью специальных преобразователей с целью упрощения человеко-машинного взаимодействия. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются в основном из-за компактности записи чисел и удобства перевода двоичных кодов в восьми- и шестнадцатеричные. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать знаков - десять арабских цифр от 0 до 9 для записи первых десяти цифр и символы латинского алфавита от A до F для записи оставшихся шести цифр от 10 до 15 (A соответствует цифре 10, В - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15). Так, например, шестнадцатеричное число 4D₁₆ соответствует десятичному числу 77₁₀, так как .
Достоинство восьмеричной и шестнадцатеричной форм записи числа – это легкость перевода из двоичной формы в восьмеричную (шестнадцатеричную) и наоборот. Так как 8=2³ и 16=2⁴, то для записи одного разряда восьмеричного числа требуются три разряда двоичного, а одного разряда шестнадцатеричного – четыре разряда двоичного. Например, чтобы перевести шестнадцатеричное число 1ED9,0A₁₆ в двоичную форму, необходимо каждую шестнадцатеричную цифру представить эквивалентным четырехразрядным двоичным числом: 1₁₆=0001₂, E₁₆=1110₂, D₁₆=1101₂, 9₁₆=1001₂, 0₁₆=0000₂, A₁₆=1010₂. В итоге, отбросив три незначащих нуля перед первой единицей, получим число 1111011011001,00001010₂.
Для ввода и вывода десятичной информации в цифровые вычислительные устройства обычно используется не сама десятичная система счисления, а двоично-десятичная, которая позволяет представить десятичные числа с использованием двоичных кодов. В этой форме каждая цифра десятичной записи числа изображается в виде четырехразрядного двоичного числа (двоичной тетрады). Таким образом, двоично-десятичная система счисления является как бы ограниченным до первых десяти символов вариантом шестнадцатеричной системы. Например, чтобы представить десятичное число 174,83₁₀ в двоично-десятичной форме необходимо, как и в случае с шестнадцатеричной системой счисления, каждый разряд десятичного числа перевести в четырехразрядный двоичный код: 1₁₀=0001₂, 7₁₀=0111₂, 4₁₀=0100₂, 8₁₀=1000₂, 3₁₀=0011₂. Окончательно число будет иметь вид 000101110100,10000011_2-10. В записи двоично-десятичного числа незначащие нули принято оставлять, поскольку оно всегда является формой представления десятичного числа и обрабатывается по группам из четырех разрядов. В связи с этим, нельзя путать двоично-десятичную форму записи числа с двоичной записью того же числа. В первом случае основание системы счисления остается равным десяти - только разрядные коэффициенты при основании выражены в двоичной форме. Для удобства в таблице 1.1 приведены различные формы записи двадцати чисел натурального ряда.
Таблица 1.1.

Десятичное число	Двоичное число	Восьмеричное число	Шестнадцате-ричное число	Двоично-десятичное число
0	0	0	0	0000
1	1	1	1	0001
2	10	2	2	0010
3	11	3	3	0011
4	100	4	4	0100
5	101	5	5	0101
6	110	6	6	0110
7	111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001

Продолжение таблицы 1.1.

Десятичное число	Двоичное число	Восьмеричное число	Шестнадцате-ричное число	Двоично-десятичное число
10	1010	12	A	00010000
11	1011	13	B	00010001
12	1100	14	C	00010010
13	1101	15	D	00010011
14	1110	16	E	00010100
15	1111	17	F	00010101
16	10000	20	10	00010110
17	10001	21	11	00010111
18	10010	22	12	00011000
19	10011	23	13	00011001
20	10100	24	14	00100000

