Тепловые свойства твердых тел

 

---

2.7 Фононные спектры в кристаллах 
Энергетические спектры фононов в реальных веществах, как правило, очень сложны и 
для их описания необходимо знать детальный вид поверхностей постоянной частоты 
в зоне Бриллюэна для всех ветвей спектра. Поверхности постоянной частоты 
определяют очень важную характеристику фононного спектра − функцию 
спектральной плотности фононов, которая задает число волн, или мод, приходящееся на 
интервал частот от 

до 

+d

. Если обозначить количество волн в спектральном 
интервале 
через dn, то спектральная плотность колебаний одномерной моноатомной 
цепочки определяется формулой 
, 
(5.63) 
где N − число колеблющихся атомов, 
− максимальная частота колебаний в 
спектральном интервале. При низких частотах 
пропорциональна 
, а вблизи 
функция D(

) имеет особенность корневого типа. 
При наличии нескольких ветвей дисперсионных кривых, как это имеет место для 
реального кристалла, где число базисных атомов равно r и общее число ветвей колебаний 
3r, плотность состояний определяется суммой 
. 
(5.64) 
На рис. 5.13 показаны кривые спектральной плотности фононов для продольной и 
поперечных ветвей и суммарный спектр для алюминия. Значения частот, при которых 
кривые 
имеют резкие перегибы и острые пики, называются критическими точками 
или сингулярностями Ван Хова. Этим значениям частот 

соответствуют нулевые 
групповые скорости 
волн в некоторых направлениях. Параболический характер 
фононного спектра при малых частотах аналогичен спектру колебаний атомов 
одноатомной одномерной цепочки при малых частотах. Плотность состояний в этом 
случае имеет вид 
. 
(5.65) 
Резкий максимум на суммарной зависимости D(

) может быть связан с 
максимальной частотой некоторых типов фононов. В кристаллах со сложной 
многоатомной решеткой подобные особенности спектра могут быть связаны и с 
оптическими ветвями колебаний. На рис. 5.14 изображен фононный спектр кристалла 
кремния, где функцией является коэффициент оптического поглощения. 
Резкие максимумы на представленной кривой связаны с возбуждением различных мод 
колебаний атомов кристалла кремния. 

---

Рис. 5.13. Спектр колебаний в решетке алюминия [59] 
Рис. 5.14. Вид фононного спектра в кристалле кремния (Si) [88] 
Знание фононных спектров необходимо для анализа и расчета многих физических 
свойств твердых тел − оптических, тепловых, электрических и т. д. В экспериментах 
определяют дисперсионные кривые продольных и поперечных волн в направлениях 
высокой симметрии. Затем эта информация используется для численного расчета 
плотности состояний 
. При интерпретации спектров колебаний очень важным 
этапом является анализ критических точек.