Toshkent-2023 reja: kirish

2.1 MULOHAZALAR HISOBINING AKSIOMALAR SISTEMASI.
Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar. Birinchi tartibli nazariya aksiomalari ikki sinfga; mantiqiy va xos aksiom alarga bo‘linadi.
Mantiqiy aksiomalar: A , В va С lar T nazariyaning qanday formulalari bo'lishidan qat’i nazar quyidagi formulalar T ning mantiqiy aksiomalari bo‘ladi:

1)

2) B
3)
4),Bu yerda A ( x ) - berilgan T nazariyaning formulasi, t esa A ( x t ) formulada erkin bo‘lgan T nazariyaning termi. Ta’kidlash kerakki, t term x t bilan mos kelishi ham mumkin, u holda
aksioinaga ega bo’lamiz;
5) agar Xj predm et o ‘zgaruvchi A form ulada erkin b o ‘lmasa, u holda

Xos aksiomalar. Xos aksiom alami umumiy holda tavsiflash mumkin emas, chunki ular bir nazariyadan ikkinchi nazariyaga o‘tishda o ‘zgaradi, ya’ni har bir nazariyaning o ‘zigagina xos aksiomalari bo’ladi.

Birinchi tartibli nazariya xos aksiom alarga ega emas. Bu nazariya sof mantiqiy nazariyadir. Bu nazariya birinchi tartibli predikatlar hisobi deb yuritiladi. Ko’pchilik aksiomatik nazariyalarda tenglik tushunchasidan foydalaniladi. U ikki joyli predikat “x=у” sifatida kiritiladi. Shu sababli aksiomalar qatoriga ikkita xos aksioma kiritiladi:

1 )
2) agar x, y , z har xil predmet o’zgaruvchilar va F ( z ) formula bo 'lsa , u holda



Mulohazalar xisobi uchun aksiomalar sistemasi.
Biz endi mulohazalar xisobining aksiomatik nazariyasini kiritamiz.
(1) ning simvollari sifatida , va butun musbat indeksli propozitsional xarflarni olamiz: .
Bu erda  va lar primitiv bog‘lovchilar deyiladi. Mulohazalar xisobining muhim tushunchasi hisoblangan formula tushunchasini kiritamiz.
(2) (a) Barcha propozitsional harflar formulalardir:
(b) agar va lar formulalar bo‘lsa, u holda lar ham formulalardir.
(3) nazariyaning formulalari qanday bo‘lishidan qat’iy nazar quyidagi formulalar ning aksiomalaridir:

(4) YAgona keltirib chiqarish qoidasi bo‘lib, u ham bo‘lsa, modus ponens qoidasi xizmat qiladi: va formulalarning bevosita natijasi dir. Bu qoidani qisqacha ko‘rinishda belgilaymiz.
Xuddi mulohazalar algebrasigidek qavslarni soddalashtirishga kelishib olaylik.
nazariyaning cheksiz aksiomalari to‘plami faqat yuqoridagi 3 ta aksiomalar qolini orqali beriladi.
Har bir formulaning aksioma bo‘lish yoki bo‘lmasligini osongina tekshirish mumkin va shuning uchun effektiv aksiomalashtirilgan nazariyadir.
Bizning maqsadimiz sistemani shunday qurishdan iboratki, unda uning barcha teoremalari sinfi mulohazalar mantiqini barcha tavtologiyalari sinfi bilan ustma-ust tushish.
Boshqa bog‘lovchilarni quyidagicha aniqlaymiz:
formula   ekanini;
formula ( ekanini;
formula
ekanini bildiradi.
Bu ta’riflarning ma’nosi, masalan da, va formulalar qanday bo‘lganda ham ifoda formulaning qisqartirilgan ifodasi ekanini bildiradi.
Lemma 3.1. ├ , bu erda ixtiyoriy formuladir.
Isbot. nazariyada formulani keltirib chiqarishini quramiz.
aksioma sxemasi)
aksioma sxemasi)
va (2) ga MR qo‘llandi)
aksioma sxemasi)
((3) va (4) ga MR qo‘llandi)
SHunday qilib, biz (1), (2), (3), (4), (5) formulalardan iborat chekli ketma-ketlikni qurdik. Bunda har bir formula yo aksioma, yoki o‘zidan oldingi formulalardan MR qoidasi bo‘yicha hosil qilindi va oxirgi formula teorema ekanini isbotlanishi kerak bo‘lgan formula bilan ustma-ust tushdi.