Теорема гаусса-маркова по учебной дисциплине: эконометрика

Глава 2 Применение теоремы Гаусса-Маркова

2.1 Теорема Гаусса в дифференциальной форме

В курсе векторного анализа доказывается очень полезная теорема. Она связывает интеграл от вектора по поверхности с интегралом дивергенции этого вектора по объёму:

Её можно использовать для вывода теоремы Гаусса в дифференциальной форме:

Циркуляция вектора Е

Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа этих сил не зависит от пути. А зависит только от начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле систем неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда взять положительный единичный заряд, то работа сил поля равна:

Этот интеграл берётся по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.

Из независимости от пути следует, что по замкнутому контуру интеграл будет равен нулю:

Определение. Интеграл от вектора по замкнутому контуру (пути) называется циркуляцией вектора и обозначают С или (рис.6).

рис.6. Интеграл от вектора по замкнутому контуру

Теорема о циркуляции вектора Е

Циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю:

Следствие 1. В электростатическом поле силовые линии незамкнуты.

Действительно если бы какая ни будь силовая линия была бы замкнута, то взяв по ней циркуляцию, мы получили бы интеграл отличным от нуля (скалярное произведение Е и dl по всему контуру будет положительно, а следовательно и вся сумма-интеграл тоже больше нуля).
Поле, циркуляция которого равна нулю, называется потенциальным.
Ротор поля Е
Рассмотрим отношение циркуляции вектора Е к площади ограниченной контуром. Оказывается это отношение стремиться к некоторому пределу при S→0 , причём этот предел зависит от ориентации контура в пространстве. Ориентация контура задаётся вектором нормали n к плоскости контура и связано с направлением обхода правилом правого винта.
Предел, получаемый при заданной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведёт себя как проекция вектора на вектор нормали к плоскости контура, по которому берётся циркуляция:

Получим выражение для ротора в декартовой системе координат. Для этого выберем очень маленький контур в виде прямоугольника лежащий в плоскости х,у (рис.7.)

С

Д

рис.7. Контур в виде прямоугольника лежащий в плоскости х,у

Запишем интеграл - циркуляцию по этому контуру:

Так как под интегралом стоит скалярное произведение, то знаки расставлены в соответствие с направлением единичных векторов базиса.

Теперь разделим результат на площадь контура и возьмём предел, так как нормаль направлена на нас из рисунка, то это будет z-вая проекция ротора:

Аналогично получим х и у проекции ротора:

,
.

Собрав все три проекции вектора вместе можно записать вектор в виде определителя:

Ротор ещё иногда называют вихрем.