Teoremalari: eski sharobdan

Takrorlangan Pappus teoremasi va modulli guruh

Pappus teoremasini A1, A2, A3 va B1, B2, B3 nuqtalarining ikkita tartiblangan uchliklarini kirituvchi va C1, C2, C3 nuqtalarining yangi kollinear uchligini chiqaradigan RP2 konstruktsiyasi sifatida ko'rish mumkin , 1-rasmga qarang. takrorlash vasvasasiga tushadi: aytaylik, kirish sifatida A1, A2, A3 va C1, C2, C3 ni oling. Afsuski, bu B1, B2, B3 uchligiga qaytaradi .

Vaziyatni tuzatish uchun C1 va C3 nuqtalarini almashtiring. Keyin A1, A2, A3 va C1, C2, C3 kirish nuqtalarning yangi kollinear uchligini beradi va C1, C2, C3 va B1, B2, B3 kirishlari ham shunday. Xuddi shu tarzda cheksiz davom etish mumkin, 5- rasmga qarang. Ushbu takrorlanishlarni o'rganish R. Shvartsning maqolasining mavzusi edi [38].

1-rasmga qayting. Pappus konstruktsiyasining kiritilishi belgilangan quti (A1,

A3, B3, B1; A2, B2), to'rtburchak A1A3B3B1 bo'lib, yuqori ajratilgan nuqtasi A2 va pastki ajratilgan nuqtasi B2. Belgilangan quti qavariqlik shartini qondirish uchun qabul qilinadi: A1 va A3 nuqtalari proyektiv chiziqdagi A2 va O nuqtalar bilan, shuningdek, b chiziqdagi B1, B3 va B2, O nuqtalar juftligi bilan ajratiladi . Involyutsiya bilan farq qiluvchi belgilangan qutilar

(A1, A3, B3, B1; A2, B2) ÿ (A3, A1, B1, B3; A2, B2)

bir xil deb hisoblanadi.

RP2 dagi qavariq to'plam - bu qandaydir chiziqdan ajratilgan va bu chiziqning to'ldiruvchisi, afin tekisligida qavariq bo'lgan to'plam. RP2da ikkita ball

5

5. 
   rasm: R. Shvarts appleti tomonidan ishlab chiqarilgan Pappus konstruktsiyasining iteratsiyalari [50].
   

segment orqali ikki usulda ulanishi mumkin. To'rt nuqta A1, A3, B3, B1, bu tsiklik tartibda, 16 yopiq ko'pburchak chiziqlarni belgilaydi, lekin ulardan faqat

bittasi qavariq to'rtburchakning chegarasi bo'lib, qavariq belgilangan qutining ichki qismi deb ataladi.

Eslatib o'tamiz, dual proyektiv tekislikning nuqtalari boshlang'ich tekislikning chiziqlaridir. T = (A1, A3, B3, B1; A2, B2) RP2 da qavariq belgilangan quti bo'lsin . Uning dua^,l, Dÿ nuqtalari dual proyektiv tekislikdagi belgilangan qutidir chiziqlardir

(A2B1, A2B3, A1B2, A3B2; a, b).
Ikkita belgilangan quti ham konveksdir.
2 o'lchovli belgilangan qutilarning proyektiv ekvivalentlik sinflarining modul fazosi. Birlik kvadratning uchlariga A1, A3, B3, B1 nuqtalarini yuborish mumkin ; keyin qavariq belgilangan qutining proyektiv ekvivalentlik klassi kvadratning gorizontal tomonlaridagi A2 va B2 nuqtalarining pozitsiyalari bilan aniqlanadi . Ya'ni, x = |A1A2|, y = |B1B2| bo'lsin. Keyin ekvivalentlik sinfi

(x, y) ÿ (1 - x, 1 - y), (1)

bu yerda 0 < x, y < 1, qavariq belgilangan qutining proyektiv ekvivalentlik sinfini aniqlaydi. Bu ekvivalentlik sinfini [x, y] bilan belgilaymiz.
Pappus konstruktsiyasi konveks belgilangan qutilarda ikkita operatsiyani belgilaydi,

5. 
   rasmga qarang:
   

t1 : (A1, A3, B3, B1; A2, B2) ÿ (A1, A3, C3, C1; A2, C2), t2 :

(A1, A3, B3, B1; A2, B2) ÿ (C1, C3 , B3, B1; C2, B2).

6-rasm: i(T) bilan belgilangan qavariq qutining ichki qismi A1A3, A3B1, B1B3 va B3A1 segmentlari bilan chegaralangan . Ushbu segmentlarning ikkitasi cheksiz chiziqni kesib o'tadi.

