To'liq ichki akslanish, to'liq ichki akslanishda birinchi va ikkinchi muhitdagi maydon. Kompleks amplitudalar usuli. Monoxramatik maydon tenglamalarining tizimi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARNI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI
“TELEKOMUNIKATSIYA TEXNOLOGIYALARI VA KASBIY TA’LIM” FAKULTETI
TT 11-21 guruh 2-bosqich talabasi
YAXSHIBOYEV FARRUXning
Elektromagnit maydon va to’lqinlar fanidan tayyorlagan
3-Mustaqil ishi

Bajardi: Yaxshiboyev F.

Qabul qildi: Rustamova M.


MAVZU: To'liq ichki akslanish, to'liq ichki akslanishda birinchi va ikkinchi muhitdagi maydon. Kompleks amplitudalar usuli. Monoxramatik maydon tenglamalarining tizimi.
Mavhum
To'liq ichki aks ettirish yorug'lik yuqori sinishi indeksli muhitdan past indeksli muhitga tushganda, katta tushish burchaklarida sodir bo'ladi. Biz past indeksli vosita faol bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqamiz. sababiy bog'liqlikni eng asosiy shaklda chaqirib, biz o'tkazuvchanlik funktsiyasining analitik va global xususiyatlariga qarab yo'qolgan daromad paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligini ta'kidlaymiz. an'anaviy, zaif daromad vositalari uchun biz cheksiz ko'ndalang o'lchamlar bilan bog'liq mutlaq beqarorlik mavjudligini ko'rsatamiz. Ushbu beqarorlikni e'tiborsiz qoldirish yoki ba'zi hollarda yo'q qilish mumkin, buning uchun yo'qolgan daromad ustunlik qiladi.

© 2011 Amerika Optik Jamiyati

1.Kirish
yorug'lik yuqori sinishi indeksli muhitdan past indeksli muhitga tushganda, tushish burchagi ma'lum bir kritik burchakdan kattaroq bo'lsa, u to'liq ichki aks etadi. umumiy ichki aks ettirish bir nechta mashhur ilovalarga ega bo'lgan asosiy jismoniy hodisadir; xususan, zamonaviy telekommunikatsiyalar ushbu hodisaga asoslangan optik tolalarga tayanadi.

tangensial elektr va magnit maydonlar interfeysda uzluksiz bo'lishi kerakligi sababli, tushayotgan to'lqin to'liq aks etgan bo'lsa ham, past indeksli muhitda nolga teng bo'lmagan maydonlar bo'lishi kerak. Yo'qotishsiz/foydasiz media uchun bu yo'qolgan maydonlar interfeysdan uzoqda eksponent ravishda kamayadi. past indeksli muhitda yo'qolgan maydonlarning mavjudligi aks ettirilgan to'lqin u erda paydo bo'lgan har qanday bezovtalikni sezishidan dalolat beradi. Xususan, agar past indeksli vosita daromadga ega bo'lsa, aks ettirish javobi yo'qotishsiz/yutuqsiz holatga nisbatan o'zgaradi. faol past indeksli muhitda to'g'ri elektromagnit javobni aniqlash muammosi ahamiyatsiz emas va 40 yil davomida konsensusga erishilmasdan muhokama qilingan [1-11]. asosiy masala - faol vosita butun yarim bo'shliqni to'ldirganda aks ettirish birlikdan oshib ketishi mumkinmi (ya'ni, yo'qolgan daromad mavjud). Tajribalar shuni ko'rsatdiki, o'zgarmas daromad bor [12-15]. biroq, kuchaytirilgan aks ettirish, masalan, faol muhit chegaralaridan teskari aks etish tufayli bo'lishi mumkinligi ta'kidlangan [11].

Faol muhit cheklangan qalinlikka ega bo'lganda, plitadan umumiy aks etish birlikdan oshib ketishi mumkinligi ma'lum. bu holat juda oddiy, chunki bu holat uchun Maksvell tenglamalarini yechishda bo'ylama to'lqin sonining belgisini aniqlashning hojati yo'q; ikkita to'lqin (qarama-qarshi belgilar bilan) bir vaqtning o'zida mavjud.

Cheksiz qalinlikdagi daromad vositalari mavjud emasligi sababli, nima uchun bu ishni ko'rib chiqish kerak? Agar shunga o'xshash savolni sindirish ko'rsatkichi nuqtai nazaridan tuzadigan bo'lsak, javob aniq bo'ladi: Nega har qanday real, chegaralangan strukturadagi elektromagnit maydonni o'tkazuvchanlik va o'tkazuvchanlik nuqtai nazaridan ifodalash mumkin bo'lsa, sindirish ko'rsatkichini alohida parametr sifatida belgilash kerak? Cheklangan plitada Maksvell tenglamasining rasmiy yechimini olish uchun sinishi indeksi yoki bo'ylama to'lqin raqami kerak bo'lmasa ham, u hali ham foydalidir, chunki u darhol jalb qilingan fizika haqida ma'lumot beradi. masalan, muhitning musbat yoki manfiy sinishi haqida bashorat qiladi [16].shuningdek, t < 0 vaqt uchun qorong'u deb faraz qilsak, yarim cheksiz daromadli muhit uchun Maksvell tenglamalarining yechimi t marta d/c dan kichik bo'lgan chekli plitaning yechimiga teng bo'ladi, bu erda d - plita qalinligi va c - vakuum tezligi. yorug'lik. demak, yarim cheksiz muhitni tushunish vaqtinchalik hodisalarni tushuntirishga yordam beradi.

Endi biz mavjud bahs-munozaralarni umumlashtiramiz. Yaxshi aniqlangan chastota-domen maydonlarini hisobga olsak, Maksvell tenglamalari chastota-domenida exp (−iōt) belgisi yordamida echilishi mumkin. 1-rasmga nisbatan biz ko'ndalang to'lqin sonini (manbaning fazoviy chastotasi) kx ni aniqlaymiz. Oddiylik uchun ikkala vositani ham magnit bo'lmagan deb hisoblaymiz. ɛ1 va ɛ2 mos ravishda chapda yuqori indeksli muhitning va o'ngda past indeksli muhitning nisbiy o'tkazuvchanliklari bo'lsin.

tekis to'lqinlar uchun Maksvell tenglamalari yuqori indeksli va past indeksli muhitdagi uzunlamasına to'lqin raqamlarini talab qiladi.

Ba'zi kuzatish chastotasida ō = ʼn1, biz 𝑘2𝑥while 𝑘2𝑥>Reɛ2𝜔21/𝑐2
. yuqori indeksli muhit passiv bo'lgani uchun biz tenglamada kvadrat ildizning to'g'ri belgisini osongina aniqlashimiz mumkin. (1a). Past indeksli muhit uchun Imɛ2 < 0 va |Imɛ2| ni qabul qilamiz ≪ 1 (ya'ni, kichik daromad). tenglamadagi kvadrat ildiz uchun to'g'ri belgi. (1b) aniq emas: Imk2z > 0 va Rek2z < 0, yoki Imk2z < 0 va Rek2z > 0, 2-rasmga qarang. Ushbu yechimlarning hech biri jozibador emas: Birinchisi, faza tezligi va Poynting vektori tomon ishora qilishini talab qiladi. chegara. z = ∞ da manbalar mavjud emasligi sababli, bu stsenariyning to'g'ri bo'lishi mumkin emasligi haqida bahslashish mumkin [11]. Ikkinchi yechim maydonlar chegaradan uzoqroqda eksponent ravishda ortib borishini talab qiladi. Bundan tashqari, nol daromad chegarasida maydonlar eksponent ravishda oshib boradi (𝑧𝑘2𝑥−Reɛ2𝜔21/𝑐2−−−−−−−−−−−−√)
(2-rasmga qarang), nol yo'qotish chegarasida bo'lsa-da, maydonlar eksponent sifatida eksponent ravishda kamayadi (−𝑧𝑘2𝑥−Reɛ2𝜔21/𝑐2−−−−−−−−−−−√)
. Bunday uzilish jismoniy bo'lmagan ko'rinadi [9].
rasm: 1-rasm

