Tinch holatdagi suyuqlikning differensial tenglamasini olish uchun suyuqlikka ta’sir
Download 1.53 Mb. Pdf ko'rish
|
4-маъруза
|
1
Tinch holatdagi suyuqlikning differensial tenglamasini olish uchun suyuqlikka ta’sir etuvchi kuchlarni qarab chiqamiz. Suyuqlik qanday holatda bо‘lmasin (tinch yoki harakat holatida) unga moddiy zarrachalardan tarkib topgan uzluksiz muhit deb qaraladi. Shu zarrachalarga ta’sir etuvchi barcha kuchlarni ikki guruhga: ichki kuchlarga va tashqi kuchlarga ajratish mumkin.
deyiladi. 2-Tashqi kuchlar. Biror suyuqlik hajmining moddiy zarrachasiga boshqa biror jism hajmidagi moddalarning ta’sir qilayotgan kuchlari, chunonchi, shu qaralayotgan suyuqlik hajmining moddiy zarrachalariga, shu hajmni har tomondan o‘rab olgan suyuqlikning ta’sir kuchlari tashqi kuchlar deyiladi.
Berilgan suyuqlik hajmiga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlar ikki guruhga bо‘linadi. 1.Massayai kuchlar . Bu kuchlar qaralayotgan suyuqlik hajmining barcha moddiy zarrachalariga ta’sir qiladi. Massani kuchlarning qiymati suyuqlikning massasiga tо‘g‘ri proporsional. Bir jinsli suyuqliklar uchun, ya’ni suyuqliklarning zichligi uning hajmi bо‘yicha о‘zgarmas bо‘lsa const , bu holda massali kuchlarning qiymati suyuqlikning hajmiga ham tо‘g‘ri proporsional bо‘ladi. Shuning uchun (suyuqlikning zichligi
bо‘lgan holda) massali kuchlar hajmiy kuchlar deb ataladi. Suyuqlikning о‘z og‘irligi hajmiy kuchlar qatoriga kiradi; suyuqlikning inersiya kuchlarini ham tashqi hajmiy kuchlar deb qarash mumkin, Suyuqlikning berilgan V hajmiga ta’sir etayotgan hajmiy kuchni quyidagicha ifodalash mumkin.
0
F
bu yerda M - suyuqlikning massasi; va 0 - suyuqlikning moddiy zarrachasiga ta’sir qilayotgan hajmiy kuchlarning intensivligi, ya’ni 2
mg gV F ;
m ; mg F ; V F m F taqsimlanish zichligi, bu taqsimlanish suyuqlikning hajmi bо‘yicha har xil bо‘lishi mumkin. 0 - suyuqlikning hajm birligiga ta’sir qilayotgan solishtirma (hajmiy kuch, - suyuqlikni massa birligiga ta’sir qilayotgan solishtirma hajmiy kuch. Bu kuchlar kо‘rilayotgan biron suyuqlik hajmining sathiga ta’sir qilayotgan kuchlar. Bunday kuchlar qatoriga atmosfera bosim kuchi (u ochiq о‘zanlarda suyuqlikning erkin suv sathiga ta’sir etadi), ishqalanish kuchi va boshqa kuchlar kiradi. Tinch holatdagi suyuqlikning differensial tenglamasi. Tinch holatdagi suyuqlikni qarab chiqamiz (4.1-rasm). Unga ixtiyoriy tashqi hajmiy kuchlardan birortasi ta’sir qilsin, deylik. Yuqorida biz qaralayotgan suyuqlikning birlik massasiga ta’sir qilayotgan hajmiy kuchni f bilan belgilagan edik. Endi bu f kuchning Ox, Ou, Oz koordinata о‘qlariga proyeksiyasini f
bilan ifodalaymiz. Umuman tinch holatdagi suyuqlikda gidrostatik bosim har xil nuqtalarda turlicha bо‘ladi z y x f , , (4.2) Gidrostatik bosim r bilan nuqtalarning koordinatalari va hajmiy kuchlar orasidagi bog‘lanishni aniqlash kerak. Buning uchun qо‘yidagicha ish yuritamiz. Tinch holatdagi suyuqlik ichida (4.1-rasm) Ox, Oz koordinata о‘qlarini belgilaymiz va tо‘g‘ri burchakli 1-2-3-4 parallelepiped shaklidagi elementar hajmni ajratamiz; parallelepiped tomonlarini d x , d z va d u , (d
