Toshkent axborot texnologiyalari universiteti samarqand filiali mavzu: shredinger tenglamasi

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI
UNIVERSITETI SAMARQAND FILIALI


MAVZU: SHREDINGER TENGLAMASI
Bajardi: Mavlonov Jafarbek
Qabul qildi: Do’stmurodov G‘
SAMARQAND – 2023


MAVZU: SHREDINGER TENGLAMASI
Zamonaviy fizikadagi eng asosiy tenglamalardan biri bo‘lgan mashhur Shryodinger tenglamalarining yuzaga kelishi haqida fizik olimlar ichida o‘ziga xos folklor shakllangan. Haqiqatan ham, mohiyatiga e'tibor qaratilsa, Shryodinger tenglamalari o‘zaro ziddiyatli g‘oyalarni uyg‘unlashtirayotganga o‘xshaydi. Aslida ushbu tenglamalar orqali odamzot olam tuzilishiga oid eng nozik sirlardan birini bilib olgan. Shryodinger tenglamasi kvant zarralarining dual, ya'ni, ikki xil tabiatini bitta ixcham tenglamada mujassamlashtiruvchi differensial tenglama bo‘lib, u kvant zarralarining korpuskulyar va to‘lqin tabiatini namoyon qiladi. Hikoya qilinishicha, 1926-yilda Avstriyalik nazariyotchi fizik Ervin Shryodinger Syurix shahrida tashkillangan xalqaro ilmiy seminarda mikrodunyodagi obyektlar tabiatiga ko‘ra zarracha emas, balki to‘lqin xossalarini namoyon qilishi haqidagi g‘alati g‘oyalar haqida ma'ruza o‘qiydi. Uning fikrlari aksariyat fiziklar uchun anglash qiyin bo‘lgan uydirma singari yangragan. Masalaning asl mohiyatidan bexabar ba'zi hamkasblari esa Shryodingerni ochiqchasiga kalaka qilishga ham jazm qilishgan. Chunonchi, seminarda hozir bo‘lgan keksa fizik-akademiklardan biri so‘z olib, "Shryodinger, nahotki aytayotganlaringizning barchasi bo‘lmag‘ur safsata ekanini o‘zingiz sezmayapsiz? Yoki bizlarni to‘lqinlarni to‘lqin tenglamalari orqali ifodalanishini bilmaydi deb o‘ylaysizmi?" - deb kesatiq qilgan ekan. Bunday munosabat albatta Shryodingerning nafsoniyatiga tekkan va u o‘z g‘oyalarining haq ekanini isbotlash uchun alamzadalik ustiga yanada kuchli ishtiyoq bilan izlana boshlagan. Uning maqsadi - zarrachalarning kvant mexanikasi doirasidagi to‘lqin tabiatini matematik tenglama vositasida bayon qilib berish edi. Ta'kidlash joizki, olim ushbu vazifani qoyilmaqom qilib uddaladi.
hu o‘rida bir muhim izohni keltirib o‘tish joiz. Siz va biz ko‘nikkan olamda, ya'ni, kundalik hayotda energiya ikki xil usul bilan tashiladi. Birinchisida energiyani materiyaning joydan joyga ko‘chishi orqali tashiladi. Masalan, lokomotiv harakati vositasi butun poyezdni tashiydi; yoki, shamol ham havo oqimini joydan-joyga ko‘chiradi. Energiyaning bunday tashilishida zarralar ishtirok etadi. Ikkinchi xil energiya tashishda - to‘lqinlar vositachilik qiladi. Masalan, kuchli radiouzatkichlar orqali tarqatiladigan radioto‘lqinlarni shunga misol qilib keltirish mumkin. Lo‘ndasini aytganda, siz bilan biz yashayotgan makrodunyoda energiya tashish vositalari qat'iy ikki turga bo‘linadi: korpuskulyar va to‘lqin. (korpuskulyar deganda energiyani zarralar, ya'ni, materiya tomonidan tashilishi nazarda tutiladi.)
Energiyaning to‘lqinlar vositasida tashilishi uchun fizikada tenglamalarning alohida turkumi mavjud. Bunday tenglamalar to‘lqin tenglamalari deyiladi. Tabiatdagi to‘lqinlarning hech bir istisnosiz, barcha-barchasi, okean suvlari to‘lqinlaridan tortib zilzilalarning seysmik to‘lqinlarigacha, hamda olis galaktikalardan kelayotgan radioto‘lqinlar ham aynan to‘lqin tenglamalari orqali ifodalanadi.
Biz bu izohni keltirishimizdan maqsad, subatom olamiga taalluqli fizik hodisalarni, shu jumladan, kvant dunyosidagi to‘lqinlar tabiatini ifodalamoqchi bo‘lsak, ular uchun ham o‘ziga xos to‘lqin tenglamalari zarur bo‘lishini tushuntirishdir.
Shryodinger kvant nazariyasidagi ehtimoliylik to‘lqinlari tushunchasi uchun mumtoz fizikaga oid to‘lqin funksiyasining differensial tenglamasini tadbiq qildi va natijada, o‘z nomini ilm-fan tarixiga oltin harflar bilan muhrlagan mashhur tenglamasini keltirib chiqardi. Xuddi, masalan, suv yuzasidagi mavjlarning tarqalishi uchun to‘lqin funksiyasiga oid oddiy tenglama singari, Shryodinger tenglamasi ham zarralarning fazodagi berilgan nuqtada mavjud bo‘lish ehtimoliylik to‘lqinlarining tarqalishini ifodalaydi. Ushbu to‘lqinlarning yuqori nuqtalari (eng katta ehtimoliylik nuqtalari) zarrachaning fazoning qaysi qismida paydo bo‘lishi ehtimoli ko‘proq ekanini ko‘rsatib beradi. Shryodinger tenglamasi murakkabligi jihatdan oliy matematika sohasiga to‘g‘ri keladi. Uning mohiyatiga kirib borish biroz murakkab bo‘lsa-da, lekin bu tenglamaning mazmunini bilish va tushunish - zamonaviy fizika uchun g‘oyat muhimdir. Tushunish osonroq bo‘lishi uchun, bu o‘rinda men Shryodinger tenglamasining soddalashtirilgan ko‘rinishini keltirib o‘taman. Tenglamaning mazkur sodda ko‘rinishi fizikada "bir o‘lchamli statsionar Shryodinger tenglamasi" deyiladi. Ehtimollikning tarqalishi uchun to‘lqin funksiyasi yunon alifbosidagi Ψ ("psi") harfi bilan belgilanadi va u quyidagi differensial tenglamaning yechimiga teng bo‘ladi:

