Toshkent arxitektura qurilish instituti matematika va tabiiy fanlar kafedrasi
Download 437.33 Kb. Pdf ko'rish
|
matritsalar
- Bu sahifa navigatsiya:
- Matritsalarni ko‘paytirish
- 4-ta’rif
|
- skalyar sonlar bo‘lsa, u holda:
.
o
; A B B A
. 2
); ( ) (
B A С B A
. 3
;
O A ; ) ( . 4 O A A o
. 5 o
; ) (
A B A
. 6
; ) ( A A A
. 7 o ; ) ( ) ( ) (
A A
; 1 . 8 A A o
; )
. 9
T T o B A B A
; )
. 10
T o A A
. 11
bo‘lsa, A B C bo‘ladi;
. 12
bo‘lsa, 0 yoki
O A bo‘ladi; . 13 o
A va
0 bo‘lsa, B A bo‘ladi. Isboti. o o 4 1 xossalarning isboti bevosita 2-ta’rifdan kelib chiqadi. o 5 -xossani qaraymiz. A va B bir xil o‘lchamli matritsalar bo‘lsin. U holda 1 va 2-ta’riflarga ko‘ra istalgan
) ( ij ij b a B A
yoki ) (
A ) ( ) ( ) ( ij ij ij ij b a b a
va ikkinchidan B A b a ij ij ) ( ) ( bo‘ladi. Oxirgi ikkita tenglikdan ) (
A B A bo‘lishi kelib chiqadi 4 . Qolgan xossalar shu kabi isbotlanadi. 3
Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp. 92-112 4 E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265
. ij ij ij b a c B A C
ustun matritsa bir xil sondagi elementlarga ega bo‘lsin deylik. Bunda A satrning B ustunga ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi: , ...
... ...
1 1 12 12 11 11 1 12 11 1 12 11 n n n n b a b a b a b b b a a a AB
ya’ni ko‘paytma matritsalarning mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi 5 . Matritsalarni ko‘paytirishning bu qoidasi satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi
deb yuritiladi. Ikki matritsani ko‘paytirish amali moslashtirilgan matritsalar uchun kiritiladi. A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lsa, A va B matritsalar moslashtirilgan deyiladi. 4-ta’rif. p m o‘lchamli ) (
a A
n p o‘lchamli ) (
b B
matritsaga ko‘paytmasi AB deb, ik c elementi A matritsaning i -satrini B matritsaning j -ustuniga satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi bilan, ya’ni n k m i b a b a b a b a c p r rk ir pk ip k i k i ik ,...,
1 , ,..., 1 , 1 2 2 1 1
(qo‘shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) kabi aniqlanadigan n m
o‘lchamli ) ( ik c C matritsaga aytiladi.
5
i
...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
...
1.4-misol . Berilgan matritsalarni ko‘paytiring. 1.
); 10 ( 4 1 3 2 1 3 4 2 2.
; 4 3 8 6 4 1 3 1 4 2 3 2 4 3 1 2
3. ; 50 43 22 19 8 4 6 3 7 4 5 3 8 2 6 1 7 2 5 1 8 7 6 5 4 3 2 1
4. 3 0 1 4 2 3 2 0 4 3 1 2 . 6 0 2 0 6 13 11 4 5 3 2 4 0 0 2 2 0 ) 1 ( 2 3 0 3 4 4 3 0 4 2 3 ) 1 ( 4 3 3 3 1 4 2 0 1 2 2 ) 1 ( 1 3 2 Agar
A matritsaning satrlarini m A A A ,...,
, 2 1 bilan va B matritsaning ustularini n B B B ,...,
, 2 1 bilan belgilansa, u holda matritsalarni ko‘paytirish qoidasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
n m m m n n n m B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B A A A AB C ...
... ...
... ...
... ...
... ...
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 . Matritsalarni ko‘paytirishda 2 A yozuv ikkita bir xil matritsani ko‘paytmasini bildiradi:
2 . Shu kabi
... 3 A A A A . ... marta n n A A A A
1.5-misol. 5 2 ) ( 2 x x x f va
2 0 1 1 A bo‘lsin. ) ( A f ni toping. Yechish. Matritsa ko‘rinishdagi ) ( A f funksiyaga o‘tishda sonli
qo‘shiluvchi I ko‘paytma bilan almashtiriladi, bu yerda I - birlik matritsa.
