Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Isbot: Keltirilgan shartlardan tenglik kelib chiqadi.

2-chizma
A hodisa to`rtta juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalarning bittasi bilangina ro`y beradi.

hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmaydi, chunki hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas.

Shuning uchun

Har qanday j uchun (j=1,2,…, n) va A bog`liq bo`lgan hodisalardir. Bu hodisalar uchun ehtimolliklarni ko`paytirish teoremasini qo`llab to`la ehtimollik formulasiga kelamiz:
.
1-masala. O`qituvchi nazoratga 15 ta bilet tayyorlagan. Biletda ikkita savol bo`lib, savollar takrorlanmaydi. Imtixon topshirish uchun o`zining biletidagi ikkita savolga yoki bo`lmasa o`z biletining bitta savoliga va bitta qo`shimcha savolga javob berish etarli. Agar talaba 20 ta savolga javob bilsa, uning imtixon topshirish ehtimolligini toping.
Yechish. Bizda A hodisa quyidagicha: A={talaba imtixonni topshiradi}. Bu hodisa quyidagi H<sub>1</sub> yoki H<sub>2</sub> hodisa bilan bir vaqtda ro`y berishi mumkin:
H₁={talaba biletdagi ikkita savolga javob biladi}.
H₂={talaba biletdagi ikkita savoldan bittasiga javob biladi}.
Bu hodisalar to`la guruxni tashkil qilmaydi, chunki H<sub>3</sub>={talaba biletdagi ikkita savolga javob bilmaydi} hodisasi ham mavjud va shartli ehtimollik nolga teng bo`ladi.
H₁ va H₂ gipotezalar ehtimolliklarni topamiz. Masalaning shartiga ko`ra
.
Endi shartli ehtimolliklarni topamiz. Tushunarliki, H<sub>1</sub> hodisa ro`y bersa talaba imtixonni topshiradi va ehtimolligi 1 ga teng. H₂ hodisa ro`y bergan holda talaba qolgan 28 ta savoldan 19 gasiga javob biladi va u imtixon topshirish uchun qo`shimcha savolga javob bilishi kerak. Shuning uchun bo`ladi.
A hodisaning ehtimolligi to`la ehtimollik formulasidan topamiz:

Endi to`la ehtimollik formulasidan foydalanib, Bayes formulasini keltirib chiqariladi. A va hodisalar paragraf boshidagi shartlarni qanoatlantirsin. Agar A hodisa ro`y bersa, u holda H_m gipotezaning shartli ehtimolligi quyidagi Bayes formulasidan topiladi:

,
bu yerda .
Bu formulani quyidagi shartli ehtimollik tarifidan keltirib chiqarish mumkin:
.
Bog`liq hodisalar uchun ehtimolliklarni ko`paytirish teoremasidan foydalanib oxirgi kasrning suratini quyidagicha yozishimiz mumkin:
.
Bu kasrning maxrajidagi A hodisaning P(A) ehtimolligi to`la ehtimollik formulasiga asosan
ga teng.
ehtimolliklar aprior (sinovdan oldingi) ehtimolliklar, – aposterior (sinovdan keyingi) ehtimolliklar deyiladi.
2-masala. Uchta mergan nishonga bittadi o`q uzadi. Birinchi merganning o`qi nishonga 0,6 ehtimollik bilan, ikkinchi merganning o`qi nishonga 0,8 ehtimollik bilan, uchinchi merganning o`qi esa 0,3 ehtimollik bilan tegadi. Uchala mergan o`q uzgandan so`ng nishonga ikkita o`q tekkanligi malum bo`lsa, birinchi merganning o`qi nishonga tegish ehtimolligini toping.