1-rasm To'lqin yuqori indeksli muhitdan past indeksli muhitga daromad bilan tushadi. manba yagona, fazoviy chastota kx hosil qiladi. Elektromagnit chegara shartlari interfeysga parallel bo'lgan kx to'lqin sonining saqlanishini talab qiladi. Uzunlamasına to'lqin raqamlari k1z va k2z bilan belgilanadi. E'tibor bering, qo'zg'alish sababiy deb faraz qilinganligi sababli, u chastotalar diapazoni, shuning uchun ham k1z va k2z diapazonini o'z ichiga oladi.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

rasm: 2-rasm
2-rasm. Monoxromatik tahlil uchun k2z to'lqin sonining ikkita mumkin bo'lgan yechimi va daromadli muhit. o'qlar murakkab tekislikdagi ikkita mumkin bo'lgan to'lqin raqamlarini ko'rsatadi, chunki daromad nolga intiladi. Yo'qotilgan vosita uchun bizda har doim yuqori muqobilga moyil bo'lgan yechim mavjud +𝑖𝑘2𝑥−𝜔21/𝑐2−−−−−−−−−−√
nol yo'qotish chegarasida. Oddiylik uchun biz bu erda Reɛ2 = 1 ni oldik.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

Bu ishda biz birinchi navbatda asosiy elektromagnitikaga qaytamiz, sababiylik tamoyilini eng ibtidoiy shaklda qo'llashimizni ta'minlash uchun: Hech qanday signal yorug'likning vakuum tezligidan tezroq tarqala olmaydi. 2-bo'limda umumiy tahlildan so'ng, biz 3-bo'limda an'anaviy, zaif daromad vositalarini ko'rib chiqamiz va ular evanescent daromadni ta'minlashini ko'rsatamiz. 4-bo'limda biz barcha ommaviy axborot vositalarining o'zgarmas daromad keltirmasligini ko'rsatadigan misol keltiramiz; bu vositaning global dispersiya harakati bilan bog'liq.

2laplace transform chastota-domen tahlili

Fundamental elektromagnitikaga qaytsak, biz Maksvell tenglamalari tegishli sabab-konstitutsiyaviy munosabatlar bilan birgalikda yagona yechimni olish uchun zarur bo'lgan hamma narsani o'z ichiga olishini ta'kidlaymiz. to'g'ri echimni aniqlash uchun biz haqiqiy, jismoniy vaziyatni hisobga olishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Haqiqiy jismoniy maydonlar vaqt-domenidagilardir. Maydonlar t < 0 uchun nolga teng bo'lishini talab qilib (B ilovasiga qarang), biz Maksvell tenglamalarining sababiy yechimini olamiz. murakkab chastota-domen maydonlari odatda vaqt-domen maydonlaridan Furye konvertatsiyasi orqali topiladi. Biroq, tizimda daromad mavjud bo'lganda, Furye transformatsiyasidan foydalanish xavfli bo'lishi mumkin, chunki vaqt o'tishi bilan maydon ortishi mumkin. birinchi qarashda har qanday beqarorlik bizning holatlarimizda konvektiv ko'rinadi. Biroq, bu to'g'ri emas: sababiy qo'zg'alish cheksiz chastota diapazonini o'z ichiga oladi. bitta fazoviy chastota kx uchun bu hodisa burchaklarining keng diapazoniga ega bo'lgan rejimlar ishtirok etishini anglatadi; aslida k2z = 0 bo'lgan rejim ham hayajonlanishi mumkin. Ushbu "yon to'lqin" kuchayadi va chegaradagi cheksiz maydonlarga olib keladi.

bu beqarorlik biroz sun'iydir, chunki uning mavjudligi ko'ndalang yo'nalishdagi cheksizlikka bog'liq; ba'zi vaziyatlarda qanday e'tiborsiz qolishi mumkinligi haqida quyida bahslashamiz. Shunday bo'lsa-da, chiziqli o'rta doirada Furye o'zgarishlari har doim ham mavjud emas. shuning uchun, elektronika va boshqaruv muhandisligida bo'lgani kabi, biz tahlilni Laplas transformatsiyasidan foydalanib umumlashtiramiz,

Tenglamada. (2) Imō ning etarlicha katta qiymati ℰ (t) vaqt oralig'idagi elektr maydonidagi eksponensial o'sishni to'xtatadi, shunda integral yaqinlashadi. (E'tibor bering, ō umumiy jihatdan murakkab, ga teng, bu erda s - an'anaviy Laplas o'zgaruvchisi.) Teskari konvertatsiya quyidagicha berilgan.
Kompleks ō tekisligidagi E(ō) ning barcha analitik bo'lmagan nuqtalaridan yuqorida, etarlicha katta, real parametr g uchun integral ō = ig chiziq bo'ylab olinadi. Muhim kuzatuv quyidagilardan iborat: chastota-domen maydoni E(ō) faqat (2)-(3) o'zgarishlari orqali jismoniy ma'noga ega. Shunday qilib, agar maydon barcha real chastotalar uchun talqin qilinadigan bo'lsa, u yuqori yarim tekislikda analitik bo'lishi kerak Imō > 0. ammo, quyida ko'rsatilgandek, agar analitik bo'lmagan nuqtalar yuqori yarim tekislikda joylashgan bo'lsa-da, lekin haqiqiy o'qga yaqin va qo'zg'alish chastotasidan uzoqda bo'lsa, biz hali ham chastota-domen ifodalariga jismoniy talqinni berishimiz mumkin.
Fresnel tenglamalarini hosil qilish va k2z belgisini aniqlash uchun chekli qalinligi d bo'lgan plitadan javob berishdan boshlash va keyin d → ∞ chegarasini olish vasvasaga soladi. Cheklangan d uchun Maksvell tenglamalarining yechimi plitadagi k2z belgisiga bog'liq emas [17, 18]. biroq, faol plita uchun bir nechta aks ettirishlar, ayniqsa katta d uchun farq qilishi mumkin. Shunday qilib, haqiqiy chastotalar uchun d → ∞ chegarasi mutlaqo ma'noli emas [11, 17]. Buning yo'li, chastota-domen maydonlari mavjud bo'lgan etarli darajada katta Imō uchun maydonlarni baholashdir. u erda eksponensial o'sish eksponensial omil exp (−Imʼnt) bilan o'chiriladi. Natijada d → ∞ chegarasini olishimiz mumkin [16]. TE polarizatsiyasi uchun Fresnel aks ettirish koeffitsienti r va uzatish koeffitsienti t (shu jumladan, tarqalish omili exp(ik2zz)) [16, 17] ga aylanadi.

k2z ning belgisi shunday aniqlansa, k2z → +ō/c Imō → ∞, k2z esa ō ning analitik funksiyasi bo'ladi. haqiqatan ham, tenglamalar bo'lsa ham. (4) katta Imō uchun olingan bo'lsa, biz ularning amaldagi hududini quyidagicha kengaytirishimiz mumkin: aks ettirilgan va uzatiladigan chastota-domen maydonlari tenglamalar bilan berilgan. (4) Laplas tomonidan o'zgartirilgan hodisa maydoniga ko'paytiriladi. bog'langan, jismoniy, vaqt-domen maydonlari teskari konvertatsiya (3) orqali olinadi. Endi analitik davom ettirish orqali biz tenglamalarning analitik bo'lmagan nuqtasiga yetguncha g ni kamaytirishimiz mumkin. (4), ℰ (t) ni o'zgartirmasdan. agar (4) ifodalar butun, yuqori yarim tekislikda analitik bo'lsa, biz g = 0 ni o'rnatishimiz va real chastotalar uchun r va t ni izohlashimiz mumkin. Boshqa tomondan, agar yuqori yarim tekislikda analitik bo'lmagan nuqtalar mavjud bo'lsa, vaqt domeni maydonlari ajralib chiqadi. u holda, haqiqiy chastotalar umuman jismoniy ma'noga ega emas.