Unga uchinchi operatsiyani qo'shing

i : (A1, A3, B3, B1; A2, B2) ÿ (B1, B3, A1, A3; B2, A2),

6. 
   rasmda ham ko'rsatilgan.
   

Uchta operatsiya G yarimguruhini tashkil qiladi. Amaliyotlar tekshirish bilan isbotlangan quyidagi identifikatsiyalarni qondiradi.

Lemma 2.1 biri quyidagilarga ega:

^{2 i} = 1, t1it2 = t2it1 = i, t1it1 = t2, t2it2 = t1.

Natijada, G guruhdir; masalan, t
^ÿ1 = it2i.

1
Eslatib o'tamiz, modulli M guruhi integral koeffitsientli va determinantga ega bo'lgan kasr-chiziqli transformatsiyalar guruhi, ya'ni P SL(2, Z) guruhidir. P GL(2, R) giperbolik tekislikning izomlarini saqlovchi orientatsiya guruhi bo'lgani uchun modulli M guruhi H2 izometriyalari guruhi sifatida amalga oshiriladi .

H2 ni yon tomonlarda ketma-ket aks ettirish orqali bitta uchburchakdan olingan ideal uchburchaklar bilan qoplashni ko'rib chiqing , buning boshlanishi uchun 7-rasmga qarang.

6. 
   rasm: Puankar disk modelidagi giperbolik tekislikning ideal uchburchaklar bo'yicha plitka qo'yishi.
   

qurilish. Modulli guruh plitka qo'yishning ikkita simmetriyasi bilan hosil bo'ladi: A nuqtasi atrofida uchta aylanish tartibi va B nuqtasi atrofida ikki marta aylanish (markaziy simmetriya). Algebraik jihatdan M Z3 va Z2 ning erkin mahsulotidir.

G guruhiga qayting. U a = it1 va b = i elementlari tomonidan hosil qilinadi.

Lemma 2.1 a munosabatlarni³ = b ² = 1. Boshqalar yo'qligini isbotlash mumkin
nazarda tutadi va shuning uchun G = Z3 ÿ Z2 modulli guruh bilan aniqlangan.
Qavariq D bilan belgilangan quti berilgan bo'lsa, G guruhining ta'siri ostida uning orbitasi ÿ = G(D) ni ko'rib chiqing. Orbitani uning yo'naltirilgan tushish grafigi D bilan tasvirlash mumkin. D ning qirralari yuqoridan pastga yo'naltirilgan ÿ ning belgilangan qutilariga mos keladi va tepaliklar qutilarning tepalari va pastki qismlariga mos keladi.

D ni giperbolik tekislikka 7-rasmdagi kabi kiritish mumkin (qirralarning yo'nalishi ko'rsatilmagan). G guruhi D ning qirralarini almashtirish orqali harakat qiladi. Operatsiya i qirralarning yo'nalishini o'zgartiradi. t1 operatsiyasi har bir chekkaning dumi atrofida soat miliga teskari yo'nalishda bir marta bosish bilan aylantiradi va t2 qirralarning boshlari atrofida soat mili bo'yicha bir marta bosish bilan aylantiradi. (Bu 7-rasmdagi A va B nuqtalari atrofida aylanishlar natijasida hosil qilingan harakatdan farq qiladi).

Kenarlarning yo'nalishini saqlaydigan o'zgarishlardan iborat G indeksining ikkita kichik
guruhini G bilan belgilang.
Qavariq bilan belgilangan ÿ qutining orbitasi ÿ proyektiv simmetriyalarning katta guruhiga ega, ya'ni M modulli guruhning M indeksi ikki kichik guruhiga ega.

Bu [38] ning asosiy natijalaridan biridir. Xususan, bittasi bor

Taklif 2.2 Qavariq belgilangan quti t berilgan bo'lsa, tsikl bilan uchta loyihaviy o'zgartirish tartibi mavjud.

i(I) ÿ t1(D) ÿ t2(D).

Bunga qo'shimcha ravishda, i(D) ni ikkita quti Dÿ bilan aniqlaydigan qutblilik mavjud .

Isbot. Birinchi bayonotning isboti uchun t qutisini uch marta aylanish simmetriyasi aniq namoyon bo'ladigan tarzda amalga oshirish mumkin, 8-rasmga qarang.

