To‘liq interallanuvchi tekisliklar maydoni geometriyasi Ta’rif-1: Bizga n o‘lchovli M

Frobenius teoremasi: P tekisliklar maydonining to‘liq integrallanishi uchun, u integrallanuvchi bo‘lishi zarur va yetarli.
Ta’rif-5: D vektor maydonlar oilasi, D ga mos keladigan tekisliklar maydoni to‘liq integrallanuvchi bo‘lsa, unga to‘liq integral deyiladi.
Eslatma: Agar D oilasi bitta vektor maydondan iborat bo‘lsa, u holda u har doim to‘liq integrallanuvchi! Chunki differensial tenglamalar sistemasining yechim mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaga ko‘ra har bir nuqtadan vektor maydonning yagona integral chizig’i o‘tadi. Agar bu oila bir nechta vektor maydonlardan iborat bo‘lsa, u holda u har doim ham to‘liq integrallanmaydi.
O‘zgaruvchan o‘lchamli maydonlarning tekisliklar maydoni uchun Herman tamonidan umumlashtirilgan Frobenius teoremasi cheklanga sonli vektor maydonlardan iborat vektor maydonlar oilasining to‘liq integrallanishi uchun zarur va yetarli shartini beradi [1].
Teorema (Herman): ko‘pxilliklarning M vektor maydonlar oilasi bo‘lsin. Agar D oila involyutiv bo‘lsa, u to‘liq integrallanuvchi hisoblanadi.
vektor maydonlarning oilasi quydagi ko‘rinishidagi xususiyatga ega: Har qanday vektor maydonlar uchun funksiyalar mavjud va u quydagi ko‘rinishida:

berilgan misollardan ko‘rinadiki bu oila cheksiz ko‘p vektor maydonlardan iborat bo‘lgan taqdirda, bu teorema o‘rinli emas [2].
Demak biz yuqoridagi teoremani isbotladik.
Teorema: dekort koordinatalari x,y,z bo‘lgan Yevkilid fazosi bo‘lsin.

Vektor maydonlardan tashkil topgan D oila to‘liq integrallanuvchi tekisliklar maydoni hosil qiladi, uning integral ko‘pxilliklari giperbolik, silindirik, yarim tekislik va chiziq bo‘lsa.
Isbot: X va Y vektor maydonlarning LI qavsi hisoblaganda u bo‘ladi. Demak Herman teoremasi bo‘yicha D oila to‘liq integralga ega. D oilani hosil qilgan tekisliklar maydonilarning qismlari qism ko‘pxillikning har bir nuqtasidan o‘tishini ko‘rsatamiz.
to‘li fazoda aniqlangan funksiyani ko‘rib chiqaylik. Ushbu funksiya quydagi qism differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi: . bunda shu kelib chiqadiki, ushbu funksiyalarning har bir oraliqdagi to‘plami o‘zgarmas to‘plamdir [2].
V to‘plam har qandanday nuqta va vektor maydonlar uchun,

ning barcha uchun D oilalar uchun o‘zgarmas to‘plamdir.
Ma’lumki V to‘plam D oila uchun o‘zgarmas to‘plam bo‘ladi, agar u faqat shu oila orbitalarining birlashmasi bo‘lsa [1].
Tekislikni ko‘rib chiqamiz:

.
Agar va bo‘lsa, u vaqtda N sirt ikki qismdan iborat bo‘lib, ularning har biri D oila uchun o‘rinli bo‘lgan tekisliklar maydoni uchun integral qism ko‘pxillik bo‘ladi. Haqiqatdan ham, bu holatda va barcha lar uchun dan kelib chiqadi.
Agar va c=0 bo‘lsa, u holda sirt D oilaga tegishli ning beshta integral qism ko‘pxilligidan iborat bo‘ladi. shartlar bajarilganda bu nuqta orqali o‘tadigan integral qism ko‘pxillik to‘g’ri chiziq – OZ o‘qi bo‘ladi.
Agar va c=0 bo‘lsa hamda keyin shartlar bajarilsa, nuqtadan o‘tgan integral qism ko‘pxillik bu yarim tekislik bo‘lib va bir tamonda joylashgan




Demak D oilaga tegishli tekisliklar maydoni to‘liq integrallanuvchi hisoblanadi.