Теорема гаусса-маркова по учебной дисциплине: эконометрика

Глава 1. Теорема Гаусса-Маркова, основные положения

1.1 Исторические аспекты, связанные с теоремой Гаусса-Маркова

В 1828 г. 27-летний русский математик М. В. Остроградский доложил на заседании Петербургской Академии наук о своих исследованиях в области переноса тепла, а вскоре опубликовал по этим результатам статью «Note sur la theorie de la chaleur» (Заметка по теории теплоты) в журнале Парижской Академии наук Mem. l'Acad. 1, 5/XI, p. 129, где в самом общем виде была доказана следующая формула которая является ничем иным, как иной формой записи приведенного выше выражения в векторных обозначениях.

Дальше следует вопрос: почему теорема о дивергенции часто называется все-таки теоремой Остроградского-Гаусса, т.е. почему здесь указывается и имя Гаусса, а порой, чаще всего в английской и немецкой литературе, только его имя и упоминается? Дело в том, что в 1813 г. Гаусс опубликовал фундаментальную работу «Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata», в которой он исследовал задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь он впервые развил процедуру сведения объемного интеграла к поверхностному для простых функций в выражении и для нескольких частных случаев ограничивающих поверхностей.

Более того, в 1830 г. в работе «Allgemeine Lehrsaetze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaeltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskraefte» («Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния») Гаусс доказал теорему о среднем для гравитационного потенциала, которой мы часто пользуемся в том числе в электродинамике, а именно: среднее значение потенциала по поверхности шара, внутри которого не содержится притягивающих масс, равно его значению в центре. Следом была выведена формула

где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей массу , а под знаком интеграла стоит производная потенциала вдоль внутренней нормали к поверхности . Таким образом, здесь Гаусс в явном виде записал интегральное соотношение, соответствующее теореме о дивергенции для частного случая кулоновских полей. Поэтому появление имени Гаусса при цитировании теоремы о дивергенции для кулоновский полей вполне закономерно. Однако следут помнить о том, что эта теорема в общем виде была доказана впервые Остроградским. Далеко не всегда (особенно в последние годы) это обстоятельство принимается в расчет, а иногда приводит и к таким несуразным высказываниям, одно из которых побудило меня написать эту заметку.

Трудно сказать, по какой причине имя Остроградского вытирается при цитировании теоремы о дивергенции. Таких причин может быть в действительности несколько. Самая банальная состоит в том, что произнести «теорема Гаусса» проще, чем «теорема Остроградского-Гаусса», особенно для нерусскоговорящего. Однако, не последнюю роль могут играть соображения приоритета со стороны того или иного научного сообщества. Как уже я упоминал выше, в Германии и в англоязычных странах упоминается в большинстве случаев только имя Гаусса, иногда имена Грина и Стокса (теорема Стокса - это также теорема о конверсии процедуры интегрирования к меньшему числу измерений, а именно преобразование поверхностного интеграла к линейному - она известна как теорема о циркуляции). С другой стороны, во французской литературе, часто называется только имя Остроградского. Традиции цитирования в нашей стране, как правило во все времена были более корректны, поэтому чаще всего теорема о дивергенции называется у нас теоремой Остроградского-Гаусса. Разумеется, каждый из нас волен соотносить эти теоремы с теми именами, которые ему наиболее симпатичны (или удобопроизносимы), но при этом не следует забывать о достойном отношении к тем людям, наследием которых мы пользуемся.