Texnologiyani optimum boshqarish nazariyasidagi pontryagin maksimum prinsipi. Shahar elektr transportining kuchli haydati rejlari r. G. Idiyatullin, A. R. Bakirov

x(0)=p, x₂(0)=p₂.

(9)

o Energetika muammolari, 2006 yil, № 1-2

67

1 1

Keyin
U qiymatiga ega bo'lsin(t)cheklanmagan. Keling, shunday boshqaruv u topamiz(t), qaysi

dastlabki holatni oladi (p₁,p₂) T vaqt ichida (0,0) da_ffunktsional:

o

1
J(u)=¹Tfu²(t)dt. 2₀
va minimallashtiradi

(10)

(9), (10) masalani L.S.ning metodologiyasi asosida hal qilaylik. Pontryagin. Biz ekstremal boshqaruvni topish orqali optimal boshqaruvni qidirishni boshlaymiz. (9), (10) tizimi uchun Gamiltonian shaklga ega



1
H=_2u²(t)+x₂(t)ps₁(t)+u(t)ps₂(t). (11) Ekstremal nazorat Gamiltonianni minimallashtirishi kerak, shuning uchun


¶H
¶u(t)^{=u(t)+ps2(t)=0 (12)}


¶
_Va¶²H_{=1, keyin ekstremal nazorat ut}

[
u(t)= −ps₂(t), tO0,T_f]. (13)

Bog'liq o'zgaruvchilar ps₁(t) Va ps₂(t) kerak differensial tenglamalarni qanoatlantiring:


m

&

&
_ips₁(t)= - ¶_x1_(t)=0, (14)ⁱps₂(t)= - ¶_x2_(t)= −ps₁(t).

Konjugat o'zgaruvchilarning boshlang'ich qiymatlari bo'lsin
ps₁(0)=p₁, ps₂(0)=p₂, (15)

ps(t)=p=const,_îps₂(t)=p₂−p₁t .


[
Ekstremal nazorat u shaklida bo'ladi(t)= −p₂+p₁t, tO0,T_f].

(16)

(17)

Shunday qilib, optimal boshqaruv, agar mavjud bo'lsa, u boshlang'ich qiymati bo'lgan chiziqli funksiya bo'lishi kerak(0)= −p₂va qiyaligi p₁.
Keyingi qadam aniq belgilashdirp₁va p₂p orqali₁,p₂va T_f. Boshqarish (17) uchun (9) sistemaning tenglamalarini integrallaymiz:

o Energetika muammolari, 2006 yil, № 1-2

68

1 1

1

ix₁(t)=p₁+p₂t−_{2 pi2}t²+_{6 pi1}t³,_ix₂(t)=p₂−p₂t+_{2 pi1}t².

( (

6

m

f
X hisobga olgan holda₁T_f)=x₂T_f)=0_ip₁=_T3(2p₁+p₂T_f),

i
ⁱp₂=²(3p₁+2p₂T_f).î ^f

Ekstremal nazorat formula bilan ifodalanadi


2 6

T T
u(t)= −₂(3p₁+2p₂T_f)+ ₃(2p₁+p₂T_f)×t .f f

(18)

(19)

(20)

Boshqarish (20) zarur shartlarni qanoatlantiradi va shuning uchun p ning yagona funktsiyasidir₁,p₂, T_fva t , qo'shimcha ravishda, ko'rsatilganidek
yuqorida, bu muammo uchun optimal nazorat mavjud. Shunday qilib, optimal nazorat yagona bo'lib, (20) ko'rinishdagi munosabat bilan ifodalanadi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Optimal boshqaruvga sarflangan minimal energiya,



2

(

2 2 2

T
E^*=E^*p₁,p₂, T_f)= f3(3p₁+3p₁p₂T_f+p₂T_f). (21)

Murakkab mezon bilan muammoni ko'rib chiqing: nazoratni topish kerak
tarjima qilish tizimi (9) dan boshlang'ich davlatlar (p₁,p₂) V (0,0) va funksionallikni minimallashtirish (22):

1
J(u)=kT+¹Tu²(t)dt=T^ek+^{1 u2}(t)^udt, (22) 2_{0 0} 2

Bu erda T ko'rsatilmagan, k>0 .
Bu erda bizda belgilangan o'ng uchi va noma'lum o'tish vaqti bilan vazifa bor. Funktsional (22) - ekvivalent vaqt va iste'mol qilinadigan energiyaning chiziqli birikmasi, ya'ni. eng qisqa vaqt ichida TED shaftini ma'lum bir burchakka aylantiradigan va elektr energiyasini eng kam sarflaydigan bunday boshqaruvni topish kerak.
Tizim (9) va funktsional (22) uchun Gamiltonian


2 1
H₁=_b2+_2u²(t)+x₂(t)ps₁(t)+u(t)ps₂(t), (23)

Qayerda k=_2. Boshqaruv, minimallashtirish Gamiltonian: b


u(t)= −ps₂(t).

Old shart:

o Energetika muammolari, 2006 yil, № 1-2

69

2 1
_b2+_2u²(t)+x₂(t)ps₁(t)+u(t)ps₂(t)=0, (24)

u(t)= ±^2. (25) b


(25), (19), (20) dan topamiz

m1₌¹_æb2_+b2p2_+12b1_o;iT2=₁æb2−b2p2+12b1o;

1
i^T3=₂æ−^b2+b2^p2−12b1o^; (26)
î^T4=₂^e−b2−b2^p2−12b1ø.