The type of the gallerstedt problem for the degenerate loaded parabolo-hyperbolic type equation

БУЗИЛИШГА ЭГА БЎЛГАН ЮКЛАНГАН ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИК ТИПДАГИ ТЕНГЛАМА УЧУН ГЕЛЛЕРСТЕДТ МАСАЛАСИГА ЎХШАШ МАСАЛА


THE TYPE OF THE GALLERSTEDT PROBLEM FOR THE DEGENERATE LOADED PARABOLO-HYPERBOLIC TYPE EQUATION


Бузилишга эга бўлган юкланган параболо-гиперболик типдаги тенглама учун Геллерстедт масаласига ўхшаш масала ечимининг бир қийматли ечилиши исботланган.
In this paper unique solvability are proved of the analogue of Gellerstedt problem for loaded degeneration parabolic-hyperbolic equation.


Введение. Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции изучены в работах А.М.Нахушева [1], Н.Н.Ланина [2], В.А.Елеева [3], Б.Исломова и Д.М.Курьязова [4, 5], Б.Исломова и У.И.Болтаевой [6]. Трёхмерный аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа исследована в работах Б.Исломова и Е.Аликулова [7].
Насколько нам известно, краевые задачи типа задачи Трикоми и Геллерстедта для вырождающегося нагруженного уравнения смешанного типа второго порядка исследовались сравнительно мало. Отметим работы В.М.Казиева [8], Б.Исломова и Ф.Джураева [9]. Исходя из этого, настоящая работа посвящена постановке и исследованию краевой задачи типа задачи Геллерстедта, для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа в виде

где - любые действительные числа, причем
, , , , .
Пусть - область, ограниченная отрезками , , , прямых , , , соответственно, при ; - характеристический треугольник, ограниченный отрезком оси и двумя характеристиками уравнения , выходящими из точки и и пересекающимися в точке ; -характеристический треугольник, ограниченный отрезком оси и двумя характеристиками уравнения , выходящими из точек и и пересекающимися в точке , причем .
Введем следующие обозначения:
, ,
, ,
, ,
, ,
, причем
В области для уравнения исследуется аналог задачи Геллерстедта.
Задача Найти функцию , обладающую следующими свойствами:
1) ;
2) является регулярным решением уравнения в областях ;
3) удовлетворяет краевым условиям
, ,
,
,
4) на линии вырождения выполняется условия склеивания
,
равномерно при , где , , , -
заданные функции, причем ,
,
,
.
Теорема. Если выполнены условия , , , и , то в области существует единственное решение задачи .