3. Zaif daromadli media
Haqiqiy aks ettirish va uzatish javobini topish uchun biz birinchi navbatda quyidagi taxminlar yoki xususiyatlarga ega an'anaviy zaif daromad vositalarini ko'rib chiqamiz:

o'tkazuvchanlik ɛ2(ō) Kramers-Kronig munosabatlariga bo'ysunadi.

Daromad va dispersiya kichik, shuning uchun o'tkazuvchanlikni yozish mumkin
Bu erda ɛ‌2 musbat doimiy bo'lishi kerak. Quyida biz ɛ‌2 = 1 ni olamiz; tahlilni boshqa ɛ‌2 bilan ish uchun osongina umumlashtirish mumkin. (Oxirgi holatda, ɛ‌2 faqat keng chastota diapazonida, shu jumladan Dɛ2(ō) nolga teng bo'lmagan diapazonda doimiy bo'ladi; juda yuqori chastotalar uchun u 1 ga intiladi.)

Muhit kuzatuv chastotasi ō1 va kxc kritik chastotada kuchaygan.

Dɛmax ≡ maxō |Dɛ2(ō)| bo'lsin. kxc kritik chastotasi atrofida Dɛmaxkxc tarmoqli kengligida o'tkazuvchanlik ɛ2(ō) sekin o'zgaradi:
2 va 4 xossalar, mohiyatan daromadning zaifligini va dispersiyaning kichikligini bildiradi.

Endi tenglamani yechamiz

k2z ning kompleks ō tekisligining yuqori yarim tekisligida tarmoqli nuqtalari borligini aniqlash. ɛ2(ō) Kramers-Kronig munosabatlarini qanoatlantirganligi sababli, u yuqori yarim tekislikda analitikdir. kompleks tahlilning maksimal modul printsipi [19] shuning uchun 2 xossa nafaqat haqiqiy chastota o'qida emas, balki yuqori yarim tekislikda ham amal qilishini ta'minlaydi. ɛ2(ō) = 1 + Dɛ2(ō) ni tenglamaga almashtirish. (7) topamiz
yuqori yarim tekislikda, chunki |Dɛ2(ō)| ≪ 1. Shunday qilib, yuqori yarim tekislikdagi dispersiya munosabatining har bir yechimi kritik chastotalardan ±kxc (Dɛmax/2)kxc masofada joylashgan.
Shuning uchun biz kxc atrofidagi mintaqani batafsilroq ko'rib chiqamiz. dispersiya munosabatining ikkita eritmasi ōa va ōb bo'lsa, u holda tenglama. (8) buni bashorat qiladi

4-xususiyatga ko'ra, ōb = ʼna bo'lmasa, bu mumkin emas. Shunday qilib, tenglamaning yagona yechimi mavjud. (7) kxc yaqinida joylashgan birinchi kvadrantda:

qo'shimcha ravishda ikkinchi kvadrantda ō = −kxc – d' + i da joylashgan ko'zguli eritma mavjud. Shu esta tutilsinki
K2z va Fresnel koeffitsientlari (4) ifodasida bu yechimlar tarmoq nuqtalari sifatida namoyon bo'ladi. demak, fizik vaqt-domen maydonlarini teskari Laplas konvertatsiyasi orqali baholashda biz bog'langan novdalar kesimlari ustida −∞ + ig dan +∞ + ig gacha integrallashimiz kerak, 3-rasmga qarangyo'l deformatsiyasi bo'yicha bu yo'l -∞ dan ∞ gacha bo'lgan yo'l bilan bir xil bo'lib, yuqori yarim tekislikdagi shoxchalar kesimlari atrofidagi yo'llar bilan bir xil bo'ladi (3-rasm). Shunday qilib, biz vaqt sohasi maydonlarini aniqlash uchun teskari Furye konvertatsiyasidan foydalanishimiz mumkin, lekin faqat filial kesimlari atrofida integrallarni qo'shsak. eksponensial omil exp(−iʼnt) tufayli shox kesimlar atrofidagi integrallar bir-biridan uzoqlashadi va ma’lum vaqtdan keyin hukmronlik qiladi.

rasm: 3-rasm

3-rasm Kompleks ō-tekisligi. An'anaviy, kuchsiz muhit uchun ō = ± (kxc + d') ≈ ± kxc dan yuqorida tarmoq nuqtalari mavjud. shoxchalar kesimlari o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin; biroq, ko'rsatilgan vertikal kesmalar yuqori yarim tekislikdagi novdalar kesimlari qismi atrofidagi integralni minimallashtiradi.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

Vaqt-domen maydonlarining farqlanishini quyidagicha izohlash mumkin. har qanday sababiy qo'zg'alish cheksiz chastota diapazonini o'z ichiga oladi. Masalan, u(t)cos(ō1t) birlik bosqichli funksiyali modulyatsiyalangan kosinusning Laplas konvertatsiyasi 𝑖𝜔/(𝜔2−𝜔21) ga teng.
. Shunday qilib, u barcha chekli ō ≠ 0 uchun nolga teng emasbu chastotalardan biri tarmoq-nuqta chastotasi bo'lib, u uchun k2z = 0, ya'ni ō ≈ kxc + id. Bu chastota murakkab; xayoliy qismi d bog'liq xosmode konvert bilan o'sib borayotgan to'lqin ekanligini bildiradi (dt). Jismoniy jihatdan k2z = 0 bo'lgan to'lqin chegara bo'ylab tarqaladi. vosita daromadli bo'lgani uchun, bu yon to'lqin o'z yo'lida daromad oladi. Ruxsat etilgan kuzatuv nuqtasini ko'rib chiqing, masalan. nuqta z = 0+ va x = 0. ko'ndalang x yo'nalishida muhit va qo'zg'alish chegaralanmaganligi sababli, kuzatish nuqtasidan o'zboshimchalik bilan uzoqroqda boshlanadigan yon to'lqinlar mavjud. Shunday qilib, kuzatish nuqtasidagi maydon ajralib chiqadi. 2-o'rtadagi maydon cheksiz bo'lganda, 1-o'rtadagi maydon ham cheksizdir. kosmosda belgilangan nuqtadagi maydon bir-biridan uzoqlashishi va beqarorlik kuchaytirilgan, bir nechta aks ettirish natijasi emasligi sababli, 1-rasmdagi tizim uchun beqarorlikni mutlaq beqarorlik deb tasniflash mumkin [17, 20, 21].

bu beqarorlikni yutish chegarasi bilan ko'ndalang yo'nalishdagi daromad muhitini chegaralash orqali yo'q qilish (yoki konvektiv beqarorlikka aylantirish) mumkin edi. muqobil ravishda, tushayotgan to'lqinning o'zi x yo'nalishida cheklanishi mumkin, bu esa kx rejimlarining cheksiz spektriga olib keladi (A Ilova va Ref. [8] ga qarang). Bunday muolajalarni qo'llashdan ko'ra, biz shunchaki vaqt-domen maydonlarini novdalar ustidagi teskari Laplas konvertatsiyasi orqali hisoblaymiz. agar qo'zg'alish chastotasi ō1 tarmoq nuqtalaridan etarlicha uzoqda bo'lsa, k2z = 0 bo'lgan yon to'lqin faqat juda zaif qo'zg'atiladi va ma'lum vaqtgacha e'tiborsiz qolishi mumkin. qo'zg'alish chastotasining kxc dan uzoq bo'lishi sharti, tushayotgan burchakning kritik burchakka yaqin emasligini bildiradi. bu holat tushish burchagiga teng aks ettirish burchagi bilan aks ettirilgan to'lqinni va o'sib borayotgan yon to'lqin bilan bog'liq bo'lgan to'lqinni tanqidiy burchakka teng bo'lgan "aks ettirish" (yoki tarqalish) burchagi bilan farqlash uchun majburiydir.

