Toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali

TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI 

QARSHI FILIALI 

 

 

KI fakulteti DI-11-15 guruh talabasi Olimov A tomonidan 

 

 

“Oliy matematika” fanidan tayyorlagan 

 

 

 

 

 

 

 

MAVZU: Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Aniqmas integralning 

asosiy xossalari 

 

 

Rahbar: “TABIIY VA UMUMKASBIY FANLAR” kafedrasi  o‘qituvchisi  

Ro’zimurodov Ixtiyor Nishonovich 

 

 

                                                  Qarshi - 2016 

R E F E R A T 

 

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Aniqmas integralning asosiy 

xossalari 

Reja: 

1. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari 

2. Aniqmas integralning asosiy xossalari 

3. Aniqmas integrallar jadvali 

 

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari 

 Aytaylik, f(x) funksiya biror (a, b) (chekli yoki cheksiz) intervalda aniqlangan 

boisin 

Agar (a, b) intervalda f(x) funksiya (f(x)dx ifoda) shu intervalda 

differensiallanuvchi F (x) funksiyaning hosilasiga (differensialiga) teng boisa, 

ya’ni ushbu 

F'(x)=f(x) (dF(x)=fix)dx), xє(a,b) 

tenglik o ‘rinli bo’lsa , u holda F(x) funksiya (a, b ) intervalda f(x) funksiyaning 

boshlangich funksiyasi deyiladi. 

Masalan, 

 

2

f x

x



 funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi 

 

3

3

x

F x



 bo‘ladi, chunki 

 

 

3

2

3

x

F x

x

f x



 

 

 

 

 

,  shuningdek, 

 

cos

f x

x



  funksiyaning  boshlang‘ich 

funksiyasi 

 

sin

F x

x



 bo‘ladi, chunki 

   

 

sin

cos

F x

x

x f x



 





. (1) munosabatga 

ko‘ra  

 





 

 

0

( )

F x c

F x

F x

f x







 

 



       (2) 

bo‘ladi, bunda 

c

-ixtiyoriy o‘zgarmas son. 

 

Shunday qilib,  

 

F x c



 

funksiyalar ham 

( )

f x

 ning boshlang‘ich funksiyalari bo‘ladi.  

Demak, 

( )

f x

  boshlang‘ich  funksiyaga  ega  bo‘lsa,  u  cheksiz  ko‘p 

boshlang‘ich funksiyalarga ega bo‘lar ekan.  

 

Ayni  paytda, 

( )

f x

  funksiya  ixtiyoriy  ikkita 

( )

F x

  va 

( )

x



  boshlang‘ich 

funksiyalarga ega, ya’ni  

   

   

,

F x

f x

x

f x











 

bo‘lsa,  

    



x

F x c c const









 

bo‘ladi. Haqiqatan ham,  

   

       

0

x F x

x F x

f x

f x





 























 

bo‘lib, Lagranj teoremasining natijasiga ko‘ra  

    



x F x

c c const









  

bo‘ladi va undan  

   

x

F x c







 

bo‘lishi kelib chiqadi.  

Natijada quyidagi xulosaga kelamiz: 

 

Agar 

( )

f x

  funksiya 

 

,

a b

  da  boshlang‘ich  funksiya 

( )

F x

  ga  ega  bo‘lsa,  u 

holda  

 

1) 

( )

f x

 funksiya cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega, 

 

2) barcha boshlang‘ich funksiyalarning umumiy ifodasi  

 





F x c

c const





        (3) 

bo‘ladi, ya’ni ixtiyoriy boshlang‘ich funksiya shu ifodadan (o‘zgarmas 

c

 ga qiymat 

berish natijasida) kelib chiqadi. 

Ta’rif. (3) ifoda 

( )

f x

 funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va  

 

f x dx



  

kabi belgilanadi, bunda 

( )

f x

  integral  ostidagi  funksiya, 

 

f x dx

  integral ostidagi 

ifoda, 





integral belgisi. 

Demak,  

 

  



f x dx F x c c const









 

(4) 

 

1-misol. Ushbu 

5

5x dx



 

integral topilsin.  

 

◄Ta’rifga ko‘ra, bu integral shunday funksiyaki, uning hosilasi 

5

5x

 ga teng. 

Ravshanki,  

 





6

5

6

F x

x c

c const







  

funksiya uchun  

6

5

5

5

5

( ) (

)

6

0 5

6

6

F x

x c

x

x







  

 

 

bo‘ladi. Demak,  

5

6

5

5

6







x dx

х с

.► 

Eslatma.  Agar 

( )

f x

  funksiya 

 

,

a b

  da  uzluksiz  bo‘lsa,  uning  aniqmas 

integrali mavjud bo‘ladi. (Bu tasdiq keyinroq isbotlanadi). 

 

Ko‘pincha funksiyaning aniqmas integrali qaralganda uni qanday oraliqda 

bo‘lishi ko‘rsatilmaydi. Bunda funksiyaning aniqlanish sohasida qaralayapti, deb 

hisoblanadi. 

Aniqmas integralning sodda xossalari 

 

Aniqmas integral ta’rifidan uning quyidagi sodda xossalari kelib chiqadi: 

1) Ushbu 

 

f x dx



 aniqmas integralning hosilasi 

( )

f x

 ga teng bo‘ladi. 

 





 

f x dx

f x

 



. 

2) Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiyaga teng bo‘ladi 

(o‘zgarmas son aniqligida) 

    



dF x

F x c c const









 

Xususan,  





dx x c c const

 





  

bo‘ladi.  

3) O‘zgarmas sonni integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin. 

( )

( )

(

,

0)

kf x dx k f x dx k const k











    

(5) 

4)  Ikki  funksiya  yig‘indisining  integrali  bu  funksiyalar  integrallarining 

yig‘indisiga teng: 

   





 

 

f x g x dx

f x dx

g x dx













 

(6) 

Eslatma. Yuqoridagi (5), (6) tengliklarni o‘ng va chap tomonidagi ifodalar 

orasidagi  ayirma  o‘zgarmas  songa  barobarligi  ma’nosidagi  (o‘zgarmas  son 

aniqligida) tengliklar deb qaraladi.  

Ma’lumki,  berilgan  funksiyaning  hosilasini  topish  uni  differensiallash 

deyiladi.  Berilgan  funksiyaning  aniqmas  integralini  topish  esa  uni  integrallash 

deyiladi.  

Yuqorida  keltirilgan  ma’lumotlardan  funksiyani  differensiallash  va 

integrallash amallari o‘zaro teskari amallar ekanini payqash qiyin emas.  

Ma’lumki, 

 

 

,

f x dx F x c







    ya’ni 

   

F x

f x

 

  

bo‘lsa, unda  

 





   

F x c

F x

f x





 



  

bo‘ladi va aksincha bo‘ladi.  

 

Aniqmas integrallar jadvali 

 

Funksiya  hosilalari  jadvali  hamda  aniqmas  integral  ta’rifidan  foydalanib, 

ba’zi funksiyalar aniqmas integrallarining jadvalini keltiramiz. 

  1) 

1 dx

dx x c

 

 





, chunki 

 

1



 

х с

. 

  2) 





1

1

1

n

n

x

x dx

c

n

n













, chunki 

1

1

n

n

x

c

x

n









 











. 

  3) 

1

ln

dx

x dx

x c

x













, chunki 

        

0

x



 da 

ln

dx

x c

x







 va 

1

(ln

)

x c

x





 

. 

        

0

x



 da 

 

ln

dx

x c

x

  



 va 

 





1

ln x c

x





  

. 

  4) 

ln

x

x

a

a dx

c

a

 





, chunki 

ln

x

x

a

c

a

a







 









. 

  5) 

x

x

e dx e c

  



, chunki 

 

x

x

e c

e



 

. 

  6) 

sin

cos

xdx

x c







, chunki 





cos

sin

x c

x





 

. 

  7) 

cos

sin

xdx

x c







, chunki 





sin

cos

x c

x



 

. 

