Тема Математическое введение в цифровую технику


Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях


Download 0.9 Mb.
bet3/31
Sana30.04.2023
Hajmi0.9 Mb.
#1416190
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   31
Bog'liq
Konspekt lektsy.doc.

Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях.


2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи.
Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии.
Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство - это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения.
Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка:


,

где x(t) - напряжение или ток в схеме, y(t) - внешнее воздействие.


Решение этого уравнения для случая y(t) = const имеет вид:




,

где t - текущее время, x(t) - напряжение или ток в схеме, x(¥) - конечное значение x(t) при t®¥, x(0) - начальное значение x(t) при t = 0.


Характер изменения функции x(t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента).



Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции.


Выполним следующие преобразования:




,
.

Поскольку , то очевидно, что AB = t.


При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени , за который функция x(t) изменяется от значения x(t1) до значения x(t2). Запишем значение функции в точках t1 и t2:


,
.

Откуда



,
,
,
,
.

Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей:


1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком UС(0-) = UС(0+);
2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком IL(0-) = IL(0+).
Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2).



Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи.


Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать:


при t = 0 UС(0) = 0, UR(0) = E;
при t = ¥ UС(¥) = E, UR(¥) = 0.
После подстановки получаем:


,
.

Считая, что конденсатор заряжен до значения UС = E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся:


при t = 0 UС(0) = E, UR(0) = -E;
при t = ¥ UС(¥) = 0, UR(¥) = 0.
После подстановки получаем:


,
.

Характер изменения функций UC(t) и UR(t) представлен на рис. 2.3.





Рис. 2.3. Характер изменения функций UС(t) и UR(t) простейшей RC-цепи.


Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3t конденсатор условно разряжается и заряжается.




2-2. Интегрирующая RC-цепь.
Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции UC(t)=Uвых в общем случае выражается следующими зависимостями:


- нарастающая экспонента для 0  ttи;
- убывающая экспонента для t > tи, где - значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.



Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.


Поскольку , а , то
.
Так как , то
.

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:




,

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем




,

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).





Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.


В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи




.

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:




.

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:




.

При t=0 ,


т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем - расходятся. За меру расхождения на интервале [0, tи] принимают коэффициент нелинейности - относительное изменение производной:




.

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда




,

т.е. чем больше t при данном значении tи, тем меньше ß. Реальная функция Uвых.р в этом случае ближе к идеальной Uвых.ид.


2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.


Электрическая принципиальная схема
Download 0.9 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   31




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling