Teoremalari: eski sharobdan
Download 1.44 Mb.
|
Configurations (1)
ta shishUshbu bo'lim so'nggi maqolaga asoslangan [47]. Asosiy g'oya shundan iboratki, planar proyektiv konfiguratsiya teoremalarida nuqtalar bo'lgan fazoviy analoglar mavjud Machine Translated by Google va proyektiv tekislikdagi chiziqlar fazodagi chiziqlar bilan almashtiriladi va ikki nuqtani bir chiziq bilan bog'lovchi va ikkita chiziqni bir nuqtada kesib o'tuvchi ikkita amal ikki chiziqning umumiy perpendikulyarini olish bilan almashtiriladi. 3 o'lchovli fazodagi ikkita chiziqning shishi ularning umumiy perpen dikularidir. a va b chiziqlarning shishini S(a, b) bilan belgilaymiz. Evklid va giperbolik bo'shliqlarda umumiy juft chiziq o'ziga xos shishga ega; sferik geometriyada umumiy juft chiziqlar (katta doiralar) S dagi ikkita qutbga ega bo'lgan katta doiraga o'xshab, ikkita shishga ega. Biz har doim teorem2alarni shakllantirishda ishtirok etadigan chiziqlar umumiy holatda bo'ladi deb taxmin qilamiz. Bu erda tasvirlanganidek, Pappus teoremasining "shichik tarjimasi" keltirilgan 1-rasm: Teorema 7.1 a1, a2, a3 umumiy shlikli uchlik chiziqlar, b1, b2, b3 esa umumiy shishli yana uchlik chiziqlar bo'lsin. Keyin chiziqlarS(S(a1, b2), S(a2, b1)), S(S(a1, b3), S(a3, b1)) va S(S(a2, b3), S(a3, b2) ) shish bilan baham ko'ring. Bu teorema, shuningdek, keyingi teoremalarda ham R Va bu erda tasvirlangan Dezarg teoremasining shish versiyasi 2-rasm: 3 , S3 va H3 . teorema a1, a2, a3 va b1, b2, b3 ikki uchli chiziqlar bo'lsin, S(a1, b1), S(a2, b2) va S(a3, b3) to'g'ridan-to'g'ri bir shish bo'lsin. Keyin chiziqlarS(S(a1, a2), S(b1, b2)), S(S(a1, a3), S(b1, b3)) va S(S(a2, a3), S(b2, b3) ) shuningdek, shish bilan bo'lishing. Ushbu misollardan "tarjima qoidalari" aniq bo'lishi kerak. Uchinchi misol sifatida, qutblilikni o'z ichiga olgan konfiguratsiya teoremasini ko'rib chiqing, ya'ni 6-bo'limda muhokama qilingan uchburchakning uchta balandligi bir vaqtning o'zida ekanligi haqidagi teoremani ko'rib chiqaylik. Uning shish versiyasida qutbli qo'shaloq jismlarni ajratib bo'lmaydi, masalan. katta doira va uning qutbi sifatida. Bu hosil beradi Teorema 7.3 Uchta a, b, c chiziqlar berilgan, chiziqlar S(S(a, b), c), S(S(b, c), a) va S(S(c, a), b) shish bilan baham ko'ring. 31
teoremasi Petersen-Morli bo'lib, u Hjelmslev-Morley nomi bilan ham tanilgan, orem [29]. Ekvivalent formula: fazoviy to'rtburchaklar olti burchakning qarama-qarshi tomonlarining umumiy normalari umumiy normaga ega. [31] dan olingan 26-rasmga qarang. rasm: Petersen-Morley konfiguratsiyasi o'n qatorli. Berilgan chiziqqa to‘g‘ri burchak ostida to‘g‘ri keladigan 2 parametrli qatorni N bilan belgilang. N to'plamlar konfiguratsiya teoremalarining shish versiyalarida chiziqlar rolini o'ynaydi. 3-bo'shliqdagi chiziqlarning ikki parametrli oilalari deyiladi muvofiqliklar. Keyinchalik biz doiralarning chiziqli analoglarini tasvirlaymiz. 3-bo'shliqda yo'naltirilgan chiziq (elliptik, evklid yoki giperbolik) bo'lsin. G ni saqlaydigan yo'nalishni saqlaydigan izometriyalar guruhining 2 o'lchovli kichik guruhi bo'lsin. Yo'naltirilgan chiziqning orbitasi G(m) m o'qi bilan eksenel moslik (aylana markazining analogi) deb ataladi. o'q bilan eksenel moslik R.da 3 , chiziqlari teng masofada joylashgan va u bilan teng burchak hosil qiladi. Giperbolik bo'shliqda yo'naltirilgan chiziqlar orasidagi murakkab masofani aniqlash mumkin, qarang [28]. Eksenel muvofiqlik chiziqlari va uning o'qi orasidagi murakkab masofa doimiydir. Eksenel moslashuvlar doiralarning asosiy xususiyatlarini o'rtoqlashadi: agar ikkita umumiy eksenel moslik bir chiziqni bo'lsa, u holda ular boshqa noyob chiziqni bo'lishadi; va uchta umumiy yo'naltirilgan chiziq noyob eksenel muvofiqlikka tegishli. Keyingi natija Paskal teoremasining shish analogidir, 3-rasmga qarang, agar konus aylana bo'lsa. teorema A1, . . . , A6 eksenel mos keladigan chiziqlar bo'lsin. Keyin S(S(A1, A2), S(A4, A5)), S(S(A2, A3), S(A5, A6)) va S(S(A3, A4), S(A6, A1) ) shish bilan baham ko'ring. Boshqa, kamroq ma'lum bo'lgan misol sifatida, Kliffordning doiralar zanjirini ko'rib chiqing. Ushbu teoremalar zanjiri 1, 2, 3, yorlig'i bilan belgilangan parallel doiralar to'plamidan , n. i va j aylanalarning kesishish nuqtasi etiketlanadi boshlanadi. . . ij. ij, jk va ki nuqtalari orqali aylana ijk bilan belgilanadi. Teoremaning birinchi bayonoti: ijk, jkl, kli va lij aylanalari bir nuqtaga ega; bu nuqta ijkl deb belgilangan. Keyingi gap ijkl, jklm, klmi, lmij va mijk nuqtalari kontsiklikdir; bu doira ijklm deb belgilangan. Va shunga o'xshash, bir vaqtning o'zida va konsiklik bo'lish da'volari bilan; [11, 31] va 27-rasmga qarang, bu erda boshlang'ich doiralar chiziqlar bilan ifodalanadi (cheksiz radiusli doiralar cheksiz nuqtani taqsimlaydi). rasm: Kliffordning doiralar zanjiri (n = 5). Keyingi teorema, R misolida 3 , Richmond [36] tufaylidir. teorema 1) Ci i = 1, 2, 3, 4, chiziqni bo'lishuvchi eksen,el mosliklarni ko'rib chiqing. Har bir i, j ÿ {1, 2, 3, 4} indekslar juftligi uchun Ci va Cj tomonidan taqsimlangan chiziqni ij bilan belgilang . i, j, k ÿ {1, 2, 3, 4} indekslarining har bir uchligi uchun Cijk bilan chiziqlarni o'z ichiga olgan eksenel moslikni belgiliaj ,njkg, kKi.eyin kongruenslar Machine Translated by Google C123, C234, C341 va C412 bir qatorni ulashadi. Ci i = 1, 2, 3, 4, 5, chiziqni bo'lishuvc, hi eksenel muvofiqliklarni ko'rib chiqing. Indekslarning har to'rttasi teoremaning oldingi bayonotida tasvirlanganidek, chiziqni aniqlaydi. Ulardan biri beshta chiziqni oladi va ularning barchasi eksenel muvofiqlikka tegishli. Ci i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 eksenel muvofi,qliklarni ko'rib chiqing, chiziqni taqsimlang. Ularning har beshtasi teoremaning oldingi bayonotida tasvirlanganidek, eksenel muvofiqlikni aniqlaydi. Bittasi oltita eksenel moslikni oladi va ularning barchasi bir chiziqqa ega. Va hokazo... Keyingisi konusning chiziqli analoglarini aniqlashni xohlaydi. Bu yo'nalishdagi birinchi qadam [47] da qilingan, ammo ko'proq ish kerak. Xususan, konuslarni o'z ichiga olgan turli konfiguratsiya teoremalarining, jumladan Paskal teoremasi va butun hexagramm misticum, Poncelet porizmi va 4-bo'limda tasvirlangan teoremalarning shish analoglariga ega bo'lishni xohlaydi. Hozircha bu ochiq muammo. Endi biz yuqoridagi teoremalarni isbotlash uchun ikkita yondashuvni va boshqa planar konfiguratsiya teoremalarining shish versiyalarini ko'rib chiqamiz. Birinchi yondashuv sferik geometriya, ikkinchisi esa giperbolik geometriya orqali amalga oshiriladi. Ikkala yondashuv ham uchta klassik geometriyadagi natijalarni "analitik davomiylik" bilan nazarda tutadi. Bu analitik davom tamoyili geometriyada yaxshi ma'lum; qarang, masalan, [1, 34] qaerda u batafsil muhokama qilinadi. Elliptik yondashuv. S elliptik fazoda yo'naltirilgan katta doiralar fazosi RP3 elliptik fazosi yo'nalt,irilgan 2 o'lchovli Grassman G(2, 4) dir. 4 , yoki qatorlar R niandagi pastki fazolar. . Quyida biz ushbu Grassman haqida tegishli faktlarni to'playmiz RP3 dagi har bir yo'naltirilgan chiziqqa uning ikki tomonlama yo'naltirilgan chizig'i : 4 mos keladi ÿ R dagi tegishli yo'naltirilgan tekisliklar bir-birining ortogonal to'ldiruvchisidir. Ikkita chiziq teng masofada joylashgan va ular cheksiz ko'p shishlarga ega. 2 Grassmann ikki sharning hosilasidir: G(2, 4) = S RP3 da yoÿnaltirilganÿ chiziqni S birlik sharining juft nuqtalari bilan aniqlashni taÿminlaydi. 2 2 × S +. Bu 2 Sÿ va S + : ÿ (ÿ, +). Sferalarning antipodal involyutsiyalari Klein guruhining 2 Z2 × Z2 ta'sirini chiziqning yo'nalishini teskari yo'naltirish va qo'sh chiziqni olish orqali hosil qilingan yo'naltirilgan chiziqlar bo'shlig'ida hosil qiladi. Ikki chiziq va m to'g'ri burchak ostida kesishadi, agar va faqat d(ÿ, mÿ) = 2 bo'lsa . n d(+, m+) = p/2, bu yerda d S dagi sharsimon masofani bildiradi qatori a 34
Machine Translated by Google chiziqlar shishi va m, agar nÿ katta aylananing qutbi ÿmÿ va n+ katta aylananing qutbi +m+ bo‘lsa. To'g'ri burchak ostida kesishgan chiziqlar to'plami kesishgan chiziqlar to'plamiga to'g'ri keladi va ÿ . Umumiy juft chiziqda aniq ikkita shish bor (agar yo'nalish hisobga olinsa, to'rttasi) va ular bir-biriga ikkilanadi. Bundan kelib chiqadiki, elliptik fazodagi chiziqlarni o'z ichiga olgan konfiguratsiya va ularning ÿ shishlarni S va S sharlaridagi bir juft konfiguratsiya bilan aniqlash mumkin 2 +. 2 Ushbu identifikatsiya ostida, bu sohalarning katta doiralari, xuddi 6-bo'limda tasvirlangan dalilda bo'lgani kabi, qutblaridan farqlanmaydi. Ya'ni, ikkita chiziqning shishini olish operatsiyasi ikkala sohada ham o'zaro faoliyat mahsulot bilan ifodalanadi. Shunday qilib, kosmosdagi chiziqlar konfiguratsiyasi mos keladigan tekis konfiguratsiyalarning bevosita mahsulotiga aylanadi. Masalan, Petersen-Morli teoremasi +, 7.3 uchburchaklarning balandliklari sferalarda S ga teng degan ikkita fikrga bo'linadi. 2 va S ÿ 2 parallel bo'ladi. Giperbolik yondashuv. Xulosa qilib aytganda, 3 o'lchovli giperbolik fazodagi shish konfiguratsiya teoremasi giperbolik tekislikdagi konfiguratsiya teoremasining murakkablashuvidir. Biz F.Morli [30, 31], Kokseter [12] va V.Arnold [4] g‘oyalariga amal qilamiz. Yuqori yarim fazo modelidagi giperbolik bo'shliqni ko'rib chiqing. Izometriya guruhi SL(2, C), cheksizlikdagi shar ([30] ning osmon sferasi) Rieman sferasi CP1 dir . H3 dagi chiziq sferani ikki nuqtada abadiylikda kesib o'tadi, shuning uchun (yo'naltirilmagan) chiziqlar bo'shlig'i 2 (CP1 ) = CP2 nuqtalarining