Тема Математическое введение в цифровую технику

Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях.


2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи.
Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии.
Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство - это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения.
Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка:


,

где x(t) - напряжение или ток в схеме, y(t) - внешнее воздействие.

Решение этого уравнения для случая y(t) = const имеет вид:

,

где t - текущее время, x(t) - напряжение или ток в схеме, x(¥) - конечное значение x(t) при t®¥, x(0) - начальное значение x(t) при t = 0.

Характер изменения функции x(t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента).

Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции.

Выполним следующие преобразования:

,
.

Поскольку , то очевидно, что AB = t.

При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени , за который функция x(t) изменяется от значения x(t₁) до значения x(t₂). Запишем значение функции в точках t₁ и t₂:


,
.

Откуда

,
,
,
,
.

Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей:

1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком U_С(0_-) = U_С(0₊);
2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком I_L(0_-) = I_L(0₊).
Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи.

Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать:

при t = 0 U_С(0) = 0, U_R(0) = E;
при t = ¥ U_С(¥) = E, U_R(¥) = 0.
После подстановки получаем:


,
.

Считая, что конденсатор заряжен до значения U_С = E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся:

при t = 0 U_С(0) = E, U_R(0) = -E;
при t = ¥ U_С(¥) = 0, U_R(¥) = 0.
После подстановки получаем:


,
.

Характер изменения функций U_C(t) и U_R(t) представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Характер изменения функций U_С(t) и U_R(t) простейшей RC-цепи.

Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3t конденсатор условно разряжается и заряжается.

2-2. Интегрирующая RC-цепь.
Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции U_C(t)=U_вых в общем случае выражается следующими зависимостями:


- нарастающая экспонента для 0  t  t_и;
- убывающая экспонента для t > t_и, где - значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.



Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.

Поскольку , а , то
.
Так как , то
.

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:

,

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем

,

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.

В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи

.

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:

.

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:

.

При t=0 ,

т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем - расходятся. За меру расхождения на интервале [0, t_и] принимают коэффициент нелинейности - относительное изменение производной:

.

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда

,

т.е. чем больше t при данном значении t_и, тем меньше ß. Реальная функция U_вых.р в этом случае ближе к идеальной U_вых.ид.

2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема