Tema: Orayliq, parallel proekciyalaw ha’m onin’ qa’siyetleri

ÓZBEKSTAN RESPUBLIKASI JOQARI HÁM ORTA ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTRLIGI


AJINIYAZ ATINDAǴI NÓKIS MÁMLEKETLIK PEDAGOGIKALIQ INSTITUTI


Matematika hám Informatika qánigeligi 2-V kurs talabası Ganiev Quanıshtıń
“Geometriya” páninen



Óz betinshe jumısı


Tema: Orayliq, parallel proekciyalaw ha’m onin’ qa’siyetleri


Tayarladı: _____________
Qabılladı: _____________

Nókis-20__ j


Oraylıq, parallel proektsiyalaw ha'm onin' qasiyetleri.


JOBA

1. 
   Eki tegisliktin perspektiv-affin saykesliligi
   
2. 
   Tegisliktegi perspektiv-affin tu’rlendiriw
   
3. 
   Perspektiv affin sa’ykesliktin bas bagitlari
   

Oraylıq proetksiyalawda geometriyalıq sırtqı kórinisler tómendegishe suwretlenedi.

1-qasiyet. Noqattıń oraylıq proektsiyası noqat boladı.

2-qasiyet. SA nurda jatiwshi A, A1, A2, A3,... noqatlardin' oraylıq proektsiyaları Ap noqat penen ústpe-úst túsedi.

3-qasiyet. Proektsiyalaw orayınan ótimsiz tuwrı sızıq kesiminin' proyeksiyasi kespe boladı.

Proektsiyalar orayi S sheksizlikte jaylasqan dep qaralsa, ol halda proektsiyalaytuǵın tuwrı sızıqlar óz-ara parallel jaǵdaydi iyeleydi. Sol tártipte qurılǵan proektsiyalarga parallel proektsiyalar dep ataladi. Joqarıda, yaǵnıy oraylıq proektsiyalarda aytıp ótilgen ózgeshelikler parallel proektsiyalarda da saqlanıp qaladı. Keńislikgi hár qanday noqat tek bir parallel proektsiyaǵa iye boladı.

Misal 1 Orayliq proeksiyalarga misal qilip, jasalma jaritiw dereklerinen (sham, lampochka) polg’a, diywallarga tusken sayalarin aliw mumkin.

Parallel proektsiyalaw usılı
Parallel proektsiyalarda da tap oraylıq proektsiyalardag'i siyaqli, noqattıń bir proektsiyası onıń keńislikli jaǵdayın tolıq anıqlay almaydı.

S jo'neliske parallel bolǵan AA1, BB1, CC1 proyektsiyalawshi tuwrı sızıqlar P1 tegislik penen kesilisip keńislikgi A, B, C nuqtalardin' A1, B1, C1 geometrik orınlarındı, yaǵnıy parallel proektsiyaları payda etedi.

Eki tegisliktiń perspektiv-affin sáykesligi tuwri sızıq boyınsha kesiliwshi eki , tegislikler jáne bul tegisliklerdi kesetuǵın jo'nelis berilgen bolsın. Parallel proektsiyalaw usılı menen , tegislikler noqatları arasında bir bahalı uyqaslıq ornatamız. Bunday uyqaslıqtı perspektiv-affin sáykesligi yamasa jinsliq uyqaslıq dep ataladı. Bul uyqaslıqta qálegen eki birdey, nuqtalardi birlestiriwshi tuwri siziqlar jo'nelisine parallel boladı.

Endi perspektiv-affin sáykesliginiń ózgeshelikleri menen tanısıp shıǵayıq. (Bunı parallel proektsiyalaw ózgeshelikleri dep de júritiledi.)

Áwele, eki tegisliktiń kesilisken sızıǵınıń hár bir noqatı bunday uyqaslıqta óz-ózine ótiwin eskertip ótiwimiz kerek.

1. Perspektiv-affin sáykesliginde kollinear noqatlar daǵı kollinear noqatlarǵa ótedi.

Eger nuqta tuwri sızıqta bolsa, bul noqat hám sol tuwrı siziq bir-birine insident delinedi. Noqat hám tegisliktiń, tuwrı sızıq hám tegisliktiń insidentligi soǵan uqsas anıqlanadı.

2. Perspektiv-affin sáykesliginde noqat hám tuwrı sızıqtin' insidentligi saqlanadı.

3. Perspektiv-affin sáykesliginde parallel tuwrı sızıqlar taǵı parallel tuwrı sızıqlarǵa ótedi.

4. Perspektiv-affin uyqaslıqta ush noqattıń ápiwayı qatnası saqlanadı.

Haqıyqattan da, tegisliktegi kollinear úshew ,, nuqtag'a tegislikte ,, nuqtalar sáykes keledi.,, proektsiyalawshi tuwrı sızıqlar parallel boladi.

Tegisliktegi perspektiv-affin almastırıw.

Tegisliklerden birin tuwri siziq atirapinda aylandirayiq, sheńberip atırǵan tegislik qanday jaǵdayda bolıwınan qaramastan proektsiyalawshi ,, tuwri sızıqlar parallelliginshe qalaberedi. Atap aytqanda , tegislikler ústpe-úst túsken halda. Bul halda tegislikti tegislikke perspektiv sawlelendiriwshi bir tegislik noqatların óz-ózine sawlelendiriw dep qaraw múmkin. Bunday perspektiv-affin sawlelendiriwdi perspektiv-affin almastırıw dep aytıladı. Tuwri sızıqtı almastırıw og'i dep júritiledi. Bul hal súwretlew metodlarin úyreniwde zárúrli áhmiyetke iye.

Tegislikti perspektiv-affin almastiriw bir jup mas noqatlardin' ha'm oqtin' beriliwi menen tolıq anıqlanadı.

Haqıyqattan da, bizge bir jup noqatlar ha'm oq berilgen bolsın . Ol halda tegislikke qarawlı qálegen noqattin' obrazın jasawımız múmkin. Onıń ushın tuwri sızıqtı ótkerip, onıń tuwri sızıq penen kesilisken noqati menen belgileyik, tuwri siziqtin' obrazi tuwri sızıq bolıp tabıladı. Ízlengen noqat va noqat arqalı tuwri sızıǵına parallel etip ótkerilgen tuwri sızıqta jatıwı shárt. Sonday eken, noqatqa jinsli noqat tuwri siziq penen tuwri sızıqtıń kesilisken noqatı boladı. Eki jinsli figuralardan hár birin ekinshisinen parallel proektsiyalaw usılı menen payda etiwinen dep qaraw múmkin.

Perspektiva haqqinda uliwma túsinik.
Zawlim zawlim binalardi tuwri ko'z aldimizg'akeltiriw ushin onin' ortogonal proektsiyasinan perspektivasin siziw mumkin,
«Perspektiv»
— fransuzcha «Perspective»so'zinen alınǵan bolip «uzaqqa qaraw, uzaqti gu'zetiw»degen ma'nisti an'latadi.
Perspektiv ko'rinis perspektiv orayliq proektsiyalawg'a misal bolip, ko'riw, oray yag'niy gu'zetiwshi bir noqattan qaraydi. Perspektiv ko'rkem-o'ner sanaatinda ko'p
qollanılǵanligi sebepli, rassomlar a'debiy shig'armalar jaratiwda perspektiv na'zerine tiykarlanadi. Sonıń ushin perspektiv ko'rkem-o'nerdin' grammatikasi bolıp tabıladı. Arxitektura
ha'm qurilis islerinda perspektivadan ken' paydalanıladı. Ímaratlar ha'm olardin' kampazitsion sheshimi perspektivada tekseriledi ha'm kerekli o'zgerisler kiritiw mumkin. Perspektiv islewine qarap tu'rlishe boladi:
1. Sızıqlı perspektiv-ko'rkemlew tiykarinan vertikal, ayrim waqitlari awiq tegisliklerde a'melge asiriladi.
2.Panoramali perspektiv
— ko'rkem cilindr ishki sirtina atqarıladı.
3.Gúmbezli perspektiv
— ko'rkem gumbez yaki shar siyaqli ellipsoid sirtlar ja'ne amelge asiriladi.
4.Teatral perspektiv
— suwretlew bir neshe izbe-iz sirtlarg'a a'melge asip, teatr saxnasin bezew ushin isletiledi.
5.Hawayi perspektiv ko'rkemlew sanaatta shuqurlig'i ha'm ken'ligi ren' arqali a'melge asiriladi.
Soǵan uqsasbir neshe perspektivalar bar, bulardan en' tiykarg'isi siziqli perspektiv bolip, qurilis proektsiyalawlarinda ju'da ko'p isletiliwi sebepli bul teren' u'yreniledi. Perspektiv ko'rinis payda qiliw oraylıq proektsiyalaw usilina tiykarlang'anlig'i sebepli proektsiyalar tegisligi ha'm onnan tisqarida gu'zetiw (proektsiyalaw) orayi alinadi.

Perspektiva (lot.perspicio — anıq kóremen) — 1) ámeldegi bolmıstı insan aqıl etkeni sıyaqlı qandayda bir tegis maydan (qaǵaz, taxta, diywal hám basqalar ) de keńislikdegi jaǵdayı hám olardıń bóleklerin baqlaw noqatınan uzaqlasiwi súwretlew sisteması. Realistik suwretleytuǵın kórkem ónerdiń tiykarın quraydı. Real dene (buyım ) lardin' mákan daǵı túrli jaǵday hám kórinisiniń dúzilisi, kóleminiń ayriqsha belgilerin tuwrı suwretin jaratıw imkaniyatın sızıqlı P. bersa, hawa (reń) P. dene (buyım ) lardin' baqlaw noqatınan uzaqlasip barıwı nátiyjesinde reńi hám shegaralarınıń ózgeriwin tuwrı hám isenerli suwretin islewge xızmet etedi. Súwretshilik kórkem ónerinde baqlaw P. si isletiledi. haqıyqatlıqtı as-baplarsız gúzek qanday ko'rse, sonday etip qolda sızıwǵa tiykarlanadı. Taǵı " teris P. " sóz dizbegi bolıp, ol jaǵdayda real bolmıstı nadurıs súwretlew, yaǵnıy uzaqdag'i buyımlardı úlken etip islew (P. nızamlarına itibar bermey islew) mánisin ańlatadı. Bunı ikona kórkem ónerinde kóriw múmkin. Yuno-niston (Evklid qollanbası, eramızǵa shekemgi 3-ásir) hám Qáddi. Rim (eramızǵa shekemgi 1-ásir arxitektor hám a'meliyatshilari) de P.ga tiyisli qımbatlı fiqolar bayanlaingan. Oyanıw dáwirinde g'ana P. ilimiy tiykarda úyrenila baslandı. Paolo Uchchello, Leonardo de vinchi, A. Dyurerlar P. rawajlanıwına u'lken úles qosdılar ; 2) adamnin' zatlardı kórip aqıl etiwine uyqas rawishte olardı tegislikte súwretlew usılı. Arxitektorlikda, qurılısda joybarlardı sızıwda, zatlardıń aksonometriyasinn jaratıwda, qurılatuǵın jay, qurılıs yamasa jasalatug'in buyımdı tábiy halda súwretlewde paydalanıladı. P. qandayda bir bir noqatda tutasatuǵın sızıqdar (nurlar ) jardeminda payda etiledi; 3) sızıqtı P. — keńislikdegi sırtqı kórinislerdi tegislikte oraylıq proektsiya járdeminde súwretlew usılı. Bunda keńislikgi R noqat (suwretke q.) tegislikte OR tuwrı sızıqtıń tegislik menen kesilisiw noqatı bolǵan R'nuqtag'a proektsiyalanadı (O noqat — P. orayı ); 4) hawa P. si zat (buyım ) arnawlı bir aralıqtan gúzetilgende reńi ózgeriwi hám ko'rinisindegi aniqliq buziliwin ańlatadı ; 5) keleshek ushın dúziletuǵın joba.[1]Proektsiya (lot.projectus — aldınǵa irg'itilgan) — geypara zattıń tegislik (qaǵaz ) ga túsirilgen suwreti. Mas, keńislikgi A noqattı P' tegisligine proyeksiyalaw ushın P. orayı S orkali P' tegislik menen L noqatda ke-sishguncha SA tuwrı sızıǵı ótkeriledi. A' noqat A dıń P. si dep ataladı. Qandayda bir G' formanıń proyeksiyası onıń barlıq noqatların proyeksiyalap tabıladı. P. orayından ótimsiz tuwrı sızıq kórinisinde proyeksiyalanadı. Payda etińan P. oraylıq yamasa konus P. dep ataladı.

P. orayı keńisliktiń sheksiz uzaqlıqtaǵı noqatı £°= de bolsa, barlıq pro-yeksiyalovchi tuwrı sızıqlar parallel boladı hám P.parallel yamasa cilindrik P. dep ataladı. Sızılmachiliqda parallel proyeksiyalawdıń jeke túri qollanıladı. Bunda proyeksiyalaw tegisligi proyeksiyalaw baǵdarına perpendikulyar jaylasadı. Bunday P. tuwrı múyeshli yokiortogonal P. dep ataladı. Oraylıq hám parallel P. lar sızılma geometriyada keń qolla -niladi.

Proektsiyalar tegisliklerin almastırıw usılı

Proektsiyalar tegisliklerin almastırıw usılında suwretlengen forma óz orninan qo'zg'almaydi. Máseleniń shártine muwapıq proektsiyalar tegisliklerinen birewi yamasa izbe-iz ekewi almastiriliwi múmkin. Proektsiyalar tegislikleri jańa proektsiyalar tegis-liklerine almastırilg'anda olardin' óz-ara perpendikulyarlıǵı saqlanadi, yaǵnıy eki proektsiyalar tegislikleri, mısalı, H hám v hám N lar óz-ara perpendikulyar etip alınadı. Jańa koordinata oqlari X,, dep belgilenedi. Jańa, mısalı, H, hám v, sistemasında noqattıń proektsiyaları x, ga perpendikulyar sızıq arqalı baylanısadı. Mısalı, jańa x, oqti kesimnin' gorizontal proektsiyasi A' B' ga parallel etip qálegen aralıqta ótkeriledi. A' B' den ga perpendikulyar etip proektsiylardi baylanistiriwshi siziqlar o'tkeriledi. Sol sızıqlarǵa x den A“ B“ lardi o'lshep, Xj den qóyıladı hám olar o'z-ara tutastırıladı. H asilip ólgen A“, B“,- kesimini' haqıyqıy uzınlıǵı esaplanadı. Bul protsessti kesimnin' frontal proektsiyası A“ B“ ga salıstırǵanda qollasa da boladı. Bul processlerdi ayqın

suwretlerde hám epyurlarda berilgen suwretlerdi dıqqat menen u'yrenip, bilimin'izdi bekkemlen'.
Mısal. Gorizontal proektsiyalaytuǵın ABC (A B' C', A“ B“ C“)
tegisliktiń haqıyqıy úlkenligi anıqlansin.Tegis formalardin' haqıyqıy úlkenligin tabıwda olar proektsiyalawshi jaǵdayda bolsa, x, ni tegisliktiń tuwrı sızıq kesimi kórinisindegi proektsiyasına parallel etip ótkeriledi.

1. Jańa koordinatalar og'i x, ni A' B* C ga parallel etip ótkeriledi hám A' B' O lardan x, g'a perpendikulyar etip proektsiyalardi baylaw sızıqlar ótkeriledi.
2. x den A“ B“ C“ larg'a shekem bolǵan aralıqlar ólshep alınadı hám olar xl den v, tárep uyqas túrde ólshep qóyıladı.
3. Payda bolǵan A”, B“, C", lar óz-ara tutastırıladı. Sonda úshmúyeshliktiń haqıyqıy úlkenligi anıqlanadı. Bul jerde A* B' C' 11
X, bolǵanı ushın da A“, B“, C", óziniń haqıyqıy úlkenliginde suwretlenip atır. Mısal. ABC (A' B* O, A“ B“ C“) úshmúyeshliktiń haqıyqıy úlkenligi anıqlansin. Tegis forma ulıwma jaǵdayda suwretlengenligi ushın haqıyqıy úlkenligin anıqlaw ushın, aldın bul tegislik proektsiyalawshi jaǵdayǵa keltirip alınadı. Keyin joqarıda bayanlangan. Sol sebepten proektsiyalar tegisliklerin izbe-izlikte eki ret almastırıwǵa tuwrı keledi.
1. Tegisliktiń bas sızıqlarinan biri, mısalı, gorizontal ótkerip alınadı hám oǵan perpendikulyar etip x, ótkeriledi.
2. X, ga perpendikulyar etip tegisliktiń A' B' C noqatlarınan proektsiyalardı baylanistiriwshi sızıqlar sızıladı hám olarǵa x den A“, B“
hám de C“ noqatqa shekem bolǵan aralıqlar x, den ólshep qóyıladı
hám payda bolǵan noqatlar óz-ara tutastırıladı. Sonda tegislik fron-
tal proektsiyalaytuǵın jaǵdayǵa almastırılǵan (ótken) boladı.

4. 
   Ekinshi jańa proyeksiyalar tegisligin ańlatpa etiwshi x^ ni A" j B“, C“, ga parallel etip ótkeriledi. A“, B“, C", lardan Xj ga perpendikulyar etip ekinshi jańa proektsiyalardı baylanistiriwshi sızıqlar sızıladı. x, den A' B' C ge shekem bolǵan aralıqlari ólshep, x^ den H, tárep o'lshep qóyıladı. Sonda ónim bolg'an A“ B“ C" lar óz-ara tutastırılsa, úshmúyeshliktiń haqıyqıy úlkenligi tapıladi.
   

Bul mısaldı proektsiyalar almastırıw usılında sheshiw ushın, noqat penen kesimnin' ushlari birlestirilib, úshmúyeshlikke aylantiriladi. Keyin aldınǵı mısal sıyaqlı usi ushmu'yeshtin'.haqıyqıy úlkenligi,proyeksiyalar tegisliklerin izbe-iz eki marte almastırıp, anıqlangannan keyin T" den A" B" ga perpendikulyar o'tkerilse, izlep atirg'an aralıqtıń haqıyqıy úlkenligi tabıladı. Qayta qayta tiklew jolı arqalı bul aralıqtıń H hám v dagi proektsiyaları anıqlanadi. Onıń ushın S'* den perpendikulyar sızıp, A", B“, de S“,belgilenedi hám bolsa Xj ga perpendikulyar sızıp, A' B' de S' tabıladı hám ol arqalı A" B“ de S" anıqlanadı. Mısal.T (T, T“) noqattan P (P^,P^) tegislikke shekem bolǵan eń qısqa aralıqtıń haqıyqıy uzınlıǵı tapilsin.

