Teylor va Makloren formulalari. Lopital qoidasi. Elementlar funksiyalar, trigonometrik funksiyalar, ko'rsatkichli funksiyalar. Teylor va Makloren qatorlariga yoyish

Teylor va Makloren formulalari. Lopital qoidasi. Elementlar funksiyalar, trigonometrik funksiyalar, ko'rsatkichli funksiyalar. Teylor va Makloren qatorlariga yoyish

Teylor va Makloren formulalari. Lopital qoidasi. Elementlar funksiyalar, trigonometrik funksiyalar, ko'rsatkichli funksiyalar. Teylor va Makloren qatorlariga yoyish.

8-ma’ruza. Lopital qoidasi
Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.


1. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, da va bo‘lsa, ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslik deyilar edi. Ko‘pincha da ifodaning limitini topishga qaraganda ifodaning limitini topish oson bo‘ladi. Bu ifodalar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.

1-teorema. Agar

1) va funksiyalar , bu yerda , to‘plamda differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy uchun ; 2) ; 3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti mavjud va

tenglik o‘rinli bo‘ladi.


Isbot.  Har ikkala funksiyani nuqtada , deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra
tengliklar o‘rinli bo‘lib, va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Avval holni qaraymiz. Berilgan va funksiyalar , bu yerda , kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun bilan orasida shunday nuqta topiladiki, ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi. ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, bo‘lganligi sababli, bo‘lganda bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2) tenglikdan kelib chiqadi.
Shunga o‘xshash, holni ham qaraladi. 


1-misol. Ushbu limitni hisoblang.

Yechish. Bu holda bo‘lib, ular uchun teoremaning barcha shartlari bajariladi.

Haqiqatan ham, 1) ; 2) ;

3) bo‘ladi.
Demak, 1-teoremaga binoan .


2-teorema. Agar nurda aniqlangan va funksiyalar berilgan bo‘lib, 1) da chekli va hosilalar mavjud va , 2) ; 3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti mavjud va
tenglik o‘rinli bo‘ladi.


2. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar da , bo‘lsa, ifoda ko‘rinishidagi aniqmaslik deyilar edi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham va funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.

3-teorema. Agar 1) va funksiyalar nurda differensiallanuvchi, hamda , 2) , 3) mavjud bo‘lsa, u holda mavjud va bo‘ladi.

Isbot.  Teorema shartiga ko‘ra mavjud. Aytaylik, bo‘lsin. U holda sonni olsak ham shunday son topilib, bo‘lganda

tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda deb olishimiz mumkin. U holda tengsizlikdan kelib chiqadi.

Aytaylik, bo‘lsin. U holda kesmada va funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:

, bu yerda .

Endi bo‘lganligi sababli da (3) tengsizliklar o‘rinli:
bundan esa

tengsizliklarga ega bo‘