  8) 

2

sin

dx

ctgx c

x







, chunki 





2

1

sin





 

ctgx с

x

. 

9) 

2

cos

dx

tgx c

x

 



, chunki 





2

1

cos



 

tgx с

x

. 

10)

2

arcsin

1

dx

x c

x









, chunki 





2

1

arcsin

1



 



x с

x

 

11)

2

arccos

1

dx

x c

x









, chunki  

      





2

1

arccos

1





 



x с

x

. 

12)

2

1

dx

arctgx c

x









, chunki 





2

1

1



  

arctgx с

x

. 

13)

2

1









dx

arcсtgx c

x

, chunki 





2

1

1





  

arсctgx с

x

. 

14) 

shxdx chx c

 



, chunki 





chx c

shx



 

. 

15) 

 



сhxdx shx c

, chunki 





shx c

chx



 

. 

Yuqorida  keltirilgan  integrallar  jadvali  hamda  integralning  sodda 

xossalaridan foydalanib, aniqmas integrallarni hisoblashga doir misollar qaraymiz. 

 

2-misol.

2

2

(3

2 7)

3

2

7

x

x

dx

x dx

xdx

dx

 

















 

3

2

2

3

2

3

2

7

3

2

7

7

3

2

x

x

x dx

xdx

dx

x c x x

x c







         







 

3-misol.   

2

3

3

2

5

3

2

5

2

3

5

2

1

4

4

1

1

1

1

(

)

1

1

1

2

4

1

2

1

4

4

x

x

dx

dx

x dx

x dx

x

x

x

x

x

x

x dx

x

x

x

c

c

x













 



 







  







 



















 

 

4-misol. 

3

1

1

5

3

5

2

2

2

(5

3

)

5

3

2

x

x

dx

x dx

x dx

x dx

x























 

3

1

5

1

1

1

1

5

3

8

2

2

1

1

1

10

15

5

3

2

4

1

3

1

3

8

1

1

1

2

5

2

x

x

x

c

x

x

x c





 







 











 

 

5-misol. 

2

2

2

2

2

2

sin

1 cos

1

(

1)

cos

cos

cos

x

x

tg xdx

dx

dx

dx

x

x

x





















 

2

1

.

cos

dx

dx tgx x c

x





  





 

adabiyotlar. 

1.  Данко  II.И,  Попов  А.Г.  Кожевников  Т.Я.  Высшая  математика  в 

упражнениях и задачах: В 2 ч. М. Высш. I I I   К   1966. Ч 1-2. 

2.  Романовский  II.  И  Ряды  Фурье.  Теория  поля.  Аналитеческие  и 

специалные функции. Преобразования Лапласа. М.: Наука, 1973 г. 

3.  Гмурман  В.  Н.  Эҳтимоллар  назарияси  ва  математик  статистика. 

Тoшкент, «Ўқитувчи», 1978 

4.  Н.М.Жабборов,  Е.О.Аликулов,  Қ.С.Ахмедова  Олий  математика.  1-2-

қисм . Қарши 2010 

5.  Гнеденко  В.  Курс  теории  вероятностей  и  математической  статистики. 

М., Высшая школа, 1981. 

6.  Sirojiddinov  S.X.,  Mamatov  M. Ehtimollar  nazariyasi kursi. T.  О‘qituvchi, 

1980. 

7.  Беклимишсв Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 

М. Наука, 1964. 

8.  Берман  Г.Н  Сборник  задач  по  курсу  математического  анализа.  М  . 

Наука, 1965. 

9.  Бугров  Я.С  Никольский  С.М  Элементы  линейнойалгебры  и 

аналитической геометрии. М. Наука, 1988. 

10. Бугров  Я.С  Никольский  С.М  Дифференциалные  уравнения.  Кратные 

интегралы. Ряды. Фурье. М. Наука 1961, 1985. 

11. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987. 

12. Пискунья  Н.С.  Дифференциальное  исчисления  для  втузов.  М.  Наука, 

1985. Т. 1-2. 

13. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.