Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

2.2-§ Geometrik tengsizliklar
Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan ikkita asosiy geometrik tengsizlik uchburchaklarni o'z ichiga oladi. Ulardan biri uchburchak tengsizligi va biz uni D1 deb ataymiz; ikkinchisi haqiqatda tengsizlik emas, lekin bu uchburchaklar geometriyasiga oid muhim kuzatishni ifodalaydi, bu shuni ko'rsatadiki, agar biz uchburchakning eng katta burchagini bilsak, unda qaysi uchburchakning eng uzun tomoni ekanligini bilamiz; bu kuzatish D2 sifatida belgilanadi
1. Agar A, B va C tekislikdagi nuqtalar bo'lsa, u holda
AB + BC ≥ AC.
Bundan tashqari, agar B AC chiziq segmentida joylashgan bo'lsa, tenglik amal qiladi.
Uchburchakda eng uzun tomoni eng katta burchakka qarama-qarshi va aksincha. Demak, agar ABC uchburchakda ∠A > ∠B bo'lsa, u holda BC > CA bo'ladi.
2.1-mashq. (1) a < b + c, b < c + a va c < a + b boʻlgan a, b, c musbat sonlar boʻlsa, tomonlar uzunligi a, b va c boʻlgan uchburchak mavjud boʻladi.
(2) Tomonlarining uzunligi a ≤ b ≤ c boʻlgan uchburchak yasash uchun c < a + b boʻlishi kifoya.
(3) a = x + y, b = y + z va c = z +x bo'lgan x, y, z musbat sonlar mavjud bo'lgandagina a, b va c tomonlari bo'lgan uchburchak qurish mumkin.
2.2-mashq. (1) Agar tomonlarining uzunliklari a < b < c boʻlgan uchburchak qurish mumkin boʻlsa, u holda tomonlari uzunliklari √a < √b < √c boʻlgan uchburchak qurish mumkin.
(2) (1) ning teskarisi noto'g'ri.
(3) Agar tomonlarining uzunliklari a < b < c bo'lgan uchburchak qurish mumkin bo'lsa, u holda tomonlari uzunliklari va bo'lgan uchburchak qurish mumkin.
2.3-mashq. a, b, c, d va e besh segmentning shunday uzunliklari bo'lsinki, ulardan istalgan uchtasi yordamida uchburchak qurish mumkin bo'lsin. Ulardan uchtasi o'tkir uchburchakni tashkil qilishini isbotlang.
Ba'zan muammoni hal qilishning kaliti quyidagi misolda bo'lgani kabi, geometrik o'lchovlar bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan ma'lum miqdorlarni aniqlash qobiliyatida yotadi.
2.2.1-misol: Agar a, b, c musbat sonlar uchun a² + b² − ab = c² o’rinli bo’lsa (a − b)(b − c) ≤ 0 ni isbotlang.
Isbot: Biz c² = a² + b²− ab = a² + b²− 2ab cos60^◦ dan a, b, c uchburchak tomonlarini shunday deb o’ylashimiz mumkunki c uzunlik tomoni qarama-qarshi burchagi 60 bo’lsin. ABC uchburchakning burchaklari ∠A ≤ 60◦ va ∠B ≥ 60◦ yoki ∠A ≥ 60◦ va ∠B ≤ 60◦ ni qanoatlantiradi; demak, D2 xossasidan foydalanib, a ≤ c ≤ b yoki a ≥ c ≥ b degan xulosaga kelishimiz mumkin. Har qanday holatda ham (a - b)(b - c) ≤ 0 bo'ladi.
Kuzatish 2.1.2. Yuqoridagi misolni a, b va c ni uchburchak tomonlari uzunliklari bilan aniqlamasdan ham hal qilishimiz mumkin.
Faraz qilaylik, a ≤ b, keyin a² + b² − ab = c² a(a−b) = c²−b² = (c−b)(c+b), demak c−b ≤ 0 va shuning uchun a² + b² − ab = c² ekanligini bildiradi (a−b)(b−c) ≤ 0.
Xuddi shunday, a ≥ b c - b ≥ 0 ni bildiradi va demak (a - b)(b - c) ≤ 0.
Geometrik tengsizlikka ega bo'lgan elementlarni aniqlashimiz yoki geometriyadan foydalanish foydali bo'lishi mumkinligi aniq bo'lmagan yana bir holat quyidagi misolda ko'rsatilgan.