u(t)exp(ikxx – iō1t) qo'zg'alish uchun aks ettirilgan vaqt-domen maydoni, Laplas o'zgartirish exp(ikxx)/(iō1 – iʼn) bilan berilgan:

z = 0 da(12) integralni qoldiq teoremasining umumlashtirilgan varianti bilan baholash mumkin, bunda biz barcha qutblar atrofidagi kontur integralini va Integralning Imō < g yarim tekislikdagi shox kesimlarini topamiz. ō1 ikki muhitning har qanday rezonanslaridan etarlicha uzoqda bo'lsa, Imō < 0 uchun barcha qutblar va novdalar kesimlari tufayli o'tkinchi jarayonlarni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Shu bilan bir qatorda, rezonanslarning maksimal teskari tarmoqli kengligi D-1 dan katta bo'lgan vaqtlarda o'tish jarayonlari o'chib ketadi. u holda x = 0 uchun aks ettirilgan maydon tomonidan beriladi
bu erda k1z va k2z to'lqin raqamlari ō1 chastotasida baholangan. ℰbc(0,t) atamasi ō = ±kxc dan yuqori bo'lgan ikkita shox kesim atrofidagi integral (12) hisoblanadi. Bu integral bilan chegaralangan
bu erda doimiy faol muhitning o'ziga xos xususiyatlariga bog'liq (ilova C ga qarang). Boshqacha qilib aytganda, D−1 ≲ t ≲ d−1 uchun va ō1 kxc ga unchalik yaqin bo‘lmasa, ℰbc(0,t) ni e’tiborsiz qoldirishimiz mumkin. Keyin aks ettirilgan maydon tenglamaning birinchi atamasi bilan yaxshi tasvirlangan. (13).
endi biz yo'qolgan daromad mavjudligi haqidagi savolga javob berishimiz mumkin. Tenglamani olish uchun. (13), biz faqat yuqori yarim tekislikda ikkita novdani kesishni ko'rib chiqdik; bu ɛ2(𝜔)𝜔2/𝑐2−𝑘2𝑥 ning nollari tufayli kerakli novdalar kesimlari
. tenglamadagi integralni ta'minlashimiz kerak. (12) yuqori yarim tekislikning hamma joyida analitikdir. Ya'ni, k2z ning belgisi shunday aniqlanishi kerakki, k2z hamma joyda analitik bo'ladi, yuqori yarim tekislikdagi ikkita shoxli kesmalardan tashqari. k2z → +ō/c ō → +∞ bo‘lgani uchun biz belgini ō ni +∞ dan ō1 ga kamaytirish orqali aniqlashimiz mumkin, bunda k2z hamma joyda uzluksiz bo‘lishini ta'minlaymiz, u ō = kxc belgisini o‘zgartiradi. 4-rasmdan ō1 kuzatish chastotasida Imk2z > 0 ekanligini aniqlaymiz. demak, zaif an'anaviy daromadli muhit uchun, agar yon to'lqindan "aks ettirilgan" maydonni e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa, yo'qolgan daromad olish mumkin. Bu natija [7,8] va [10] dagi vaqt-domen simulyatsiyalariga mos keladi, bu erda muhit dispersiyasi tashlanadi.

rasm: 4-rasm

Anjir. 4 Funktsiya 𝑘22(𝜔)=ɛ2(𝜔)𝜔2/𝑐2−𝑘2𝑥
tipik daromad o'rta uchun, 𝑘22𝑧 majmuasida chizilgan
-samolyot. K2z ni aniqlash uchun biz uni ō = ∞ da +ō/c bo'lishini talab qilamiz, ō nol tomon kamayib borishi bilan uzluksiz bo'lishi kerak, ō = kxc da novda kesimidan tashqari, u belgini o'zgartiradi.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

5-rasmda biz kuchsiz Lorents muhiti uchun o'tkinchi jarayonlar o'lgandan keyin va yon to'lqin hukmronlik qilishdan oldin aks ettirilgan va uzatilgan elektr maydonini chizamiz. Ko'rsatilgan maydon tenglama bilan hisoblangan. (12), shu jumladan integraldagi tarqalish omili exp(−ik1zz). uzatiladigan maydon xuddi shu tenglama bilan, lekin integralda rexp(−ik1zz) o‘rniga t bilan hisoblangan ((4) tenglamaga qarang).

z > 0 uchun biz yo'q bo'lib ketadigan parchalanuvchi maydonni aniq ko'ramiz, z < 0 uchun aks ettirilgan maydon birlikdan kattaroqdir.

rasm: 5-rasm

Anjir. 5 Kuchsiz Lorents kuchayish muhitiga tushgan tekis to'lqin uchun aks ettirilgan elektr maydoni (qattiq chiziq, z < 0) va uzatilgan elektr maydoni (chiziq chiziq, z > 0). Amaldagi parametrlar: F = 0,01, D = 0,1ō0, kxc = 2ō0, ō1 = ō0, g = 0,001 va ɛ1 = 4,7. maydon x = 0 va ō0t = 103 uchun chiziladi va hodisa maydoniga normallashtiriladi. Yoritilgan maydonning amplitudasi 1,01 ga teng. E'tibor bering, z = 0 da maydon uzluksiz, chunki hodisa to'lqini kiritilmagan.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

ō1 chastotasi bilan bog'liq bo'lgan kritik burchakka yaqinlashganda vaziyatni o'rganish qiziq. Agar biz tenglamaning faqat birinchi hadini ishlatishni talab qilsak. (13) bu holda, oddiy hisob-kitob shuni ko'rsatadiki, quvvatni aks ettirish (2−−√+1)2≈5,83 bilan chegaralangan bo'lar edi.
kritik burchak ostida. Bundan tashqari, k2z to'lqin raqami va aks ettirilgan maydon biz kritik burchakdan o'tganimizda uzluksiz bo'ladi. Bu aniq paradoksdir, chunki filiallarni kesish o'zboshimchalik bilan tanlangan. dilemma butun tenglamani qayd etish orqali hal qilinadi. (13) ushbu domenda ishlatilishi kerak; ikkala atama tabiiy ravishda birga mavjud va ularni ajratib bo'lmaydi. Kritik burchakka yaqinlashganda, ℰbc(0,t) tenglamaning birinchi hadi bilan taqqoslanadigan yoki undan kattaroq bo'ladi. (13), hamma vaqt uchun. filiallarni kesishning turli xil tanlovi ushbu hissalarning har birini o'zgartiradi, ammo summa bir xil bo'lib qoladi. chekli ko'ndalang o'lchov uchun, yon to'lqinning "aks ettirilgan" maydonga qo'shgan hissasi endi har xil bo'lishi shart emas; shu bilan birga, aks ettirilgan maydonning intensivligi o'lcham kattalashgani uchun o'zboshimchalik bilan katta bo'lishi mumkin yoki ko'ndalang so'nggi tomonlardan ko'zgu katta bo'lsa.