1 0 0 1 5 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 5 2 ) ( 2 I A A A f
. 5 0 1 6 5 0 0 5 4 0 3 1 4 0 2 2
Umuman olganda matritsalarni ko‘paytirish nokommutativ, ya’ni BA AB . Masalan, n 1 o‘lchamli A matritsaning 1 n o‘lchamli B matritsaga AB ko‘paytmasi sondan, ya’ni 1 1
o‘lchamli matritsadan iborat bo‘lsa, BA ko‘paytmasi n - tartibli kvadrat matritsa bo‘ladi. Bir xil tartibli
bo‘lsa, A va B matritsalarga kommutativ matritsalar ,
AB ayirmaga kommutator deyiladi. 1.6-misol. 3 0 1 2 A va
1 4 5 3 B matritsalarning kommutatorini toping. Yechish. , 3 12 9 10 ) 1 ( 3 5 0 4 3 3 0 ) 1 ( 1 5 2 4 1 3 2 1 4 5 3 3 0 1 2 AB
, 1 8 18 6 3 ) 1 ( 1 4 0 ) 1 ( 2 4 3 5 1 3 0 5 2 3 3 0 1 2 1 4 5 3 BA
. 4 4 9 4 1 8 18 6 3 12 9 10 BA AB
6 . . 1 o
n m o‘lchamli va C B, matritsalar p n o‘lchamli bo‘lsa, AC AB C B A ) ( bo‘ladi; . 2 o
n m o‘lchamli va C B, matritsalar p n o‘lchamli bo‘lsa, AC AB C B A ) ( bo‘ladi; . 3 o
B A , , matritsalar mos ravishda n m , p n , q p o‘lchamli bo‘lsa, C AB BC A ) ( ) ( bo‘ladi; . 4 o (4)
O I B A , , , moslashtirilgan matritsalar va
u holda: 1)
); )( ( ) )( ( AB B A 2) ); ( ) ( ) ( AB B A B A
6
3) ; A IA AI 4) ;
OA AO 5)
. ) ( T T T A B AB
. 5
,
q p, manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lsa, u holda: 1) ;
p q p A A A 2) ; ) ( ) ( pq q p A A
3) ; 1 A A 4) . 0
A
Isboti. Xossalardan ayrimlarini ta’riflar yordamida isbotlaymiz va ayrimlarining to‘g‘riligiga misollarni yechish orqali ishonch hosil qilamiz.
2 -xossani qaraylik. ) (
a A matritsa n m o‘lchamli va ) ( ), ( ij ij c C b B matritsalar p n o‘lchamli bo‘lsin. U holda 2 va 3-ta’riflarga ko‘ra istalgan j i, da birinchidan ) (
ij c b C B yoki
) (
B A n k kj ik n k n k n k kj ik kj ik kj ik kj kj ik c a b a c a b a c b a 1 1 1 1 ) ( ) ( va ikkinchidan BC AC c a b a n k kj ik n k kj ik 1 1
bo‘ladi. Oxirgi ikkita tenglikdan AC AB C B A ) ( bo‘lishi kelib chiqadi 7 . o 6 - xossani qaraylik. ) (
a A va ) (
b B
bo‘lsin. Bundan ) ( ij T a A va ) ( ij T b B bo‘ladi, bu yerda . , ji ij ji ij b b a a U holda 3-ta’rifga ko‘ra istalgan j i, da birinchidan kj n k ik b a AB 1 yoki T AB) (
k ki jk b a 1
va ikkinchidan T T ik n k ik n k jk ki n k ki jk A B a b a b b a 1 1 1 bo‘ladi. Bundan T T T A B AB ) ( bo‘lishi kelib chiqadi 8 .
3 -xossani to‘g‘riligiga misol yechish orqali ishonch hosil qilamiz.
), 2 1 (
4 0 1 3 B ,
2 0 5 1 4 2 C bo‘lsin.
7
E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265
8 E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265
U holda , 8 0 20 1 12 11 2 0 5 1 4 2 4 0 1 3 BC
, 17 12 29 8 0 20 1 12 11 2 1 ) (
A
, 7 3 4 0 1 3 2 1 AB Download 437.33 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|