tenglamani va 15) shartni ikkala tomonini ga ko’paytirib hamda

Mustaqil yechish uchun masalalar
Quyidagi masalalarda berilgan shartlarni butun x o’qiga mos davom ettirish yo’li bilan ularning yechimini toping:
486.

487.

488.

489.

490.

491.

492.

493.

494.

{127}
395.

4- . Chekli sohalarda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalari uchun qo’yilgan masalalarni Grin funksiyasi yordamida yechish
Ushbu

(3.54)

chekli sohada aniqlangan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun qo’shma tenglama

(3.55)
ko’rinishda bo’ladi.
Har qanday etarlicha differensiallanuvchi u va v funksiyalar uchun quyidagi

ayniyat o’rinli. (3.56) ayniyatni soha bo’yicha integrallab (3.54) tenglamaning ixtiyoriy yechimini beruvchi

asosiy integral formulani olamiz [5],[7],[19], bu yerda

funksiya (x,t) bo’yicha (3.54) tenglamani, ( ) bo’yicha esa (3.55) tenglamani qanoatlantiradi.
I-Masala. (3.54) tenglamaning
sohada aniqlangan va uzluksiz hamda

boshlang’ich va

{128}

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini Grin funksiyasi yordamida toping, bu yerda .
Yechish. Masalani yechishdan oldin I-aralash masalaning Grin funksiyasini toppish kerak.
Tarif. I-aralash (chegaraviy) masalaning Grin funksiyasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi [5]:
1) funksiya PABQ sohada aniqlangan va har qanday uchun ( ) bo’yicha (2) tenglamani qanoatlantiradi;
2) Ushbu


bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
3)
bo’ladi;
4) ixtiyoriy ya’ni (0< < <1);
5)
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda funsiya quyidagi

shartlarni qanoatlantiruvchi (3.55) tenglamaning regulyar yechimidir, funksiya esa (3.58) formula orqali aniqlanadi.
(3.64) Grin funksiyasidan va (3.57) formuladan foydalanib, I-aralash masalaning yechimi quyidagicha

{129}

topiladi.
Agar bo’lib, AB esa (0,1) intervaldan iborat bo’lsa, u holda (3.54), (359), (3.60) I-aralash masalaning yechimi (3.66) formulaga ko’ra


ko’rinishda bo’ladi [5], bu yerda , .
(3.67) formuladagi – Grin funksiyasini akslantirish usuli yordamida tuziladi. Bunda musbat manbalar nuqtalarda, manfiy manbalar nuqtalarda joylashtirib, uning ko’rinishi quyidagicha ifodalaymiz:

Bu yerda - funksiya (3.58) formula orqali topilib, u (3.54) tenglamaning fundamental yechimi bo’ladi.
(3.68) qatorni quyidagi ko’rinishda ham yozib olish mumkin:

bu yerda


bildiradi. (3.70) qatorning hadlari x va t bo’yicha , sohada istalgan tartibda

{130}
hosilalarga ega. (3.70) qator , (t*-ixtiyoriy musbat son) sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Xuddi shunday (3.70) qatorni x va t bo’yicha hadlab differensialash natijasida hosil bo’lgan qatorlar ham , sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Hamda t , t> bo’lganda (3.70) qatorning har bir hadi nolga intiladi.

Shunday qilib, (3.69) qator bilan aniqlagan funksiya Grin funksiyasi uchun qo’yilgan 1), 2), 3), 4) shartlarni qanoatlantiradi.
II-masala. (3.54) tenglamaning.
sohada aniqlangan va uzluksiz
hamda

boshlang’ich va

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini Grin funksiyasi yordamida toping.
Yechish. Davom ettirish usuli yordamida (III bobning 3- dagi 2-misolga qarang) Grin funksiyasini quyidagicha tuzib olamiz:

(3.73)
Bunda manbalarni joylashish sxemasi quyidagicha

bo’ladi. (3.73) Grin funksiyasi ushbu xossalarga ega:

{131}

(3.73) Grin funksiyasi va uning (3.74) hossasidan hamda (3.75) formuladan foydalanib (3.54), (3.71), (3.72) II-aralash (chegaraviy) masalaning yechimini quyidagicha ko’rinishda


yozib olamiz.
Xuddi yuqoridagi masalalarga o’xshash III-aralash (chegaraviy) masalani ham Grin funksiyasi yordamida yechish mumkin[5].
Koshi masalari.
tenglamaning sohada aniqlangan va uzluksiz hamda
(3.77)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini Grin funksiyasi yordamida toping.