To`plam quvvati tushunchasi

---

To`plam quvvati tushunchasi. 

Agar ikkita chekli to`plam ekviva- lent bo`lsa, ularning elementlari 

soni teng bo`ladi. Agar A va B to`plamlar ekvivalent bo`lsa, u 

holda ular bir xil quvvatga ega deyiladi. Shunday qilib, quvvat 

ixtiyoriy ikki ekvivalent to`plamlar uchun umumiylik 

xususiyatidir. Chekli to`plamlar uchun quvvat tushunchasi odatdagi 

to`plam elementlari soni tushunchasi bilan ustma-ust tushadi. 

Natural sonlar to`plami va unga ekviva- lent to`plam quvvati uchun  

ℵ

0

  (alef nol deb o`qiladi) belgi ishlatiladi. [0, 1] kesmadagi barcha 

haqiqiy sonlar to`plamiga ekvivalent  to`plamlar haqida, ular 

kontinuum quvvat ga ega deb gapiradilar. Bu quvvat uchun c yoki ℵ 

simvol ishlatiladi. ℵ

0

 va c orasida quvvat mavjudmi degan savol juda 

chuqur muam- mo hisoblanadi. Analizda uchraydigan cheksiz 

to`plamlarning deyarli barchasi yoki ℵ

0

 , yoki c quvvatga ega. 

 

Sanoqli to`plamlar. Cheksiz to`plamlar ichida eng soddasi sanoqli 

to`plam deb ataluvchilaridir. 

Ta'rif. Agar M to`plam bilan natural sonlar to`plami o`rtasida biyek- 

tiv moslik o`rnatish mumkin bo`lsa, M ga sanoqli to`plam deyiladi. 

Boshqacha ta'ri asak, agar M to`plam elementlarini natural sonlar 

vositasida a1, a2, . . . , an, . . . cheksiz ketma-ketlik ko`rinishida 

nomerlab chiqish mumkin bo`lsa, M ga sanoqli to`plam deyiladi. 

1-xossa. Sanoqli to`plamning ixtiyoriy qism to`plami chekli yoki 

sanoqlidir. 

Isbot. Aytaylik A sanoqli to`plam, B esa uning qism to`plami 

bo`lsin, ya'ni 𝐴 = {𝑎

1

, 𝑎

2

, . . . , 𝑎

𝑛

, . . . } . A ning B ga tegishli 

elementlari 𝑎

𝑛1

 , 𝑎

𝑛2

 , . .. lar bo`lsin. Agar 𝑛

1

, 𝑛

2

, . ..  sonlar 

ichida eng kattasi mavjud bo`lsa, u holda B chekli to`plam 

bo`ladi, aks holda sanoqli to`plam bo`ladi, chunki uning 

elementlari natural sonlar bilan nomerlangan. 

2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to`plamlar birlashmasi yana 

sanoqli to`plamdir. 

 

 

---

3-xossa. Har qanday cheksiz to`plam sanoqli qism to`plamga ega. 

Isbot. Aytaylik, M cheksiz to`plam bo`lsin. Undan ixtiyoriy 

a

1

  elementni  tanlaymiz.  M  cheksiz to`plam bo`lgani uchun 

unda a

1

 dan farqli a

2

 elementni tanlash mumkin, undan keyin 

a

1

 va a

2

 dan farqli a

3

 elementni tanlaymiz, M cheksiz to`plam 

bo`lgani uchun bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin. 

M  cheksiz  to`plam  bo`lganligi  uchun  har  bir  element 

tanlanganidan  keyin  unda  cheksiz  ko`p  element  qoladi. 

Natijada  A = {a

1

, a

2

, . . . , a

n

, . . .} sanoqli qism to`plamga ega 

bo`lamiz.