Теоремы о сложении и умножении вероятностей. Полная вероятность. Формулы Байеса

P(А₁+А₂) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Условная вероятность

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

В тех случаях, когда вероятность события  рассматривается при условии, что произошло два других события , используется условная вероятность относительно произведения событий 

.

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)

Доказательство. Предположим, что из  всевозможных элементарных исходов событию  благоприятствуют  исходов, из которых  исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события  будет , условная вероятность события  относительно события  будет .

Произведению событий  и  благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию  и событию одновременно, т.е.  исходов. Поэтому вероятность произведения событий  и равна

.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на . Получим

.

Аналогично доказывается и формула

.