Тиллабаева г. И. Иккинчи тартибли оддий дифференциал тенглама учун спектрал масалаларнинг қЎлланилиши

ТИЛЛАБАЕВА Г.И.
ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА УЧУН СПЕКТРАЛ МАСАЛАЛАРНИНГ ҚЎЛЛАНИЛИШИ

Масаланинг қўйилиши.

Фуйидаги иккинчи тартибли оддий дифференциал тенгламани
(1)
ва
, (2)
бир жинсли чегаравий шартларни қаноатлантирувчи функция топилсин.
Бу ерда да узлуксиз функция, - сон параметр.
(1) тенгламага мос бир жинсли
(1*)
кўринишдаги тенгламанинг умумий ечими
(3)
кўринишда топилади. Демак, тенгламага спектрал масалалар шартларини тадбиқ қилсак, қуйидаги ҳолларни кўришимиз мумкин:
1. бўлсин, у ҳолда (3) тенгламада ечим доимо мавжуд, чунки .
2. бўлса, (3) тенглама ечимга эга бўлади.
3. бўлган ҳолда эса, ечим мавжуд бўлиши учун шарт ҳам бажарилиши керак.
Бизга маълумки, ҳар қандай иккинчи тартибли бир жинсли чизиқли дифференциал

тенгламани

кўринишга келтириш мумкин.
Штурм теоремасига кўра, иккинчи тартибли бир жинсли
(4)
дифференциал тенгламанинг иккита чизиқли боғлиқ бўлмаган тебранувчи ечимларининг ноллари бир-бирини ўзаро ажратади.
Исбот: Фараз қилайлик, ва (4) тенгламанинг иккита чизиқли боғлиқ бўлмаган тебранувчи ечимлари бўлсин ва ечимнинг иккита кетма-кет ноли ва бўлиб, оралиқда бошқа нолга эга бўлмасин, яъни, , .
Исбот. оралиқда фақат битта нуқта мавжудки, бу нуқтада бўлади. Тескарисидан фараз қилсак, оралиқдаги нуқта учун бўлсин. оралиқда деб оламиз. оралиқ оҳирида нолга тенг бўлмайди, яъни , акс ҳолда Вронскиан
(5)
ва нуқтада нолга тенг бўлар эди. Бундай бўлиши мумкин эмас. ва лар чизиқли боғлиқ эмас. Демак, Вронский детерминанти бу оралиқда ўз ишорасини ўзгартирмайди. Шунинг учун оралиқда деб олишимиз мумкин. (5) нинг ҳар иккала томонини га бўламиз
.
бўлгани учун, бу тенгликнинг ўнг томони х ни узлуксиз функцияси бўлади. Кейинги тенгликни ҳар иккала томонини оралиқда интеграллаймиз
.
Бу тенгликнинг чап томони нолга тенг бўлиб, ўнг томони эса мусбатдир. Бу қарама-қаршилик шуни кўрсатадики, шундай нуқта мавжудки, бу нуқтада . Бундай нуқта ягонадир. Аксинча фараз қилсак, иккита нуқталарда нолга тенг бўлсин. У ҳолда бўлади. ва нинг ўринларини алмаштирсак, оралиқда нинг битта ноли бўлар эди. Бу эса иккита кетма-кет нолга эга деган шартга қарама-қаршидир. Бунга мисол қилиб тенгламани олишимиз мумкин. Бу тенгламанинг иккита , чизиқли боғлиқ бўлмаган ечимларининг ноллари алмашиниб келади. Теорема исботланди.
Эслатма. Штурм-Лиувилл масаласини кўриб чиқайлик.


. (6)
Бу ерда ҳақиқий дифференциалланувчи функция бўлиб,

ва ҳақиқий коеффицентли умумий илдизга эга бўлмаган кўпҳадлар.
Агар нинг бирор қийматида бўлса (6) чегаравий шарт билан алмаштирилади.


Фойдаланилган адабиётлар
1 Ж.Н.Ватcон. Теория бесселовых функции. -Т. 1.-М.: Изд. ИЛ, 1949. -798 с.
2. Н.Лебедов. Специальные функции и их приложения. -Москва, 1963. 359 с.
3. А.Қ.Ўринов. Махсус функциялар ва махсус операторлар. -Фарғона 2012 й. -112 б.