1-2. Числовые коды, представление отрицательных чисел.
Кодом называется любое обозначение, отличное от общепринятого. Общепринято, например, положительные числа отмечать знаком «+» (или вообще не указывать знак), а отрицательные числа отмечать знаком «-». Числа разного знака необходимо уметь изображать состояниями элементов цифровой электроники. Для изображения знака числа вводится дополнительный знаковый разряд, причем состоянию «0» этого разряда соответствует знак «+», а состоянию «1» - знак «-».Такое изображение чисел со знаком называется прямым кодом [X]_пр числа Х. Поскольку разрядность цифровых вычислительных устройств обычно кратна одному байту, то под знаковый разряд отводится крайний левый бит в старшем байте. Таким образом, если для представления чисел в цифровом устройстве предусмотрен один байт (8 бит), то знаковым будет восьмой разряд байта, а оставшиеся семь будут отведены для значащих разрядов числа, что сделает возможным оперировать с целыми числами в диапазоне от –127 до +127. Если же разрядность цифрового устройства 2 байта (16 бит), то знаковым будет шестнадцатый разряд, а значащими окажутся разряды с первого по пятнадцатый и т.д. Таким образом, прямой код целого числа образуется по правилу: если число X положительно, то X_пр=0, X₁, X₂, ... X_n; если число X отрицательно, то X_пр=1, X₁, X₂, ... X_n, где n =8, 16 и т.д.
Обратный код числа образуется инвертированием всех разрядов прямого кода числа, кроме знакового. Операция инвертирования заключается в поразрядной замене нулей на единицы и единиц на нули. Таким образом, если число X положительно, то X_обр=0, , , ... ; если число X отрицательно, то X_обр=1, , , ... , где n = 8, 16 и т.д.
Как известно, правила сложения чисел отличаются от правил вычитания. Чтобы выполнить эти операции необходимо иметь два самостоятельных устройства - сумматор и вычитатель. Но оказалось, что можно обойтись только одним устройством - сумматором, если изображать числа, участвующие в операции, в дополнительных кодах. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом этого числа.
Дополнительный код отрицательного числа получается следующим образом:
записывают обратный код исходного числа;
прибавляют единицу к младшему разряду.
Дополнительный код числа будем обозначать как X_доп. При этом, если в результате вычитания в знаковом разряде получается единица, то результат отрицательный и представлен в дополнительном коде, а если нуль – то положительный и представлен в прямом коде. В таблице 1.2 приводится пример кодов некоторых положительных и отрицательных десятичных чисел.

Таблица 1.2.

Десятичное представление	Двоичное представление	Представление в прямом коде [X]пр	Представление в обратном коде Xобр	Представление в дополнительном коде Xдоп
23	10111	00010111	01101000	00010111
-1	-1	10000001	11111110	11111111
-17	-10001	10010001	11101110	11101111
-70	-1000110	11000110	10111001	10111010

В процессе выполнения арифметических операций необходимо следить за тем, чтобы промежуточные и конечные результаты не выходили бы за пределы отведенной разрядной сетки. Для этих целей используют так называемый модифицированный дополнительный код . Согласно этому коду под знаковый отводится не один, а два разряда. Правила перевода в модифицированный дополнительный код такие же, как и в обычный дополнительный код. Отличие состоит в том, что в модифицированном дополнительном коде положительному числу в знаковых разрядах соответствуют два нуля и отрицательному числу – две единицы. При этом, если в результате некоторой арифметической операции в знаковых разрядах произошло чередование нуля и единицы (возникли комбинации 01 или 10), то имело место переполнение разрядной сетки и результат следует считать неверным.

В принципе, логика выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления наиболее проста. Это наглядно видно на примере сравнения таблиц умножения десятичных цифр с одной единственной таблицей умножения двоичных цифр, имеющей вид: 00=0; 01=0; 10=0; 11=1.
Необходимо особо подчеркнуть, что правила выполнения арифметических операций над многоразрядными числами, представленными в позиционных системах счисления с различными основаниями, одни и те же. Отличие составляют лишь правила сложения и умножения одноразрядных чисел (для каждой системы счисления - свои таблицы умножения и сложения).
В цифровых вычислительных устройствах для реализации операций быстрого деления и умножения числа на 2ⁿ, где n – целое положительное число, используются операции сдвига двоичного кода числа вправо или влево. Сдвинуть двоичный код влево на один разряд соответствует умножению его на 2, а вправо – делению на 2. Например, десятичному числу 8 соответствует двоичный код 00001000, а десятичному числу 16, равному удвоенному значению 8, двоичный код 00010000. Очевиден сдвиг кода влево на один разряд. Десятичному же числу 4, вдвое меньшему 8, соответствует двоичный код 00000100. Налицо сдвиг вправо на один разряд двоичного кода. При проектировании цифровых умножителей на произвольный коэффициент используется алгоритм традиционного умножения столбиком.


1-3. Определение функции алгебры логики.
Для анализа и синтеза цифровых электронных схем широко используется математический аппарат алгебры логики, или булевой алгебры, разработанной в середине XIX века ирландским математиком Дж. Булем. Основным понятием алгебры логики является понятие переключательной функции или булевой функции алгебры логики (ФАЛ). Функцией алгебры логики n переменных называется такая функция, которая принимает только два возможных значения - 0 или 1, как и переменные, от которых эта функция зависит. Для n переменных возможно 2ⁿ различных значений переключательной функции f. Если заданы все 2ⁿ значений функции, то она называется полностью определенной. Если же часть значений функции f не задана, то такая функция носит название неопределенной или частично определенной.
ФАЛ задаются таблично (в виде так называемых таблиц истинности), аналитически (в виде алгебраических выражений), в виде последовательности десятичных чисел или в виде кубических комплексов. В таблице 1.3 приведен пример табличного задания произвольной функции трех переменных f=f(A,B,C).

Таблица 1.3.