bu yerda: x - masofa; h - Plank doimiysi; m - massa, E - zarrachaning to‘liq energiyasi, U esa zarrachaning potensial energiyasi.
Shredinger tenglamasi — bu kvant-mexanik tizimning toʻlqin funksiyasini boshqaruvchi chiziqli qisman differentsial tenglama. Uning kashfiyoti kvant mexanikasining rivojlanishida muhim voqea boʻldi. Tenglama Ervin Shredinger sharafiga nomlangan, u 1925-yilda tenglamani asoslab bergan va uni 1926-yilda nashr etgan va 1933-yilda fizika boʻyicha Nobel mukofotiga sazovor boʻlgan ish uchun asos boʻlgan.
Kontseptual jihatdan Shredinger tenglamasi klassik mexanikada Nyutonning ikkinchi qonuniga kvant tomonidan oʻxshashidir. Maʼlum boʻlgan dastlabki shartlar toʻplamini hisobga olgan holda, Nyutonning ikkinchi qonuni maʼlum bir moddiy tizim vaqt oʻtishi bilan qanday harakat qilishi haqida matematik bashorat qiladi. Shredinger tenglamasi toʻlqin funksiyasining vaqt boʻyicha evolyutsiyasini, izolyatsiya qilingan moddiy tizimning kvant-mexanik tavsifini beradi. Tenglama vaqt evolyutsiyasi operatori unitar boʻlishi kerakligi va shuning uchun kvant Gamiltonian boʻlgan oʻz-oʻzidan qoʻshilgan operatorning eksponensi tomonidan yaratilishi kerakligidan kelib chiqishi mumkin.
Shredinger tenglamasi kvant mexanik sistemalarni oʻrganish va avvaldan aytib berishning yagona usuli emas. Kvant mexanikasining boshqa formulalari orasida Verner Heisenberg tomonidan kiritilgan matritsa mexanikasi va asosan Richard Feynman tomonidan ishlab chiqilgan yoʻl integral formulasi mavjud. Pol Dirak matritsa mexanikasi va Shredinger tenglamasini yagona formulaga kiritdi. Ushbu yondashuvlar solishtirilganda, Shredinger tenglamasidan foydalanish baʼzan „toʻlqin mexanikasi“ deb ataladi.
Agar zarracha erkin, unga hech qanday tashqi kuchlar ta`sir etmayotgan bo`lsa, uning potensial energiyasi nol (U=0) bo`lib, to`liq energiyasi uning kinetik energiyasidangina iborat bo`ladi. Masalani soddalashtirish uchun zarracha koordinatning x o`qiga parallel holda harakatlanmoqda deb olamiz. Uni y, z, t koordinatalaridan olingan xususiy hosilalari nol bo`lib, Laplas operatorida bitta had qoladi:
= Agar zarracha erkin, unga hech qanday tashqi kuchlar ta`sir etmayotgan bo`lsa, uning potensial energiyasi nol (U=0) bo`lib, to`liq energiyasi uning kinetik energiyasidangina iborat bo`ladi. Masalani soddalashtirish uchun zarracha koordinatning x o`qiga parallel holda harakatlanmoqda deb olamiz. Uni y, z, t koordinatalaridan olingan xususiy hosilalari nol bo`lib, Laplas operatorida bitta had qoladi:
=
Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko`rinishni oladi:
(6.1)
(6.1) ko`rinishdagi differensial tenglamaning xususiy yechimi yassi to`lqin tenglama ko`rinishda bo`ladi:
(x,t)=Asin(t-кх) (6.2)
Bunga ishonch hosil qilish uchun (6.2) ifodani va ni (6.1) ga qo`yib ko`ramiz.
-к<sup>2</sup> A sin(t - кх) + sin(t - кх) = 0
