tenglmalar vektor ko’rinishida quydagicha ifodalanadi

Mexanik sistemaning erkinlik darajasi. Umumlashgan kuch
N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemani qaraymiz. Sistemaga k ta golonomli bog’lanish qo’yilgan bo’lsin. Qaralayotgan sistemaning holati n=3N-k ta q1, q2,…, qn o’zaro bog’liq bo’lmagan parametrlar bilan aniqlanadi. Ana shu qi (i=1,2,…,n) parametrlarga sistemaning umumlashgan koordinatalari deyiladi. Sistemaning erkinlik darajasi deb, umumlashgan koordinatalarning o’zaro bog’liq bo’lmagan variatsiyalari soniga aytiladi. Barcha 3N ta dekart koordinatalarini umumlashgan q1, q2,…, qn koordinatalar orqali ifodalash mumkin, ya’ni
(3.1)
(3.1) tenglmalar vektor ko’rinishida quydagicha ifodalanadi:
(3.2)
Agar bog’lanishlar statsionar bo’lsa, (3.1) tenglamalarni shunday tasvirlash mumkinki, ularning ifodasiga vaqt oshkor ko’rinishda kirmaydi, ya’ni
(3.3)
Bu holda systema nuqtalarining radius vektorlari ham faqat umumlashgan koordinatalarning funksiyasi bo’ladi, ya’ni
(3.4)
vaqtni fiksirab olib, (3.1) funksiyalarni differensiallaymiz:
bog’lanish tenglamalarini fiksirlangan t uchun to’la differensialini hisoblaymiz
Endi bog’lanish tenglamalarini variatsialaymiz

Olingan oxirgi tenglamalardan differensiallar variatsialar bilan mos tushadi.

Koordinatalar variatsialari statsionar bog’lanish uchun ham, quydagi formulalar bilan hisoblanadi:
(3.5)
larga umumlashgan koordinatalarning variatsialari deyiladi.
Bundan tashqari xulosa qilish mumkunki, golonomli sistemaning erkinlik darajasi umumlashgan koordinatalarning soniga teng bo’lar ekan. Nogolonomli sistema uchun bunday emas, ya’ni sistemaning erkinlik darajasi umumlashgan koordinatalar sonidan nogolonomli bog’lanishlar tenglamalari sonining ayirmasiga teng.
Sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi kuchlarning mumkin bo’lgan ko’chishlarda bajargan ishlari yig’indisiga mumkin bo’lgan ish deyiladi. Mumkin bo’lgan ish quydagicha yoziladi:
(3.6)
bu yerda: sistemaning v- nuqtasiga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning teng ta’sir etuvchisi, - o’sha nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi bo’ladi.
(3.2) va (3.5) ga asosan mumkin bo’lgan ko’chish uchun quydagi ifodani yozish mumkin:
(3.7)
(3.7) ni (3.6) ga qo’yamiz;
Bu yerda yig’indi tartibini almashtiramiz
Quydagicha belgilash kiritamiz
(3.8)
Qi ga qi umumlashgan koordinataga mos umumlashgan kuch deyiladi. Har bir umumlashgan koordinataga bitta umumlashgan kuch mos keladi. Natijada:
(3.9)
Umumlashgan ish ifodasidagi umumlashgan koordinatalar variatsiyalari oldidagi koeffisientlar umumlashgan kuchlarni ifodalaydi.

2-Mavzu: MUVOZANAT SHARTLARINING UMUMLASHGAN

KOORDINATALARDA BERILISHI
Ideal bog’anishli moddiy sistema muvozanatining zaruriy va yetarli sharti, virtual ko’chish prinsipiga asosan

bo’ladi. (3.9) formulaga asosan, mumkin bo’lgan ishni quydagicha yozamiz:

(5.1)
variatsiyalar o’zaro bog’liq emas, shuning uchun, agar bu variatsiyalar oldidagi koefisientlar nolga teng bo’lsa, ya’ni
Q1=0, Q2=0,…, Qn=0 (5.2)
(5.1) tenglik bajariladi. (5.2) tengliklar ideal bog’lanishli moddiy sistemaning muvozanatda bo’lishining zaruriy va yetarli shartini beradi.
Agar golonomli stasionar sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potensialli bo’lsa, quydagi munosabat bajariladi:
(5.3)
bu yerda П=П(x1,y1,z1, x2,y2,z2, …, xn,yn,zn,) sistemaning potensial energiyasi. (5.3) ni umumlashgan kuchni topish formulasi (3.8) ga qoyamiz
(5.4)
Shunday qilib, potensialli kuchlar bo’lgan holda umumlashgan kuchlar, sistema potensial energiyasidan mos umumlashgan koordinata bo’yicha olingan hususiy hosilaning qarama-qarshi ishora bilan olinganiga teng.
Bu holda golonomli sistemaning (5.1) muvozanat shartlari quydagi ko’rinishga keladi:
(5.5)
Demak, sistemaning muvozanat holatida, uning potensial energiyasi ekstremal qiymatga ega bo’lar ekan.
3-Mavzu:MEXANIK SISTEMA HARAKATGSHING DEKART KOORTALARIDAGI TENGLAMALARI. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI
Aktiv kuchlar ta’siridagi mexanik sistemani qaraymiz. Sistemaga chekli golonomli va differensial bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin, N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemaning harakat differensial tenglamalari quyidagicha bo’ladi.
6.1
Bu tenglamalarda 3N ta dekart koordinalari, 3N ta reaksiya kuchlarining proyeksiyalari, ya’ni 6 N ta noma’lum qatnashadi.
Sistema nuqtalariga k ta chekli