Теорема гаусса-маркова по учебной дисциплине: эконометрика

2.2 Теорема Гаусса для электростатических полей в вакууме

Электрическое поле бесконечной заряженной плоскости Для нахождения поля Е воспользуемся теоремой Гаусса.

Силовые линии электрического поля идут перпендикулярно к поверхности, а эквипотенциальные поверхности параллельно поверхности, следовательно нужно выбрать поверхность в виде параллелепипеда или цилиндра.
Поток вектора Е через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Следовательно, запишем поток только через торцы:


,

или векторном виде

Потенциал в пространстве от бесконечной плоскости найдём, положив его равным нулю на самой плоскости φ(0)=0:

Окончательно

Поле двух параллельных заряженных плоскостей

Пусть имеется две параллельные плоскости заряженные противоположно σ_- и σ_+. Поле по обе стороны от этих плоскостей равно нулю, так как они взаимно компенсируют друг друга. А внутри между плоскостями поле удваивается:


.

Пусть на левой плоскости помещённой нами в начало координат потенциал равен нулю. Тогда между плоскостями потенциал равен:

.

Окончательно

Величину, являющуюся пределом отношения потока поля через замкнутую поверхность к объёму, при стремлении объёма к нулю, называют дивергенцией поля:

Вычислим дивергенцию для некоторого неоднородного поля Е в декартовой системе координат. Выделим для определённости малый объём dxdydz в виде куба, с гранями параллельными осям. Куб пронизывает поток поля Е. Так как поле неоднородно, то через противоположные грани протекают разные потоки

рис.8. Противоположные грани протекают разные потоки

При выводе нужно учесть, что к грани площадью ΔxΔy перпендикулярен вектор Е_z , грани ΔzΔy вектор Е_x, грани ΔxΔz вектор Е_у. Так как интеграл берётся по замкнутой поверхности , то по каждому направлению нужно вычесть потоки через соответствующие грани, при этом вектор Е получает приращение.

Тогда предел можно расписать в виде:

Итак, дивергенцию можно записать так:

Пусть заряд q находится в объёме V, охватываемом поверхностью S.