bundan (6.3)
ekanini topamiz. bo`lgani uchun
(6.4)
kelib chiqadi. Ko`rinib turibdiki, hosil qilingan bu ifoda de-Broyl formulasining o`zginasi. Bu Shredinger tenglamasidan de-Broyl formulasi kelib chiqishini bildirmaydi. Aslida buning teskarisi. Shredinger o`zida de-Broyl to`lqinini mujassamlashtirgan tenglamani izlab topgan.
(6.4) ni boshqacha ko`rinishda ham yozish mumkin
(6.5)
(6.5) dan ko`rinadiki, erkin zarrachaning energiyasi har qanday qiymatni olishi mumkin ekan. Ya`ni , uning energiya spektri uzuluksizdir. Bu to`lqin soni k ni va zarrachaning impulsi P_x ni uzluksiz holda o`zgarishidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, erkin zarracha kvant mexanikasida yassi monoxromatik de-Broyl to`lqini (6.5) bilan ifodalanadi. Bunday zarrachani fazoning har qanday nuqtasida topilish ehtimolligi bir xil bo`lib amplitudaning kvadratiga teng:
<sup>2</sup>= <sup>.</sup> <sup>*</sup>=А<sup>2</sup>
Shredinger tenglamasi erkin zarrachaning energiyasiga hech qanday chegara qo`ymaydi. Ya`ni , uning energiyasi kvantlanmaydi, u har qanday qiymatni olishi mumkin.
Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko`rinishni oladi:
(6.1)
(6.1) ko`rinishdagi differensial tenglamaning xususiy yechimi yassi to`lqin tenglama ko`rinishda bo`ladi:
(x,t)=Asin(t-кх) (6.2)
Bunga ishonch hosil qilish uchun (6.2) ifodani va ni (6.1) ga qo`yib ko`ramiz.
-к2 A sin(t - кх) + sin(t - кх) = 0
bundan (6.3)
ekanini topamiz. bo`lgani uchun
(6.4)
kelib chiqadi. Ko`rinib turibdiki, hosil qilingan bu ifoda de-Broyl formulasining o`zginasi. Bu Shredinger tenglamasidan de-Broyl formulasi kelib chiqishini bildirmaydi. Aslida buning teskarisi. Shredinger o`zida de-Broyl to`lqinini mujassamlashtirgan tenglamani izlab topgan.
(6.4) ni boshqacha ko`rinishda ham yozish mumkin
(6.5)
(6.5) dan ko`rinadiki, erkin zarrachaning energiyasi har qanday qiymatni olishi mumkin ekan. Ya`ni , uning energiya spektri uzuluksizdir. Bu to`lqin soni k ni va zarrachaning impulsi Px ni uzluksiz holda o`zgarishidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, erkin zarracha kvant mexanikasida yassi monoxromatik de-Broyl to`lqini (6.5) bilan ifodalanadi. Bunday zarrachani fazoning har qanday nuqtasida topilish ehtimolligi bir xil bo`lib amplitudaning kvadratiga teng:
2= . *=А2
Shredinger tenglamasi erkin zarrachaning energiyasiga hech qanday chegara qo`ymaydi. Ya`ni , uning energiyasi kvantlanmaydi, u har qanday qiymatni olishi mumkin.
Shredinger tenglamasi — bu kvant-mexanik tizimning toʻlqin funksiyasini boshqaruvchi chiziqli qisman differentsial tenglama. Uning kashfiyoti kvant mexanikasining rivojlanishida muhim voqea boʻldi. Tenglama Ervin Shredinger sharafiga nomlangan, u 1925-yilda tenglamani asoslab bergan va uni 1926-yilda nashr etgan va 1933-yilda fizika boʻyicha Nobel mukofotiga sazovor boʻlgan ish uchun asos boʻlgan.