u chizma tekisligiga tik bо‘lgani uchun rasmda kо‘rsatilmagan) bilan belgilaymiz va ularni cheksiz kichik deb hisoblaymiz. Parallelepiped о‘rtasida A nuqtani tayinlaymiz, uning koordinatalari x, u, z bо‘lsin. Bu A nuqtadagi bosimni r bilan belgilaymiz. A nuqta orqali O x о‘qiga parallel MN chiziqni о‘tkazamiz, umuman gidrostatik bosim shu MN chiziq bо‘ylab tо‘xtovsiz ravishda doimiy о‘zgaradi. MN chiziqning birlik uzunligiga tо‘g‘ri keladigan gidrostatik bosim qiymatining о‘zgarishini xususiy hosila
orqali ifodalash mumkin. Bu holda dx d ni qо‘llab, M va N nuqtalardagi bosimlarni qо‘yidagicha yozamiz
; 2 1 ; 2 1
d dx p P dx d dx p P N M
(4.3) bunda (4.3) tenglamaning о‘ng tomondagi ikkinchi xadlari r bosimning dx 2 1 uzunlikda о‘zgarishini bildiradi. 3
a) elementar parallelepipedga ta’sir etayotgan barcha kuchlarni aniqlaymiz; b) barcha kuchlarni Ox о‘qiga proyeksiyalarini olamiz va ularning yig‘indisini nolga tenglashtiramiz (chunki parallelepiped tinch holatda turibdi), natijada birinchi differensial tenglamasini olamiz; v) ikkinchi va uchinchi differensial tenglamasini olish uchun barcha kuchlarni Ou va Ox о‘qlariga proyeksiyalaymiz. Bu yerda faqat birinchi differensial tenglamasini keltirib chiqaramiz. 1. Parallelepiped 1-2-3-4 ga ta’sir qilayotgan kuchlar: a) hajmiy kuch dxdydz Ф (4.4) bu yerda dx xdy
- parallelepiped 1-2-3-4 ni tashkil etuvchi suyuqlik massasi. Hajmiy kuchning Ox о‘qiga proyeksiyasi
dx xdy
Ф х (4.5) b) yuzaga ta’sir etuvchi kuchlar: parallelepipedning 1-4 va 2-3 qirralariga ta’sir etuvchi bosim kuchlarining Ox о‘qiga proyekiiyalarining farqi nolga teng; 1-2 va 3-4 qirralariga ta’sir etuvchi bosim kuchlarining Ox о‘qiga proyeksiyalarining farqi quyidagicha:
dxdydz x dydz x dx dydz dx dz z
z
2 1 2 1 (4.6) 2. Barcha kuchlarning Ox о‘qiga proyeksiyalarining yig‘indisi 0 dxdydz dxdydz Ф x (4.7) Bu (4.7) tenglama tinch holatdagi suyuqlikning 1-differensial tenglamasi deyiladi. Xuddi shunday yо‘l bilan 2-va 3-differensial tenglamalarni yozamiz. Aniqlangan uchchala differensial tenglamalar (suyuqlikning massa birligiga nisbatan) oxirgi kо‘rinishi quyidagicha yoziladi:
0 1 0 1 0 1 z Ф y Ф x Ф z y х
z y x z y x
(4.8)
Bu tenglamalar sistemasidan kо‘rinib turibdiki, gidrostatik bosimning biror koordinata о‘qidagi о‘zgarishi zichlik bilan birlik og‘irlik kuchining shu о‘q yо‘nalishidagi proyeksiyasi kо‘paytmasiga teng ekan. 4
Endi suyuqlik muvozanatining asosiy differensial tenglamasini chiqaramiz. Buning uchun (4.8) tenglamaning 1-differensial tenglamasini dx ga, 2-sini dy ga va 3-sini dz ga kо‘paytiramiz. Keyin tenglamaning chap va о‘ng tomonlaridagi hadlarini о‘zaro qо‘shib chiqamiz 0 1 dz z dy y dx x dz Ф dy Ф dx Ф z y х (4.9) Nuqtadagi gidrostatik bosim, faqat koordinatalarga bog‘liq bо‘lgani uchun, ya’ni z y x f , , ,u holda (4.9) tenglamada qavs ichidagi yig‘indi r gidrostatik bosimning tо‘liq differensiali hisoblanadi, ya’ni qavs ichidagi yig‘indini dp deb olamiz,
dz z dy y dx x dp
(4.10) (4.10) tenglamani ( 4.9) tenglamaga qо‘ysak, u xolda
dz Ф dy Ф dx Ф dp z y х
(4.11) Bu tenglama suyuqlik muvozanatining asosiy differensial tenglamasi deyiladi. Hosil_bо‘lgan tenglama bosimning suyuqlik turiga va fazoning nuqtalari koordinatalariga bog‘liqligini kо‘rsatadi hamda bosimning ixtyyoriy nuqtadagi miqdorini topishga yordam beradi.
Qattiq jismlar o’zlariga ta’sir etayotgan tashqi bosimni shu bosimlarni yuzaga keltirgan kuchlar yo’nalishida uzatadi. Suyuqlik va gazlarda esa tashqi bosim umuman boshqacha uzatiladi. Gidrostatikaning asosiy tenglamasidan ko’rinadiki, idishdagi siyiqlik hajmining ixtiyoriy joyidagi nuqtani tanlamaylik, unga tashqi sirtga qoyilgan p
bosim doimo ta’sir etadi. Bu qoida Paskal qonuni (1663 yilda yaratilgan) deb ataladi. Paskal qonunining ma’nosini tushunish uchun avvalo quyidagi eksperimentni qaraymiz (4.2-rasm). Tiqin bilan yopilgan idishda suv saqlanadi. Tiqinga diametrlari bir xil uchta naycha qoyilgan bo’lib, ularning suyuqlikdagi quyi teshiklari bir xil chuqurlikda joylashgan, ammo ular har xil tomonga (quyiga, yonga va yuqoriga) yo’naltirilgan, yana bitta naycha esa suvga yetmaydigan qilib, purkagichga rezinali ballon orqali ulangan. Uning yordanida idishga havo haydab, idishda suv sirtidagi havo bosimini oshiramiz. Ta’kidlaymizki, bunda har uchala naychada ham suv bir xil balandlikka ko’tariladi. Natijada, yopiq idishdagi qo’zg’almas suyuqlik o’zining sirtiga qoyilgan tashqi bosimni barcha yo’nalishlarda o’zgarishsiz bir xil uzatadi. Kuzatishlar shuni ko’rsatadiki, yopiq idishdagi gazlar ham tashqi bosimni xuddi shunday uzatadi. Ko‘plab gidravlik qurilmalar (gidroko‘targich, gidrozichlagich, mashinalarning gidrouzatmasi, avtomobillarning tormoz sistemasi va hokazo)ning ishlash prinsipi Paskal qonuniga asoslangan. Paskal qonunining tadbiqi sifatida tutash idishlarni qarash mumkin. 5 O‘zaro aralashmaydigan har xil suyuqliklar bilan to‘ldirilgan ikkita tutash idishlarni qaraylik (4.3-rasm). Idishlar yopiq, I va II idishlardagi suyuqliklar sathidagi p 01 va p 02 bosimlar har xil. O-O chiziq har xil jinsli suyuqliklarning bo‘linish chizig‘i. Shu O-O chiziq orqali o‘tuvchi gorizontal tekislik teng bosimli tekislik. Ana shu teng bosimli tekislikda yotuvchi C 1 va C 2 nuqtalardagi gidrostatik bosimlarni aniqlaylik. Gidrostatikaning asosiy tenglamasiga ko‘ra
= p 01 +
1
1 ; p C2 = p 02 +
2
2 ,
bunda h 1 va h 2 – suyuqliklarning I va II idishlarda O-O tekislikdan yuqori ko‘tarilish balandligi; 1 va 2 – suyuqliklarning zichliklari. Ko‘rinib turibdiki, p C1 = p C2 bo‘lganligi uchun p 01 + 1
1 = p 02 +
2
2 yoki p 01 – p 02 =
2
2 –
1
1 .
Bu oxirgi bog‘lanish tutash idishlardagi suyuqliklarning muvozanat shartini ifodalaydi va undan amaliy masalalarni yechishda foydalaniladi. Bunda quyidagi xususiy hollarni qarash amaliyotda yordam beradi:
01 va p 02 bosimlar har xil (4.3-rasm). O-O teng bosimli tekislikda yotuvchi C 1 va C 2 nuqtalardagi gidrostatik bosimlarni aniqlaylik. Bu holda 1 = 2 = ekanligidan p 01 - p 02 =
g (h 2 - h 1 ).
2-hol. Tutash idishlarga bir xil suyuqliklar quyilgan, ya’ni 1 = 2 = va p 01 =
p 02
(4.3-rasm). O-O teng bosimli tekislikda yotuvchi C 1 va C 2 nuqtalardagi gidrostatik bosimlarni aniqlaylik. Bu holda h 2 = h 1 , ya’ni idishlardagi suyuqlik sathlari bir xil bo‘ladi. Bunga misol sifatida 4.2-rasmdagi tutash idishlarni keltirish mumkin.
1 = 2 = , ammo birinchi idish ochiq (p 01
= p atm
), ikkinchisi esa yopiq (p 02
> p atm
). O-O teng bosimli tekislikda yotuvchi C 1 va C 2 nuqtalardagi gidrostatik bosimlarni aniqlaylik (4.1-rasm). Bu holda
= p atm +
gh 1 ; p C2 = p 02 +
gh 2 , chunki p C1 = p C2 , bu degani p atm +
gh 1 = p 02 +
gh 2 va bu yerdan h 1 = h 2 + (p 02 - p atm )
/ (
02 - p atm ) / (
uchun pe’zometrik balandlik. 4-hol. Tutash idishlarga aralashmaydigan har xil jinsli suyqliklar ( 2
1 ) quyilgan va p 01 = p 02 (3.11-rasm). O-O teng bosimli tekislikda yotuvchi C 1 va C 2
1
1 =
2
2 yoki h 1 / h 2 =
2 / 1 . 6 Bu shuni bildiradiki, tutash idishlarda sokin holatda turgan aralashmaydigan har xil jinsli suyuqliklarning ustuni balandliklari nisbati bu suyuqliklarning zichliklari nisbatiga teskari proporsional bo’lar ekan. Paskal qonuni, xususan, tutash idishlar qonuni tadbiqining bir misoli sivatida texnikada keng qo’llaniladigan gidravlik zichlagichni qarash mumkin.
Gidravlik zichlagish deb silindrik shaklidagi har xil diametrli, ya’ni ko’ndalang kesimlari yuzasi har xil (masalan, S 2 >> S 1 ) ikkita tutash idish tushuniladi. Silindlar suyuq yog’ (odatda transformator yog’i) bilan to’ldiriladi. Gidravlik zichlagichning sxematik qurilmasi 4.4-rasmda tasvirlangan (bu rasmda yog’ zaxirasi va klapanlar tizimi ko’rsatilmagan). Yuklanish qoyilmaganda porshenlar bir xil sathga ega bo’ladi. Ma’lumki, suyuqlikning p bosimi deb uning S yuzachasiga ta’sir etayotgan F kuchning shu yuza birligiga nisbatiga aytiladi, ya’ni p = S / F . Gidravlik zichlagichda S 1 kichik yuzachali porshenga ta’sir etuvchi F 1 kichik kuch S 2 katta yuzachali porshenga ta’sir etuvchi F 2 katta kuch bilan uzatiladi. Haqiqatan ham, Paskal qonuniga ko‘ra p = F 1 /S 1 = F 2 /S 2 . Natigada F 2 = F 1 ·S 2 /S 1 > F 1 . Natijada, F 2 /F 1 = S 2 /S 1 tenglikka kelamiz. Bu shuni bildiradiki, gidravlik zichlagich porshenlariga ta’sir eruvchi kuchlar shu porshenlar yuzalari proporsional. Shuning uchun, agar S 2 yuza S 1 yuzaga nisbatan qancha katta bo’lsa, gidravlik zichlagich yordamida shuncha kuchdan yutish mumkin. Download 1.53 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|