4. umumiy daromad ommaviy axborot vositalari

An'anaviy kuchsiz media bilan solishtirganda, hech bo'lmaganda printsipial jihatdan, yanada murakkab daromad vositalarini qurish mumkin. Bu erda biz ō1 < kxc kuzatish chastotasida manfiy xayoliy qismga ega bo'lgan yaqin xayoliy k2z ni olishimiz mumkinligini ko'rsatamiz. o'tkazuvchanlikni hisobga oling

bu yerda N va P kompleks sonlar pastki yarim tekislikda joylashgan va ō2 haqiqiy doimiydir. Uzunlamasına to'lqin raqami 𝑘22(𝜔)=ɛ2(𝜔)𝜔2/𝑐2−𝑘2𝑥 ni qondiradi

, beradi
ō2 = kxc ni tanlab, biz 𝑘22𝑧 chastotaga bog‘liqligini moslashtira olamiz
nol va qutblarning joylarini diqqat bilan tanlash orqali. N = n – iC va P = p – iC bo'lsin, bu erda C > 0. Endi barcha qutblar va nollar (yopiq) pastki yarim tekislikda joylashgan. ō > 0 uchun C ≪ n, p deb faraz qilsak, bo'ylama to'lqin sonini yozish mumkin.
A(ō) va B(ō) haqiqiy funksiyalar uchun; bundan tashqari A(ō) > 0. Demak, n < p uchun Im𝑘22𝑧<0
barcha ijobiy chastotalar uchun. k2z ō ning yuqori yarim tekisligida analitik bo'lgani uchun va k2z → +ō/c ō → ∞ sifatida bo'lgani uchun k2z kompleks k2z tekislikning to'rtinchi kvadrantida joylashadi, ya'ni Rek2z > 0 va Imk2z < 0. hamma uchun ō > 0to'g'ri evanescent yoki "anti-evanescent" to'lqin bor |Re(k2z)/Im(k2z)| ≪ 1, shuning uchun biz ushbu talabni qondiradigan ō1 qiymatlarini qidiramiz. 6-rasmni tahlil qilsak, ō1 mavjud bo'lib, bu erda |Re(k2z)/Im(k2z)| n < ō1 < p uchun ≪ 1. demak, biz k2z cheklangan chastota diapazonidagi "anti-yo'q" to'lqinni tasvirlaydigan muhitni topdik.
rasm: 6-rasm
6-rasm 𝑘2(𝜔)=ɛ2𝜔2/𝑐2−𝑘2𝑥−−−−−−−−−−−√ ning haqiqiy va xayoliy qismlari.
, ɛ2 bilan tenglama bilan berilgan. (15). ō2 = kxc, N = kxc (6/10 – i/1000) va P = kxc (7/10 – i/1000) ni o‘rnatdik.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

Har qanday real hodisa to'lqini kx to'lqin sonlari spektrini o'z ichiga oladi. 𝑘22𝑧 ning nollari yo'q

yuqorida ko'rib chiqilgan muayyan kx uchun yuqori yarim tekislikda, bu barcha mumkin bo'lgan kx uchun emas. Shunday qilib, bu muhit uchun ham o'sib borayotgan to'lqinlar mavjud. vosita katta daromadga ega ekanligi va beqarorlikning mavjudligi amalda "anti-evanescent" javobni kuzatish juda qiyin ekanligini anglatadi. printsipial jihatdan, lekin ma'lum bir vaqtgacha beqarorliklarning amplitudasini hodisa kx ning tor diapazonli spektrini ta'minlash orqali cheklash mumkin. Rasmiy ravishda, agar s tushayotgan to'lqinning kengligi bo'lsa va ℰs(x,z,t) natijada paydo bo'lgan elektr maydoni bo'lsa, lims→∞ℰs(x,z,t) t → kabi "anti-yo'q" javobga intiladi. ∞, har qanday chekli s uchun limt→∞ℰs(x,z,t) = ∞ bo'lsa.

O'tkazuvchanlik (15) ō = 0 da qo'sh qutbga egamuhit printsipial jihatdan sabab bo'lsa-da, agar qutb boshlang'ichdan bir oz uzoqroq, pastki yarim tekislikka o'tkazilsa, vositani tushunish osonroq bo'lishi mumkin. Ma'lum bo'lishicha, ushbu modifikatsiya qiziqish chastotasi diapazonida o'tkazuvchanlik funktsiyasini sezilarli darajada o'zgartirmaydi. shuningdek, agar so'ralsa, ō = ∞ da xatti-harakat Refda tasvirlangan chiziqlar bo'ylab sozlanishi mumkin. [17].

7-rasmda o'tish jarayonlari o'chganida etarlicha katta t uchun teskari Laplas konvertatsiyasi bilan hisoblangan daromad muhiti (15) uchun aks ettirilgan va uzatiladigan maydonni chizamiz. faqat bitta kx hayajonlangan. Ko'zgu amplitudasi 0,98 ga teng, uzatiladigan maydon esa z ning eksponensial ortib borayotgan funktsiyasidir. printsipial jihatdan amalga oshirish mumkin bo'lsa-da, misol juda real emas: 7-rasmdagiga o'xshash xatti-harakatni kuzatish uchun t kamida 102(kxc)−1 tartibida bo'lishi kerak; aks holda vaqtinchalik jarayonlar tasvirni buzadi. Har qanday real daromad muhiti cheklangan qalinlikka ega. ammo, yarim cheksiz muhit sifatida harakat qilish uchun, daromad muhitining qalinligi d d > ct yoki kxd ≳ 102 ni qondirishi kerak, shunda yorug'lik orqa uchiga etib bormaydi. 7-rasmdagi "anti-evanescent" o'sish sur'ati bilan bu jismoniy jihatdan katta maydonlarni (yoki amalda chiziqli bo'lmagan daromad to'yinganligini) nazarda tutadi. demak, agar "anti-yo'q bo'lgan" xatti-harakatni eksperimental kuzatish uchun, o'tkinchi jarayonlar tez o'chib ketadigan muhitni va/yoki etarlicha kichik |Imk2z| ga olib keladigan muhitni qurish kerak bo'ladi. bir vaqtning o'zida vosita sek.dagi shartlarni buzishi kerak. 3; ya'ni ba'zi chastotalar uchun katta daromad va/yoki katta dispersiyaga ega bo'lishi kerak.

rasm: 7-rasm

Anjir. 7 Tenglama bilan tavsiflangan kuchayuvchi muhitga tekis to'lqin tushishi uchun aks ettirilgan elektr maydoni (qattiq chiziq, z < 0) va uzatilgan elektr maydoni (chiziq chiziq, z > 0). (15) va 6-rasm. Maydon x = 0 va kxct = 105 uchun chiziladi va hodisa maydoniga normallashtiriladi. aks ettirilgan maydonning amplitudasi 0,98 ga teng. Ishlatilgan parametrlar: ō1 = 0,65kxc, g = 10−6 va ɛ1 = 4.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

5. Xulosa
biz yorug'likning yuqori indeksli muhitdan past indeksli muhitga daromad bilan tushishini ko'rib chiqdik, vaziyatni umumiy ichki aks ettirish bilan umumlashtirdik.

printsipial jihatdan, har ikkala yechimga ham (murakkab tekislikning ikkinchi va to'rtinchi kvadrantidagi k2z) mos ravishda ishlab chiqilgan vosita bilan erishish mumkinligi aniq. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, o'zgaruvchan daromad batafsil o'tkazuvchanlik funktsiyasiga bog'liq bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bu k2z belgisini bitta chastotadagi elektromagnit parametrlardan aniqlash mumkin emasligini, lekin yuqori yarim tekislikdagi mumkin bo'lgan analitik bo'lmagan nuqtalarni (beqarorliklarni) tekshirgandan so'ng, butun chastota sohasiga bog'liqlikdan aniqlanishi kerakligini ko'rsatadi. kompleksidanchastota.

tezlik
tez-tez bo'lib turishlik
chastotaga oid
An'anaviy, zaif daromad vositalari uchun biz cheksiz ko'ndalang o'lchamlar bilan bog'liq mutlaq beqarorlik mavjudligini ko'rdik. Ba'zi hollarda bu beqarorlikni bartaraf etish yoki e'tiborsiz qoldirish mumkin; keyin o'zgaruvchan daromad ustunlik qiladi.

A. Cheklangan tushuvchi nur va chekli kattalikdagi muhit

Haqiqiy manbadan kelib chiqishi uchun tushayotgan nur nafaqat sababiy, balki chekli kenglikda ham bo'lishi kerak. biz bu yerda standart Furye optikasi yordamida tushayotgan nurni qanday modellashtirishni tasvirlaymiz va hatto faol muhitlar uchun ham ko‘ndalang to‘lqin soni kx va chastota ō ga nisbatan integratsiya tartibini almashishga ruxsat berilganligini isbotlaymiz. Shunday qilib, biz har bir kx ning sababiy qo'zg'alishini alohida ko'rib chiqishimiz mumkin.

ℰ (x,t) yuqori indeksli muhit va faol past indeksli muhit orasidagi interfeysdagi hodisa TE maydoni bo'lsin. Laplas t → ō o'zgarishini, so'ngra x → kx Furye o'zgarishini bajarib, o'zgartirilgan E(kx,ō) maydonini olamiz. Teskari konvertatsiya tomonidan berilgan

Fubini teoremasi bo'yicha biz tenglamadagi integratsiya tartibini almashtirishimiz mumkin. (18), agar E(kx,ō' + ig) kx va ʼn' ga nisbatan absolyut integral bo'ladi. Bu hodisa maydoni t va x ga nisbatan etarlicha silliq deb faraz qilingan holat. masalan, tushuvchi to‘lqinni a(x)eiKxxb(t)e−iʼn1t deb olsak, o‘zgartirilgan maydon E(kx,ʼn′ + ig) = A(kx – Kx)B(ō′ – ō1 + ig) ga aylanadi. , bu erda A - a ning Furye, B - b ning Laplas o'zgarishi. Bu yerda t < 0 uchun b(t) = 0 deb faraz qilamiza va b uzluksiz bo'lsa, A va B mutlaq integraldir.

Yuqoridagi argumentni umumiy maydon uchun takrorlashimiz mumkin (hodisa + aks ettirilgan va uzatilgan). Supereksponensial beqarorlik yo'q deb hisoblasak, umumiy maydon bir xil chegaralangan:

C va g musbat konstantalar uchun. u holda t → ō va undan keyin x → kx o'zgarishlar mavjud bo'lib, jami maydonni (18) ko'rinishda ifodalashimiz mumkin. Umumiy maydon to'lqin tenglamasi yordamida aniqlanadi. Har bir kx rejimini alohida ko'rib chiqish uchun biz to'lqin tenglamasining har bir a'zosi uchun integratsiya tartibini almashtiramiz. Buning uchun t va x ga nisbatan ikkinchi tartibli hosilalar uzluksiz bo‘lishini talab qilamiz.
Bizning yechimimiz ushbu talabga mos kelishini isbotlash uchun qoladi. Sekdagi nazariyadan. 2, biz etarli darajada silliq hodisa maydonini hisobga olgan holda, har bir kx uchun yechim topamiz. bu yechim uchun Fresnel tenglamalari aks ettirish va uzatish koeffitsientlari mos ravishda nolga va birlikka moyilligini ko'rsatadi, chunki |ō'| → ∞ yoki |kx| → ∞. Shuning uchun (ō,kx)-domenidagi aks ettirilgan va uzatiladigan maydon hodisa maydonidan har qanday mutlaq integrallash xususiyatini qabul qiladi.

bizning tahlilimizda u(t)exp(ikxx–iō1t) hodisa maydoni uzluksiz emas. Shunday qilib, yuqorida tavsiflangan usuldan qat'i nazar, foydalanish mumkin emas. Biroq, t = 0 atrofidagi uzilishni tekislash orqali biz maydonni va uning ikkinchi tartibli hosilasini uzluksiz qilishimiz mumkin. bu modifikatsiya umuman muhokamaga ta'sir qilmaydi, chunki sekinroq o'tish o'tkazish qobiliyatini pasaytiradi. Shunday qilib, yon to'lqinlar kuchsizroq qo'zg'atiladi, shuning uchun tengsizlik (14) yanada kattaroq chegara bilan qondiriladi.

haqiqiy tajribada nafaqat nurning kengligi, balki faol muhitning o'zi ham cheklangan bo'lishi kerak. Agar maydonlar qiziqish vaqt oynasida strukturaning oxiriga etib bormasa, maydonlar yarim cheksiz faol muhitdagilar bilan bir xil bo'ladi. shuning uchun biz 8-rasmdagi kabi o'rnatishni ko'rib chiqishimiz mumkin, bu erda tushayotgan nurdan chegaragacha bo'lgan eng kichik masofa d. t < d/c uchun maydonlar cheklangan o'lchamli muhit yarim cheksiz muhit bilan almashtirilgandek bir xil bo'ladi.

rasm: 8-rasm

Anjir. 8 Yarim cheksiz daromad muhitini faqat t < d/c vaqtlarini hisobga olsak, cheklangan o'lchamli o'sish muhiti bilan almashtirish mumkin.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

B. Cheksiz muhitdagi beqarorlik
Beqarorlikni ikki toifaga, konvektiv va mutlaq beqarorliklarga bo'lish qulay (masalan, [20,21]). Mutlaq beqarorlikka ega bo'lgan ommaviy axborot vositalari ko'pincha kichik signalli, chiziqli ilovalar uchun amaliy bo'lmagan deb hisoblanadi, chunki chegaralanmagan muhit uchun maydonlar hatto kosmosning belgilangan nuqtasida ham ajralib turadi.

Bundan farqli o'laroq, konvektiv beqarorlikka ega vositalar chiziqli rejimda foydalidir. bu erda maydonlar kosmosning belgilangan nuqtasida ajralib chiqmaydi; o'sib borayotgan to'lqin ko'proq konvektsiyalanadi.

ammo, hatto faqat konvektiv beqarorlik holatlarida ham, muhit cheksiz hududni yoki yarim bo'shliqni egallagan holatda fundamental muammolar bo'lishi mumkin: Har qanday kichik tebranish cheksiz masofani yoyishi mumkin, shuning uchun cheksiz miqdorda daromad olishi mumkin. Bizning tahlilimizda biz faol muhit t < 0 uchun qorong'i deb taxmin qilamiz. Bu mumkinmi yoki yo'qmi, hatto printsipial jihatdan ham aniq emas, chunki uzoq o'tmishdagi buzilishlar so'nmaydi, aksincha, eksponent ravishda kuchayadi.

Chora amaliy mulohazalar bilan asoslanadi. tajribada faol muhit barcha yo'nalishlarda cheklangan o'lchamga ega bo'lishi kerak. Mutlaq beqarorliksiz va ma'lum maksimal o'lchamli d bo'lgan muhit uchun daromad etarli darajada zaif bo'lsa, hech qanday beqarorlik bo'lmaydi. Bunday konfiguratsiyalarga misol sifatida optik kuchaytirgichlar va chegaradan past pompalanadigan lazer rezonatorlari kiradi. Hech qanday beqarorlik bo'lmasa, biz nasosni uzoq o'tmishda yoqishimiz mumkin, shunda buzilishlar t = 0 dan oldin tugaydi0 < t < d/c uchun biz hali ham muhitni yarim cheksiz deb hisoblashimiz mumkin, chunki 8-rasmdan ko'rinib turibdiki, u hech qanday farq qilmaydi.

