To’plam tushunchasi. To’plamning elementi

2. To‘plam birlashmasi (yig’indisi) Berilgan va to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deb shu va to‘plamlarning har biridagi barcha elementlardan tuzilgan to‘plamga aytamiz. Birlashma yoki ko‘rinishda belgilanadi.

To‘plamlar birlashmasida har bir element bir martagina olinishi lozim bo‘lgani uchun, to‘plamlardan har ikkalasining umumiy elementlari yig‘indida bir martagina olinadi.

Misollar:

1. 
   , to‘plamlarning birlashmasi: ga teng
   
2. 
   va to‘plamlar uchun ga teng.
   

To‘plamlarning birlashmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning barcha nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamni bildiradi.

Quyidagi chizmalarda shtrixlangan yuza va to‘plamlarning birlashmasini bildiradi.


To’plamlar birlashmasining xossalari:

1°. B⊂A⇒A∪B = A.

2°. A∪B= B∪A (kommutativlik xossasi).

3°. A∪(B∪A) =(A∪B)∪C =A∪B∪ C(assotsiativlik xossasi).

4°. A∪∅ = A.

5°. A∪A = A.

6°. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasi).

Teorema. Agar A, B va C universal U to`plamning qism to`plami bo`lsa, ular ikkita distributivlik qonuniga ega. Then we have two “distributive laws:”

A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C), and A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Isbot:

x ∈ A ∩ (B ∪ C) bo`lsin, bundan x ∈ A va x ∈ B ∪ C ekani kelib chiqadi. Bundan x ∈ A va x ∈ B yoki x ∈ A va x ∈ C, bu esa x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ekanligini bildiradi, shunday ekanligini isbot qiladi: A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C).Aksincha , agar x ∈ (A∩B)∪(A∩C), u holda x ∈ A∩ B yoki x ∈ A∩ C. Bu holda x ∈ A, lekin xuddi shunday x ∈ B ∪ C, x ∈ A∩(B∪C) ekanligini bildiradi, A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) isbotlaydi. Bundan kelib chiqadiki A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Distributivlikning ikkinchi qonunini ham talabalar xuddi shunday isbot qilishlari mumkin.⁶

7°. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (birlashmaning kesishmaga nisbatan distributivlik xossasi).

To‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lganda ham yig‘indi uchun chiqarilgan xulosalar to‘g‘ri bo‘ladi.

Kommutativlik va kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossalarining to’g’riligini ko’rsatamiz

1) (kommutativlik xossasi)

a) b)
8.2 – chizma

8.2- a) b) chizmalardagi shtrixlangan sohalar bir xil bo’lgani uchun kesishmalar teng.

2) (kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasi)

8.3 – chizma 8.4 – chizma

8.3-chizmada tenglikning chap qismi birlashma vertical va garizantal shtrixlangan.

8.4-chizmada va kesishma gorizantal shtrizlangan. esa vertikal shtrixlangan. 8.3 va 8.4 chizmalardagi ikki marta shtrixlangan sohalar bir xil bo’lganligidan tenglikning to’g’riligi ko’rinadi.