tartibsiz juftlarining maydonidir. Biz 3-bo'limda aytib o'tganimizdek, Sk,oynaf'ingiuprarotsyieykativ chiziqdagi bir juft nuqtaga ushbu nuqtalarda nolga ega bo'lgan ikkilik kvadratik shakl beriladi: (a1 : b1, a2 : b2) ÿÿ (a1y ÿ b1x)(a2y ÿ b2x). Shunday qilib, H3 dagi chiziq bir omilgacha murakkab ikkilik kvadrat shakl sifatida ko'rinishi mumkin. Ikkilik kvadrat shakllar fazosi ax2+2bxy+cy2 diskriminant kvadratik ko'rinishga ega ÿ = ac - b va tegishli ikki chiziqli2shaklga ega. Tenglama 2 (CP1 ); bu CP2 dagi konus chiziqlarga to'g'ri keladi . bo'lib , u ÿ = 0 bo'lmagan S diagonalini H3 dagi Keyingi natija [31] ning 52-bandida keltirilgan. 35
Machine Translated by Google Lemma 7.1 H3 dagi ikkita chiziq to'g'ri burchak ostida kesishadi, agar fi = aix + 2bixy + ciy i = 1, 2 bo'lgan tegishli ikkilik kvadrat shakllar ÿ g2a nisbatan ortogo2n,al bo'lsa: a1c2 - 2b1b2 + a2c1 = 0. (2) Agar ikkita chiziq fi = aix 2+2bixy+ciy 2 1, 2 ikkilik kvadrat shakllarga mos kelsa , ularning, i = shishi Puasson qavsga (yakobiy) mos keladi. {f1, f2} = (a1b2 - a2b1)x 2 + (a1c2 - a2c1)xy + (b1c2 - b2c1)y 2 . Agar (a1 : b1 : c1) va (a2 : b2 : c2) proyektiv tekislik va qoÿsh proyektiv tekislikdagi bir jinsli koordinatalar boÿlsa, (2) nuqtalar va chiziqlar orasidagi tushish munosabatini tavsiflaydi. Xususan, to'g'ri burchak ostida sobit chiziq bilan uchrashadigan H3 dagi chiziqlar to'plami CP2 dagi chiziqqa mos keladi . RP2 da qutblanishni o'z ichiga olgan konfiguratsiya teoremasi berilgan deylik . Konusli proektsion tekislik giperbolik tekislikning proektsion modelini ta'minlaydi, shuning uchun konfiguratsiya H2 da amalga oshiriladi . ÿ tomonidan induktsiya qilingan qutblilik bilan CP2 dagi tegishli konfiguratsiya teoremasini murakkablashtirishni ko'rib chiqing . Lemma 7.1 ga ko'ra, bu H3 dagi chiziqlar konfiguratsiyasini beradi, shunda tushuvchi nuqtalar va chiziqlar juftlari to'g'ri burchak ostida kesishgan juft chiziqlarga mos keladi. Izoh 7.2 (Li algebralari to'g'risida) 6-bo'limda muhokama qilingan Li algebralaridagi o'ziga xosliklar nuqtai nazaridan giperbolik tekislikdagi konfiguratsiya teoremalari va giperbolik fazo o'rtasidagi munosabat sl(2, R) va sl() o'rtasidagi munosabatdir. 2, C): birinchisidagi o'ziga xoslik ikkinchisida bir xillikni anglatadi. Fazodagi Li algebralariga kelsak, elliptik holatda Li harakatlar algebrasi shunday(4) = so(3) ÿ so(3), giperbolik holatda esa sl(2, C) ga teng. Shunga ko'ra, elliptik shish konfiguratsiyasi S da ikkita konfiguratsiyaga bo'linadi va H2 dagi ko2n,figuratsiyadan murakkablashtirish orqali giperbolik shish konfiguratsiyasi olinadi. Yuqorida tavsiflangan umumiy naqshga mos kelmaydigan 3-bo'shliqdagi chiziqlarga tegishli ikkita natijani muhokama qilish orqali bo'limni tugatamiz. Ulardan birinchisi Silvestr muammosining shish versiyasidir. Tekislikdagi chekli S nuqtalar to'plamini hisobga olgan holda, S ning har bir juft nuqtalari orqali o'tadigan chiziq SJJ Silvestrning kamida bitta boshqa nuqtasini o'z ichiga oladi, deb faraz qilaylik, 1893 yilda S albatta kollinear nuqtalardan iboratmi yoki yo'qmi deb so'radi. Ushbu muammoning tarixi va uning umumlashmalari uchun [8] ga qarang. 36