D = (B3, B1, A1, A3; B2, A2), i(D) = (A1, A3, B1, B3; A2, B2),

t1(T) = (B1, B3, C1, C3; B2 , C2), t2(T) = (C1, C3, A1, A3; C2, A2).

6. 
   rasm: Belgilangan i(T), t1(D), t2(D) qutilarining simmetrik realizatsiyasi .
   

Belgilangan quti koordinatalari (x, y) bo'yicha (1), uchtasi tasvirlangan i, t1 va t2 amallari xuddi shunday ishlaydi: [x, y] ÿ [1 ÿ y, x].

Ikkinchi bayonot uchun 9-rasmda tasvirlangan boshqa amalga oshirishni ko'rib chiqing. Belgilangan A2 va B2 nuqtalari abadiylikda va |OA1||OA3| = |OB1||OB3| = 1. U holda markazlashtirilgan O nuqtada joylashgan birlik doirasiga nisbatan qutblilik quyidagicha ishlaydi:
A1 ÿ A3B2, A3 ÿ A1B2 , B1 ÿ B3A2, B3 ÿ B1A2,

6. 
   rasm: i(D) va Dÿ ning proyektiv ekvivalentligi .
   

kerakli proyektiv ekvivalentlikni ta'minlash. ÿ

Agar proyektiv tekislikni qutblilik bo'yicha dualligi aniqlansa, yuqoridagi muhokamada M modulli guruhining qavariq belgilangan qutining G-orbitasi ÿ proyektiv simmetriyalari guruhi sifatida ishonchli tasviri tasvirlangan.

Belgilangan quti D grafaning D cho'qqilari to'plamining f tabiiy xaritasini orbitaning belgilangan nuqtalari to'plamiga ÿ aniqlaydi. f xaritasi D grafigidagi G guruhining harakatlarini va orbitaning ÿ proyektiv simmetriyalarining M guruhini konjugatsiya qiladi. D ning cho'qqilari to'plami S giperbolik tekisligining cheksizligidagi aylanada zich bo'ladi. 7-rasmga qarang. ÿ

^{dagi qutilarning ichki qismlarining ichki xu1s},^{usiyatlaridan va ularning o'lchamlari bo'yicha}
taxminlardan (elliptik tekislik metrikasida) Shvarts buni isbotlaydi. quyidagi teorema.

1. 
   teorema f xaritasi S ning gomeomorfizmigacha cho'zilgan
   

¹ uning tasviriga.

Tasvir l = f(S bu egri chiziqning taxminiyligini beradi.

1. 
   Pappus egri chizig'i deyiladi; 5-rasmga qarang
   

Yuqoridagi munozara shuni ko'rsatadiki, Pappus egri proyektiv ravishda o'ziga o'xshaydi.
Istisno holatda x = y = 1/2, egri l to'g'ri chiziqdir. Aks holda, bu algebraik egri chiziq emas, qarang [21].
Belgilangan qutilarning ustki va pastki qismlari, shuningdek, uzluksiz oilaga, ikkilamchi
proyektiv tekislikdagi L egri chizig'iga cho'ziladigan hisoblangan chiziqlar to'plamini tashkil qiladi.

L bo'ylab ko'ndalang chiziqli maydonni uzluksiz chiziqlar turkumi sifatida belgilang, shunda oilaning har bir chizig'i egri chiziqni aniq bir nuqtada kesib o'tadi va L ning har bir nuqtasi qaysidir chiziqda joylashgan bo'ladi.

Teorema 2.2 Agar Pappus egri chizig'i l to'g'ri chiziq bo'lmasa, u holda L L bo'ylab yagona ko'ndalang chiziqli maydondir.

Ushbu teorema, Pappus egri chizig'ining proyektiv jihatdan o'ziga o'xshashligi va kompyuter tajribalari l haqiqiy fraktal ekanligini ko'rsatadi (agar u to'g'ri chiziq bo'lmasa). Dissertatsiya [25] Pappus egri chizig'ining quti o'lchami va uning dastlabki qavariq belgilangan qutining koordinatalariga [x, y] bog'liqligi bo'yicha ba'zi bir dastlabki raqamli natijalarni o'z ichiga oladi. Ushbu tajribalarga ko'ra, l ning maksimal mumkin bo'lgan quti o'lchami taxminan 1,25 ni tashkil qiladi.

Pappus egri chizig'ining fraktal o'lchamlarini [x, y] funktsiyasi sifatida topish yoki hech bo'lmaganda, bu o'lcham barcha istisno holatlarda birdan katta ekanligini isbotlash [x, y] = [1/2, 1/2] , ajoyib ochiq muammo.

3.