Toshkent Davlat Transport Universiteti Mustaqil ish Mavzu: Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar. Veyrshtrass alomati. Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari Talaba: Kurbanov S. B

3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari

Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi.

Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {Sn(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {Sn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.

Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi.

Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi.

Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli.

Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz.

Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari:

10. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi.

20. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni

(6) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa (7) gat eng bo`ladi

30. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosilalardan tuzilgan funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksional qator yig`indisi S(x) shu [a,b] segmentda S1(x) hosilaga ega va S1(x)= (8) bo`ladi.

Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar.
Darajali qatorlar.
Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir.
Ta`rif. Quyidagi a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… (1) yoki a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2) ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda aK(K=0,1,2,…) o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.

Teorema (Abel teoramasi).

1) Agar (2) darajali qator noldan farqli biror x0 qiymatda yaqinlashuvchi bo`lsa x ning tengsizlikni qanoatlanturuvchi har qanday qiymatlarida (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.

2) Agar (2) qator x1 qiymatda uzoqlashuvchi bo`lsa, x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida (2) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

Teorema. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinatalar boshida bo`lgan intervaldan iboratdir.

Ta`rif. Darajali qatorning yaqinlashish intervali deb – Rdan R gacha bo`lgan shunday intervalda aytiladiki, bu interval ichida yotgan har qanday x nuqtada qator yaqinlashadi, shu bilan absolyut yaqinlashadi, uning tashqarisidagi x nuqtalarda esa qator uzoqlashadi (2-chizma). R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi.

Ba`zi qatorlarning yaqinlashish intervali nuqtaga aylanishini (R=0), ba`zilarida esa 0x o`qni butunlay o`z ichiga olishini (R= ) aytib o`tamiz.
Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash usulini ko`rsatamiz.
darajali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni qaraymiz: (3)
musbat hadli qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber alomatidan foydalanamiz. Faraz qilamiz limit mavjud bo`lsin. U holda Dalamber alomatiga asosan, agar , ya`ni bo`lsin, (3) qator yaqinlashuvchi va agar , ya`ni bo`lsin, uzoqlashuvchi bo`ladi.

Demak, (2) qator bo`lganda absolyut yaqinlashadi.

Agar bo`lsa, bo`ladi va (3) qator uzoqlashadi.

Yuqoridagiga asosan interval (2) darajali qatorning yaqinlashish intervali ekanligi chiqadi, ya`ni (4)

Yaqinlashish intervalini aniqlash uchun shunga o`xshash Koshining radikal alomatidan foydalanish mumkin, u vaqtda (5)

Misol. darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping.

Yechish. (4) formuladan foydalanamiz, bunda ; . U holda , bunda yaqinlashish intervali -2

X=1 da garmonik qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

Shunday qilib, xє(-3;1) da qarot absolyut yaqinlashuvchi, x=-3 da qator shartli yaqinlashuvchi bo`ladi.
1-ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 son olinganda ham, faqat  ga bog‘liq n0 natural son topilib, ixtiyoriy xD va barcha n>n0 larda |un (x)–f(x)|0 son uchun shunday n0N son mavjud bo‘lib, barcha n > n0 , m > n0 va ixtiyoriy xD nuqtalar uchun |un (x)-um (x)| <  (1) tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
3-teorema. Agar {un (x)} funksional ketma-ketlikning har bir hadi D to‘plamda uzluksiz bo‘lib, bu funksional ketma-ketlik D da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f(x) limit funksiya ham D to‘plamda uzluksiz bo‘ladi.
4-teorema. Agar {un (x)} funksional ketma-ketlikning har bir hadi [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lib, bu funksional ketma-ketlik [a;b] da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
𝑢1 𝑥 𝑑𝑥, 𝑢2 𝑥 𝑑𝑥, 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 … , 𝑢𝑛 𝑥 𝑑𝑥, 𝑏 𝑎 …
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi, uning limiti esa 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ga teng bo‘ladi, ya’ni
lim 𝑛→∞ 𝑢𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . (5)
5-teorema. Faraz qilaylik, [a;b] kesmada yaqinlashuvchi {un (x)} funksional ketma-ketlik berilgan bo‘lib, uning limit funksiyasi f(x) bo‘lsin. Agar {un (x)} funksional ketma-ketlikning har bir hadi [a;b] kesmada uzluksiz hosilaga ega bo‘lib, bu hosilalardan tuzilgan
𝑢1 ′ 𝑥 , 𝑢2 ′ 𝑥 , 𝑢3 ′ 𝑥 , … , 𝑢𝑛 ′ 𝑥 , … (6)
funksional ketma-ketlik [a;b] da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f(x) limit funksiya shu [a;b] kesmada 𝑓 ′ 𝑥 hosilaga ega bo‘lib, {𝑢𝑛 ′ 𝑥 } ketma-ketlikning limiti 𝑓 ′ 𝑥 ga teng bo‘ladi.