Machine Translated by Google RP2 da , Silvestr muammosi dual bilan bir qatorda ijobiy javobga ega (Silvester- Galai teoremasi), lekin CP2da biriga qarshi misol bor: kubik egri chiziqning 9 burilish nuqtasi (ulardan ko'pi bilan uchtasi haqiqiy bo'lishi mumkin). Klein teoremasiga), 12 chiziq bilan bog'langan. Silvestr muammosining shish versiyasi kosmosdagi juft qiyshaygan chiziqlarning chekli to'plamiga taalluqlidir, shunda har qanday juftlikning shishi kamida bitta boshqa chiziq bilan to'g'ri burchak ostida kesishadi. Savol shuki, Silvestrning bu skeyp xususiyatiga ega bo'lgan chiziqlar to'plami, albatta, qandaydir chiziqni to'g'ri burchak ostida kesib o'tuvchi chiziqlardan iboratmi? Teorema 7.6 Silvestr-Galai teoremasining shish varianti elliptik va Evklid geometriyalarida amal qiladi, lekin giperbolik geometriyada muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Isbot. Elliptik holatda biz yuqorida tavsiflangan elliptik isbotda bo'lgani kabi bahslashamiz. Chiziqlar to'plami ikkita nuqta to'plamiga aylanadi, RP2 va shish Silvesteÿr va RP2 da +, xususiyati bu to'plamlarning har biri har bir juft nuqta orqali o'tadigan chiziq boshqa nuqtani o'z ichiga olgan xususiyatga ega ekanligini anglatadi, shuning uchun har bir sferada Silvestr-Galai teoremasi qo'llaniladi. Giperbolik holatda biz giperbolik isbotdagi kabi bahslashamiz. a1, bo'lsin . . CP2 . , a9 da kub egri chizig'ining to'qqizta burilish nuqtasi bo'lsin va b1, b,o'lsin . . . , b12 tegishli qatorlar bo'lsin. b ÿ qutbli ikki n1u, .q.t.a, bobÿ1'l2sin. Keyin nuqtalar va nuqtalar b ÿ ularning ai H3 dagi to'qqiz qatorga to'g'ri keladi, , shishlariga. Biz j to'qqiz chiziqdan iborat to'plamni oling, ular Silvestr xususiyatiga ega, lekin umumiy shishga ega emas. 3 R aloqasining oraliq holatida). , argument V. Timorin (xususiy Keling, R ga qo'shamiz3 cheksizlikdagi tekislik H; H nuqtalari kosmosdagi chiziqlarning yo'nalishlari. Ulardan biri H dagi qutbga ega bo'lib, u ortogonal yo'nalishlar to'plamini, H chizig'ini yo'nalishga belgilaydi. Shuning uchun, agar R da uchta qator bo'lsa3 shishni baham ko'ring, keyin ularning H tekislik bilan kesishishlari kollinear bo'ladi. L1, bo'lsin . . . , Ln shish Silvestr xususiyatiga ega bo'lgan chiziqlar to'plami bo'lsin. Keyin H dagi Silvestr-Galai teoremasi bo'yicha L1 ÿ H, nuqtalari . . . , Ln ÿ H kollineardir. Bu shuni anglatadiki, L1, chiziqlar . . . , Ln parallel tekisliklarda yotadi, aytaylik, gorizontallar. Ushbu chiziqlarning vertikal proyeksiyasini ko'rib chiqing. Biz tekislikdagi parallel bo'lmagan to'g'ri chiziqning chekli yig'indisini olamiz, shunda istalgan ikkitasining kesishish nuqtasi orqali kamida bitta boshqa chiziq o'tadi. Ikkilik Sylvester-Galai tomonidan 37 Machine Translated by Google teorema, bu barcha chiziqlar bir vaqtning o'zida. Shuning uchun R dagi tegishli gorizontal 3 ta chiziq vertikal shish bilan bo'linadi. ÿ Ikkinchi natija Pappus teoremasining boshqa shish versiyasidir. teorema va m qiyshiq chiziqli juft bo'lsin. A1, A2, A3 nuqtalarining uch karrasini va m bo'yicha B1, B2, B3 nuqtalarining uchligini tanlang . Keyin chiziqlarS((A1B2),(A2B1)), S((A2B3),(A3B2)) va S((A3B1),(A1B3)) shish