C. Ko'rsatilgan vaqt-domen maydonini aniqlash
Bu erda biz vaqt domenidagi aks ettirilgan maydonni hisoblaymiz, bunda daromad muhiti zaif, teskari Lorents funksiyasi bilan tavsiflanadi:

Tenglamada. (20) F, ō0 va D musbat parametrlar bo'lib, mos ravishda rezonans kuchini, chastotasini va tarmoqli kengligini tavsiflaydi. z = x = 0 da jismoniy, vaqt domenida aks ettirilgan maydon teskari Laplas konvertatsiyasi (12) bilan berilgan, qulaylik uchun bu erda takrorlanadi:

Maydonni integralni (21) qoldiq teoremasining umumlashtirilgan versiyasi orqali baholash orqali izohlash mumkin. Biz bu yerda −∞ + ig dan +∞ + ig gacha boʻlgan yoʻl boʻylab integrallash barcha shox kesimlar va qutblar atrofida integrallash bilan bir xil ekanligini tushunamiz. K1z + k2z maxrajida hech qanday nol yo'q, agar ɛ1 o'tkazuvchanligi qiziqish chastotasi diapazonida doimiy va birlikdan kattaroq deb hisoblanishi mumkin. shuning uchun biz faqat k1z va k2z filial nuqtalaridan va ō = ō1 da qutbdan cho'zilgan novdalar kesimlarini hisobga olishimiz kerak. E'tibor bering, novdalar punktlaridan cho'zilgan ekan, novdalarni kesish o'zboshimchalik bilan amalga oshiriladi. Biz barcha novdalar kesimlarini xayoliy o'qga parallel ravishda Imō = -∞ tomon yotishiga ruxsat beramiz. 9-rasmdagi rasmga qarang. k1z ning tarmoq nuqtalari muhitning tarmoqli kengligi etarlicha katta bo'lishi sharti bilan haqiqiy chastota o'qidan uzoqda (va pastda) joylashgan. K2z to'lqin raqami yuqori yarim tekislikda ikkita tarmoq nuqtasiga ega bo'lib, ō = ±kxc dan darhol yuqorida joylashgan. qo'shimcha ravishda haqiqiy chastota o'qi ostida joylashgan to'rtta filial nuqtasi mavjud bo'lib, ular tasavvur qismlari -D / 2; ikkita oddiy nol va ikkita oddiy qutb. Oxirgi to'rtta novdalar atrofidagi integrallar eng ko'p 2/D doimiy vaqt bilan parchalanadi. Shunday qilib, t ≳ 2/D uchun yagona hissa qo‘shuvchi shartlar ō1 da qutb qoldig‘i va k2z ning qolgan ikkita shox kesimidan olingan ℰbc(0,t) hissasi:
B u erda k1z va k2z ō1 chastotasida baholandi. ℰbc(0,t) = ℰbc−(0,t) + ℰbc+(0,t) deb yozamiz, bu yerda ℰbc−(0,t) va ℰbc+(0,t) chap va novdalar kesimidan olingan hissalardir. mos ravishda o'ng yarim tekisliklar.
rasm: 9-rasm

9-rasm Doira va yulduzlar mos ravishda k2z ning nol va qutblarini belgilaydi. Xoch qutbni ō = ʼn1 da belgilaydi. novdalar kesimlari xayoliy o'qga parallel yotish uchun o'zboshimchalik bilan tanlanadi, pastki yarim tekislikka cho'ziladi Im(ō) < 0. Integratsiya yo'li C kesilgan chiziq bilan ko'rsatilgan. Qo'shilgan shoxchalar va ustunlar C1, bc- va bc+ yo'llari bilan o'ralgan. t ≳ 2/D uchun biz ∮C f(ō)dō ≈ ∮C1 f(ō)dō + ∫bc− f(ō)dō + ∫bc+ f(ō)dō ga egamiz.

To'liq o'lchamda yuklab olish | PDF

F ≪ 1, D ≪ ō0 va 2−−√𝜔0 bo‘lsa,

< kxc, o'ng yarim tekislikda kesilgan novda taxminan ō = kxc + id dan ō = kxc – i∞ gacha cho'ziladi, bu erda d ≤ FD. Keyin, t ≳ 2/D uchun

bu yerda l va r pastki belgisi shox kesimini kesib o‘tishda r(ō) ning uzluksiz ekanligini ko‘rsatadi, mos ravishda shox kesimning chap va o‘ng tomonini bildiradi. Yana fl,r(ō) = k2z/k1z ni aniqlaymiz. k2z kxc yaqinida kichik bo'lgani uchun, birinchi tartibli taqriban rl,r(ō) = 1 – 2 fl,r(ō), bu erda fr(ō) = - fl(ō). Integral (23) endi soddalashtirilishi mumkin:

