«Texnologik jarayonlarni modellashtirish va optimallashtirish asoslari» fanidan kurs ishi bajardi

3-Bo’lim. Oddiy gidravlik sistemalarning dinamik modelini tuzish

Dinamik modelni qurishda yakuniy balans tenglamalari (6) va (7) tenglamalar sistemasida [MI (9) da] oddiy differensial tenglamalarga aylanadi:

dV₁^R/dt=V₁+V₂+V₃-V₈-V₆-V₇ 15

dV₂^R/dt=V₈-V₄-V₅ 16
bu yerda: va ­­— 1-rasmda ko’rsatilgan gidravlik sistemadagi
1- va 2-idishlarning hajmi.
Agar 1- va 2- idishlar silindr ko’rinishida bo’lsa, suyuqlik hajmi V^R=SH (S — silindrning ko’ndalang kesim yuzasi) ga teng va yuqorida ko’rsatilgan (16) va (17) tenglamalar quyidagi ko’rinishga keladi:
dH₁/dt=(V₁+V₂+V₃-V₈-V₆-V₇ )/S1 15
dH₂/dt=(V₈-V₄-V₅ )/S2 16

Differensial tenglamalar sistemasini kompyuterda ishlash va xususiy yechimni olish uchun boshlang’ich shartlarni kiritish lozim[5]:

Shu sosda Koshi masalasi yoki boshlang’ich shartlar masalasi ishlanadi va olinayotgan xususiy yechimlar [t⁽⁰⁾, t^(k)] yopiq intervalda ko’rilayotgan H₁(t) va H₂(t) funksiyalarni o’zida aks etadi. Bu funksiyalar va yechimlarini yaqinlashgan haqiqiy funksiyalaridir.
(18) va (19) differensial tenglamalar sistemasini kengroq umumiy ko’rinishi quyidagicha:

bu yerda f₁(H₁,H₂) va f₂(H₁,H₂) — aniq ko’rinishda yozilgan birinchi tartibli differensial tenglamaning o’ng tomonlari.

Differensial tenglamalarni integrallashning 2 usuli bor: aniq va noaniq.
Eylerning aniq usulida [5] differensial tenglamalar sistemasi yechimi har k-qadamda oxirgi-farqi sxemasi ko’rinishida ishlatiladi:

bu yerda Δt=h — integrallash qadami;

va ni bilgan holda, ni topish oson:

Shu asosda ni ma’lum qiymatlarida differensial tenglamaning o’ng tomoni f₁( ) va f₂( ) algoritmini hisoblash zarur.
Eylerning noaniq usuliga ko’ra (22) va (23) quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi [6]:

Bu holda ni topishda (24) va (25) tenglamalar quyidagicha bo’ladi:

(18) va (19) bilan solishtirish va (12) tenglamalar sistemasini bog’liqligi ko’rsatadiki f₁ va f₂ funksiyalar har k-qadamda aniqlanayotgan ni integrallariga nisbatan nochiziqlidir.
Bundan kelib chiqadiki, har k-qadamda ni integrallarini topish uchun (28) va (29) nochiziqli tenglamalar sistemasini topish zarur bo’ladi. Bu esa o’z navbatida hisobotni qiyinlashtiradi va vaqtni ko’p ketishiga sabab bo’ladi. Shuning uchun noaniq usullar sekin aniqlanadigan usullar toifasiga kiradi va ularni aniq usullar qoniqarli natija bermaganida qo’llaniladi (masalan, (24) va (25)).
Tajribalar ko’rsatadiki, ko’pchilik oddiy gidravlik sistemalar uchun aniq usul talab etilgan o’xshashlikni ta’minlaydi.
Aniq usulni 3 ta asosiy turi bor — Eyler, Eyler-Koshi, Runge-Kutta va ularga mos ravishda yaqinlashish funksiyalarini hisoblashni har k+1-qadamda integrallanish formulalari 5-jadvalda keltirilgan.