bilan baham ko'ring. Biz bu natijani, giperbolik holatda, [14] da ishlab chiqilgan giperbolik geometriyaga yondashuvdan foydalangan holda qo'pol kuchlarni hisoblash orqali isbotladik; Tafsilotlar uchun [47] ga qarang. Bu teorema umumiy naqshning bir qismi ekanligi aniq emas. Keling, o'quvchini planar proyektiv geometriyaning boshqa konstruksiyalarining shish versiyalari haqida o'ylashga taklif qilish bilan yakunlaylik. Masalan, kosmosdagi tsiklik tartiblangan chiziqlarga ta'sir qiluvchi shish pentagramma xaritasini aniqlash mumkin: {L1, L2, . . .} ÿ {S(S(L1, L3), S(L2, L4)), S(S(L2, L4), S(L3, L5)), . . .} Bu xarita qaysidir ma'noda butunlay integratsiyalashganmi? Ma'lumotnomalar N. A'Kampo, A. Papadopulos. O'tish geometriyasi. Sophus Lie va Feliks Klein: Erlangen dasturi va uning matematika va fizikaga ta'siri, 217-235. Yevropa matematika. Soc., Tsyurix, 2015 yil. F. Aikardi. Puasson algebralaridan proyektiv geometriya. J. Geom. fizika. 61 (2011), 1574–1586. A. Akopyan, A. Bobenko. Aylanma to'rlar va konfokal konuslar. arXiv arXiv: 1602.04637. V. Arnold. Simplektik tekislikdagi kvadrat shakllarning Li algebrasidagi Yakobi identifikatsiyasi sifatida Lobachevskiy uchburchagi balandlik teoremasi. J. Geom. fizika. 53 (2005), 421–427. 38
M. Berger. Geometriya. I. II. Springer-Verlag, Berlin, 1987 yil. M. Berger. Geometriya aniqlandi. Yoqubning zamonaviy yuqori geometriyaga zinapoyasi. Springer, Geydelberg, 2010 yil. A. Bobenko, Yu. Suris. Diskret differensial geometriya. Integratsiyalanadigan tuzilma. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2008 yil. P. Borwein, WOJ Moser. Silvestr muammosi va uning umumlashmalarini o'rganish. Tenglamalar Matematika. 40 (1990), 111–135. J. Konvey, A. Ryba. Paskal mistikasi sirini yo'qotdi. Matematika. Intelli gencer 34 (2012), ÿ. 3, 4–8. J. Konvey, A. Ryba. Paskal mistikasini kengaytirish. Matematika. Intelligence 35 (2013 yil), ÿ. 2, 44–51. JL Kulidj. Doira va shar haqida risola. Chelsi nashriyoti. Co., Bronx, NY, 1971. HSM Kokseter. Inversiv tekislik va giperbolik fazo. Abh. Matematika. Sem. Univ. Gamburg 29 (1966), 217–242. V. Dragovich, M. Radnovich. Poncelet porizmlari va boshqalar. Inte gable bilyard, giperelliptik yakobianlar va kvadrik qalamlari. Birkh¨auser/Springer, Bazel, 2011 yil. V. Fenxel. Giperbolik fazoda elementar geometriya. Valter de Gruyter, Berlin, 1989 yil. L. Flatto. Ponsele teoremasi. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2009 yil. D. Fuchs, S. Tabachnikov. Matematik omnibus. Klassik matematika bo'yicha o'ttizta ma'ruza. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2007. M. Gekhtman, M. Shapiro, S. Tabachnikov, and A. Vainshtein, Inte grable cluster dynamics of directed networks and pentagram maps, appendix by A. Izosimov, Adv. Matematika, bosma. M. Glik. Pentagram xaritasi va Y naqshlari. Adv. Matematika. 227 (2011), 1019–1045. 39 Machine Translated by Google M. Glick, P. Pylyavskyy. Y -meshlar va umumlashtirilgan pentagramma xaritalari. Proc. Lond. Matematika. Soc. 112 (2016), 753–797. B. Gr¨unbaum. Nuqtalar va chiziqlar konfiguratsiyasi. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2009 yil. T. Xatase. Algebraik pappus egri chiziqlari. Ph.D. Dissertatsiya, Oregon shtati universiteti, 2011 yil. D. Hilbert, S. Kon-Vossen. Geometriya va tasavvur. Chelsi Publishing Co, Nyu-York, NY, 1952 yil. P. Xuper. Pappus teoremasidan buralgan kubgacha. Geom. Dedicata 110 (2005), 103–134. N. Ivanov. Arnol'd, Yakobi kimligi va ortosentrlar. Amer. Matematika. Oylik 118 (2011), 41–65. F. Kissler. Modulli guruh uchun vakillar oilasi. Ustoz Tezis, Geydelberg, 2016 yil. V. Kozlov va D. Treshchev. Bilyard. Ta'sirli tizimlar dinamikasiga genetik kirish. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 1991 yil. M. Levi, S. Tabachnikov. Poncelet panjarasi va ellipslardagi bilyard. Amer. Matematika. Oylik 114 (2007), 895–908. A. Marden. Tashqi doiralar. Giperbolik 3-manifoldlarga kirish. Kembrij universiteti. Press, Kembrij, 2007. F. Morli. O'n chiziqdan iborat muntazam to'rtburchaklar konfiguratsiyada. Proc. London matematika. Soc. s1-29 (1897), 670-673. F. Morli. Osmon sferasi. Amer. J. Matematika. 54 (1932), 276–278. F. Morli, FV Morli. Inversiv geometriya. G. Bell & Sons, London, 1933 yil. V. Ovsienko, R. Schwartz, S. Tabachnikov, Pentagram map: a discrete integralable system, Comm. Matematika. fizika. 299 (2010), 409–446. 40 Machine Translated by Google V. Ovsienko, R. Shvarts va S. Tabachnikov, Liouville-Arnold pentagramma xaritasining yopiq ko'pburchaklardagi integralligi, Dyuk Math. J. 162 (2013), 2149–2196. Strasburgda geometriya bo'yicha master-klass. A. Papadopulos ed. yevropalik Matematika. Soc., Tsyurix, 2012 yil. J. Rixter-Gebert. Proyektiv geometriyaning istiqbollari. Haqiqiy va murakkab geometriya bo'yicha ekskursiya. Springer, Geydelberg, 2011 yil. JF Rigbi. Pappus chiziqlari va Leizenring chiziqlari. J. Geom. 21 (1983), 108–117. R. Shvarts. Pentagram xaritasi. Tajriba. Matematika. 1 (1992), 71–81. R.´Shvarts. Pappus teoremasi va modulli guruh. Inst. Hautes 78 (1993), 187–206 (1994). Etudlar Sci. Publ. Matematika. R. Shvarts. Dezarg teoremasi, dinamikasi va gipertekislik tartiblari. Geom. Dedicata 87 (2001), 261–283. R. Shvarts. Poncelet tarmog'i. Adv. Geom. 7 (2007), 157–175. R. Shvarts. Diskret monodromiya, pentagrammalar va kondensatsiya usuli. J. Ruxsat etilgan nuqta nazariyasi Ilova. 3 (2008), 379–409. R. Shvarts, S. Tabachnikov. Proektiv geomadagi elementar kutilmagan hodisalar etry. Matematika. Intelligencer 32 (2010), ÿ. 3, 31–34. M. Skopenkov. Uchburchakning balandliklari va Yakobi tengligi haqidagi teorema (rus tilida). Matem. Prosv., Ser. 3 11 (2007), 79–89. F. Solovyov, pentagramma xaritasining integralligi, Dyuk Math.J. 162 (2013), 2815–2853. S. Tabachnikov. Bilyard. Panor. Sint. ÿ 1, SMF, 1995 y. S. Tabachnikov. Geometriya va bilyard. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2005 yil. S. Tabachnikov. Shishlar. Arnold matematika. J. 2 (2016), 171–193. 41
T. Tomihisa. Proyektiv tekislik geometriyasi va Puasson tuzilishi. J. Geom. fizika. 59 (2009), 673–684. http://www.cinderella.de/tiki-index.php. https://www.math.brown.edu/~res/Java/App33/test1.html. https://www.math.brown.edu/~res/Java/Special/Main.html. 42
Download 1.44 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|