Fl(ō) uchun boshqariladigan ifodani olish uchun 𝑘22𝑧 ifodalash foydalidir.
uning nollari va qutblarining funksiyasi sifatida. qutblar p pastki belgisi bilan, nollar esa kxc va ʼn0 pastki belgisi bilan belgilanadi (haqiqiy chastota o'qi bo'ylab joylashuvni ko'rsatadi), 𝑘22𝑧
sifatida namoyon bo'ladi
d = Im(ōkxc) va ōi = Im(ō) ni aniqlash va ō = ʼnkxc da (ō – ʼnʼn0)/(ō – ʼnp) ≈ 1 ekanligini tan olish, tenglama. (25) soddalashtirilishi mumkin: 𝑘22𝑧≈−𝑖2𝑘𝑥(𝛿−𝜔𝑖)/𝑐
. Bu beradi
kxc – ʼn1 ≫ D uchun, endi 𝛿−𝜔𝑖−−−−−√≤𝐹D+D/2−−−−−−−√ ekanligini qayd qilib, (24) integralning yuqori chegarasini topishimiz mumkin.
barcha ōi uchun. Biz ℰbc−(0,t) ni xuddi shunday baholab, chegara hosil qilishimiz mumkin
Binobarin, 2/D ≲ t ≲ 1/Fo uchun maydon tenglamadagi birinchi atama bilan yaxshi tasvirlangan. (22).
MAVZU: Yassi bir jinsli to‘lqin, to‘lqinlarning qutblanishi. Bir jinsli, izotrop, yo‘qotishlarsiz muhitda yassi ET.
Agar elastik (qattiq, suyuq yoki gaz holatidagi) muhitning biror joyidagi zarralar tebratilsa, u holda zarralarning o’zaro ta’sirlanishi natajasida bu tebranishlar muhitida biror  tezlik bilan zarradan zarraga tarkala, boshlaydi. Тebranishlarning fazoda tarqalish protsessi to’lqin deb ataladi. Тo’lqinlar ikki xil: ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlarga bo’linadi, bo’ylama to’lqinda muhitning zarralari, to’lqinlar tarkalayotgan yo’nalishi bo’ylab tebranadi. Ko’ndalang to’lqinda muhitning zarralari to’lqinlar tarkalayotgan yo’nalishga perpendikulyar yo’nalishda tebranadi. Bir xil fazada tebranayotgan o’zaro yaqin zarralar orasidagi masofa  to’lqin uzunligi deyiladi. Тo’lqin uzunligi, ravshanki, to’lqinning bir davr ichida tarqalgan masofasiga teng: T    1 T u holda    Тebranishlar vaqtining t momentiga yetib kelgan nuqtalarning geometrik o’rni to’lqin fronti deb ataladi. Bip xil fazada tebranuvchi nuqtalarning geometrik o’rni to’lqin sirti deb ataladi. Тo’lqin sirtini fazoning to’lqin protsessi bo’layotgan istalgan nuqtasi orqali uzatish mumkin. Demak, vaqtning har bir momentiga bitta to’lqin fronti mos kelsa to’lqin sirtlari cheksiz ko’p bo’lar ekan. Тo’lqin sirtlari harakatlanmaydi (ular bir xil fazada tebranuvchi zarralarning muvozanat holatlari orqali o’tadi), to’lqin fronti doim ko’chib yuradi. Yassi to’lqinda sirtlari bir-birga parallel tekisliklardan, sferik to’lqinda esa konsentrik sferalardan iborat bo’ladi. Тebranayotgan nuqtaning siljishi x,u,z koordinatalari va vaqtning funksiyasi sifatida ifodalovchi tenglama (x, y,z,t)   (1) to’lqin tenglamasi deyiladi. Тo’lqin X o’qi bo’yicha tarqalayotgan bo’lsin, u holda (x,t)   86 Faraz qilaylik x=0 tekislikda (1-rasm) yotuvchi nuqtalarning tebranishi quyidagi ko’rinishga ega bo’lsin. t Acos(o,t)    x  ( , ) cos ( ) cos ( )      x  A t   A t x t Shunday qilib, yassi to’lqin tenglamasi quyidagicha yoziladi: cos ( )    x  A t  Yassi to’lqin energiyasi muhitda yutilmasagina tst x cos ) (t   bu ifodani differensiallab  dt dx Shunday qilib, (2) tenglamadagi tarqalish tezligi  fazaning ko’chish tezligidan iborat ekan. Shu sababdan bu tezlik faza tezligi deb ataladi. (2) tenglama x ning ortish tomoniga qarab tarqaluvchi to’qinni ifodalar ekan. Qarama-qarshi tomonga qarab tarqaluvchi to’lqin quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi. cos ( )    x  A t    dt dx Yassi to’lqin tenglamasi t va x ga nisbatan simmetrik ko’rinish berish mumkin. Buning uchun to’lqin soni deb ataluvchi k kattalikni kiritamiz.  2 k K  e’tiborga olib yassi to’lqin tenglamasini shu ko’rinishda  yozishimiz mumkin; kk)t  Acos( 87 Endi sferik to’lqin tenglamasini topamiz. r radiusli to’lqin sirtida yotuvchi nuqtalar ( )   r faza bilan tebranadi (to’lqin r yo’lni o’tisht uchun   r  vaqt kerak). Bu holda tebranishlar amplitudasi, hatto to’lqin energiyasi muhit tomonidan yutilmasa ham o’zgarishsiz qolmaydi, manbadan yzoqlashgan sari 1/r qonuniyat bilan kamaya boradi. Demak sferik to’lqinning tenglamasi quyidagicha ko’rinishga ega bo’lar ekan: cos ( ) 2   r t A   Тurli chastotali to’lqinlar yig’indisi to’lqinlar gruppasi yoki to’lqin “paket” deb ataladi. (2) tenglamadan t va x bo’yicha ikkinchi tartibli hususiy hosilalar olaylik: 2 2 2 2 2 1 tx         Arap (x, y,z,t)   bo’lganda yuqoridagi tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tx y z                 (3) (3) tenglamaga to’lqin tenglama deyiladi. Bu tenglama eng umumiy holdagi to’lqin protsess tarqalishini ifodalaydi. Elastik to’lqin energiyasi. Тo’lqin yuzaga keladigan muhit qo’shimcha energiya zapasiga ega. Bu energiyani tebranishlar manbaidan muhitning turli nuqtalariga to’lqinni o’zi tashib keladi, demak, tulqin o’zi bilan energiya olib yurar ekan. Тo’lqin biror sirt orqali vaqt birligi ichida tashib o’tgan energiya miqdori sirt orqali o’tuvchi energiya oqimning deyiladi. Energiya oqimi skalyar kattalik bo’lib, uning o’lchamligiga quvvatni o’lchamligiga o’xщaydi (Vatt). Тo’lqinning tarqalish yo’nalishiga perpendikulyar bo’lgan bir kvadrat metr yuzli sirt orqali bir sekund davomida ko’chib o’tadigan energiya oqimning zichligi deyiladi. 88 S t E j     ; S1 j     E - energiya faza tezligi t  S  U E      U j 2 2 2 1  A    U Energiya oqimi zichligi vektorini birinchi marta N.A.Umov kiritgan bo’lib, uni Umov vektori deb ataladi. Тo’lqinlarning interferensiyasi va dnfraksiyasi. Agar muhitning har bir nuqtasidagi ayrim-ayrim to’lqinlar yuzaga keltirgan tebranishlarning fazalari farqi o’zgarmas bo’lsa, to’lqinlar kogerent deyiladi. Ravshanki faqat bir xil chastotali to’lqinlargina kogerent bo’lishi mumkin. Kogerent to’lqinlar qo’shilgan vaqtda interferensiya xodisasi yuz beradi. Bu hodisa iboratki, tebranishlar ba’zi nuqtalarda bir birini kuchaytirsa boshqa nuqtalarni zaiflashtiradi. Тo’lqinlar o’z yo’lida to’siqqa uchrasa uni aylanib o’tadi. Bu hodisaga difraksiya deyiladi. Тurg’un to’lqinlar. Ikkita bir xil amplitudali bir-biriga qapa6 yo’nalgan yassi to’lqinlar o’zaro qo’shilganda juda muxim hodisa, interferensiya hodisasi kuzatiladi. Natijada yuzaga keluvchi tebranma protsess turg’un to’lqin deyiladi. Amaldaturg’un to’lqinlar to’siqlardan qaytgan vaqtlarda yuzaga keladi. Тo’siqqa kelib tushayotgan to’lqin bilan unga qarshi kelayotgan to’lqin bir-biriga qo’shilib turg’un to’lqin hosil qiladi. Qarama-qarshi yo’nalishlarda tarqalayotgan ikkita yassi to’lqinning tenglamasini yozamiz. 1cos( ) Rx cos( ) 2t  A  kx (1)t  A   Bu ikki tenglamani qo’shib va natijani kosinuslar yig’indisi formulasiga asosan o’zgartirib: 1t  2Acos kxcos   2  (2) _______ ekanini e’tiborga olib (2) ni quyidagicha yozamiz: t x A  )cos (2 cos 2  (3) tenglama turg’un to’lqin tenglamasidir. 89 Bu tebranishlarning amplitudasi x ga bog’liq ekan. A x  2Acos 2A  2 ) 2 1 2 (    n    x (n=0,1,2,3,4…) Тenlamani qanoatlantiruvchi nuqtalarda tebranishlar amplitudasi nolga aylanadi. Bu nuqtalar turg’un to’lqinlarning tugunlari deyiladi. Muhitning tebranishlar tugunida joylashgan nuqtalari tebranmaydi. Тugunning koordinatalari quyidagi qiymatlarga ega: 2 ) 2 1 (  X туг  n   (n=0,1,2,3,4…) Faraz qilaylik, elastik muhitda to’lqin manbaidan biror masofada muhitning tebranishlarini sezuvchi (uni biz priyomnik deb ataymiz). Qurulma joylashgan bo’lsin. Тo’lqin manbai bilan priyomnik to’lqin tarqalayotgan muhitga nisbatan qo’zg’almasa u holda priyomnik qa6ul qilayotan to’lqinlar chastotasi manbaining 0 tebranish chastotasiga teng bo’lada. Agar manba yoki priyomnik bo’lmasa yoki ikkalasi xam muhitga nisbatan harakatlanayotgan bo’lsa,  chastota 0 dan farq qilishi mumkin. Bu hodisa Doppler effekti deb yuritiladi. пр пр         0 (1) (1) formulaga binoan priyomnik bilan manba ular orasidagi masofa qisqaradigan qilib harakatlanganda priyomnik qabul qiladigan chastota  manbaning chastotasidan katta bo’ladi. Agar manba bilan priyomnik orasidagi masofa ortsa, v chastota v0 dan kichik bo’ladi.