1. X, oqti tegisliktiń ızlerinen,mısalı, P^ ga perpendikulyar etip ótkeriledi hám tegisliktiń Pv izinde ixtiyariy 1 (1', 1“) noqat tańlap alınadı.1' den x' ga perpendikulyar (P^ ga mamıqallel) etip járdemshi sızıq sızıladı.
2. 1* 1" aralıq x, dagi 1“ noqattan ólshep qóyıladı hám Px penen tutastırıladı. Sonda ulıwma jaǵday daǵı P tegislik frontalR„ proektsiyalaytuǵın jaǵdayǵa ótedi, keyininen T (G, P ) noqat
da alıp ótiledi.
3. " P, den P^, ga perpendikulyar sızıq sızılıp, ol jaǵdayda S", noqat
belgilenedi. Sonda ızlenip atırǵan eń qısqa aralıqtıń haqıyqıy ulkenligi tabılǵan boladı. Bul eń qısqa aralıqtıń haqıyqıy úlkenligi P S°, ni H hám v sistemasında anıqlaw ushın qayta qayta tiklew usılınan faydalaniladi. Bul process strelkalar arqalı kórsetilgen.
Mısal. O'z-ara kesilisken tuwrı sızıq kesimleri arasındaǵı eń qısqa aralıqtıń haqıyqıy uzınlıǵı tapilsin.
1. Bul jerde, aval, berilgen kesimlerden birin noqat jaǵdayına keltirip alıw zarur, sonda noqattan tuwrı sızıq kesimine perpendikulyar ótkerilip, eń qısqa aralıqtıń haqıyqıy uzınlıǵı tapıladi. Shuning uchun x, o‘qni, masalan, A‘ B‘ ga parallel qilib o‘tkeriledi ham onin jana V tegisliktegi proektsiyasi aniqlanadi.
2, Xj ni A“, B“, perpendikulyar etip o'tkeriledi sonda bul kesim noqat ko'rinisine o'tedi. AB* menen bir qatarda CE (O E“)
kesim ham almashtirib bariladi.

Kesimnin' noqat ko'rinisindegi proektsiyasi A', = B', den O, E', ge perpendikulyar sizip, shiyeleniwshi eki tuwri siziq arasindag'i en' qısqa araliqtin' haqıyqıy uzinlig'i tabiladi. Onıń proektsiyalardaǵı sebebi anıqlawda, qayta qayta tiklew usılınan paydalanıladı (3. 1. 6 - sızılma ).
Mısal o'z ara bir sızıqta kesisip atırǵan eki úshmúyeshlik tegis-lik arasındaǵı sızıqlı múyesh anıqlansin.
Bul máselede úshmúyeshlikli tegisliklerinin' o'zara kesilisiw :sizig'i AB (A' B', A" B“) ni noqat kórinisine kelgenshe proektsiyalarin tegisliklerin izbe-iz eki ret almastırıladı. Bunıń ushin aweli x, ni A B' ga parallel etip ótkeriledi, keyin ni A“j B“, ga perpendikulyar etip sızıladı. Sonda AB kesim noqat ko'rinisine keledi. AB menen bir waqtıniń ózinde C, S noqatlari almastırıp barıladı. A', s B', menen O, Ladi. Sol sebepli x, mısalı, A' B' ga parallel etip o'tkeriledi jáne onıń jańa v tegisliktegi proektsiyası anıqlanadı.
2, Xj ni A“, B“, perpendikulyar etip o'tkeriledi, bul kesim noqat ko'rinisine o'tedi. AB* menen bir Katarda CE (O E“) kesim de almastırıp barıladı.
3. Kesimnin' noqat ko'rinisindegi proektsiyası A', = B', den O, E', ga perpendikulyar sızıp, shiyeleniwshi eki tuwrı sızıq arasındaǵı eń qısqa aralıqtıń haqıyqıy uzınlıǵı tabıladı. Onıń proektsiyalardaǵı sebebi anıqlawda, qayta qayta tiklew usılınan paydalanıladı
Mısal o'zaro bir sızıqta kesisip atırǵan eki úshmúyeshlik tegis-lik arasındaǵı sızıqlı múyesh anıqlansin