Kontseptual jihatdan Shredinger tenglamasi klassik mexanikada Nyutonning ikkinchi qonuniga kvant tomonidan oʻxshashidir. Maʼlum boʻlgan dastlabki shartlar toʻplamini hisobga olgan holda, Nyutonning ikkinchi qonuni maʼlum bir moddiy tizim vaqt oʻtishi bilan qanday harakat qilishi haqida matematik bashorat qiladi. Shredinger tenglamasi toʻlqin funksiyasining vaqt boʻyicha evolyutsiyasini, izolyatsiya qilingan moddiy tizimning kvant-mexanik tavsifini beradi. Tenglama vaqt evolyutsiyasi operatori unitar boʻlishi kerakligi va shuning uchun kvant Gamiltonian boʻlgan oʻz-oʻzidan qoʻshilgan operatorning eksponensi tomonidan yaratilishi kerakligidan kelib chiqishi mumkin.

Shredinger tenglamasi kvant mexanik sistemalarni oʻrganish va avvaldan aytib berishning yagona usuli emas. Kvant mexanikasining boshqa formulalari orasida Verner Heisenberg tomonidan kiritilgan matritsa mexanikasi va asosan Richard Feynman tomonidan ishlab chiqilgan yoʻl integral formulasi mavjud. Pol Dirak matritsa mexanikasi va Shredinger tenglamasini yagona formulaga kiritdi. Ushbu yondashuvlar solishtirilganda, Shredinger tenglamasidan foydalanish baʼzan „toʻlqin mexanikasi“ deb ataladi.

Fizika yoki kimyo boʻyicha kirish kurslari, odatda, Shredinger tenglamasini faqat asosiy hisob-kitoblarning tushunchalari va belgilarini, xususan, fazo va vaqtga nisbatan hosilalarni bilish mumkin boʻlgan tarzda kiritadi. Shredinger tenglamasining ushbu shartlardagi bayonotni qabul qiladigan alohida holati bir oʻlchovdagi yagona relyativistik boʻlmagan zarracha uchun joy-fazo Shredinger tenglamasidir: