Toshkent davlat transport universiteti
Download 0.97 Mb. Pdf ko'rish
|
2 5206203590632277858(1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Foydalanilgan adabiyotlar.
|
3-masala. Ushbu 1 5 ! n n n n n = qatorning yaqinlashish masalasini Dalamber alomati yordamida yeching.
1 1 1 5 ! 5 ( 1)! 5 5 !
; ( 1) ( 1)
n n n n n n n n n n a a n n n + + + + = = = + + . Shuning uchun, Ikkinchi ajoyib limitdan 1 lim 1 n n e n → + = foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz: 1 5
1 5 lim lim 5lim
5lim 1. ( 1) 5 ! ( 1) 1 1 n n n n n n n n n n n n n a n n n l a n n n e n + → → → → = = = = = + + +
Dalamber alomatiga ko‘ra qator usoqlashuvchi. 4-masala. Quyidagi qatorlarni (a) Koshi alomatidan va (b) integral alomatidan foydalanib yaqinlashishga tekshiring. a)
= − + 1 2 1 2 1
n n n n
b) ( ) 1 . ln 2 1 1 n n n + =
Yechish. a)
Bu yerda
2 1 2 1 n n n n a n − = + . Shuning uchun 1 1 1 lim
lim lim 1
1. 2 1 2 2
n n n n n n n e l a n n − → → → = = = + =
+ Koshi alomatiga ko‘ra qator usoqlashuvchi. b) (
1 ln 2
1 n a n n = + va ( ) 1 ( )
ln 2 1
x x = + funksiya integral alomatining barcha shartlarini qanoatlantiradi. U holda ( )
) 1 1 1 ( )
ln 2 1 (2 1) ln 2 1
dx f x dx x x x x + + + = = + + + ( ) ( ) 1 1 ln(2
1) 1 ln(2 1) , 2 ln 2 1
x x x + + + = = + =
+
ya’ni integral uzoqlashuvchi va demak qator ham uzoqlashuvchi. 5-masala. Quyidagi ishoralari o‘zgaruvchi qatorlarni yaqinlashishga tekshiring. Yaqinlashuvchi qatorlar uchun absolyut yoki shartli yaqinlashuvchi ekanligini aniqlang.
a). 1 1 3 1 3 5 1 3 5 ... (2 1) ... ( 1)
... 4 4 7 4 7 10 4 7 10 ... (3 1)
− − + − + + −
+ + . b). 1 ln( 1) ( 1)
n n n n = + − . Yechish. a) Berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlaridan qator tuzamiz:
1 1 3 1 3 5 1 3 5 ... (2 1) ...
... 4 4 7 4 7 10 4 7 10 ... (3 1)
− + + + +
+ +
Hosil bo‘lgan musbat hadli qatorni Dalamber alomati yordamida yaqinlashishga tekshiramiz. Quyidagilarga egamiz: 1 1 3 5 ... (2 1) 1 3 5 ... (2 1) (2 1)
. 4 7 10 ... (3 1) 4 7 10 ... (3 1) (3 4)
n n n n a a n n n + −
− + = =
+
+ +
Shuning uchun, 1 1 2 2 1 2 lim
lim lim
1. 4 3 4 3 3 n n n n n a n n l a n n + → → → + + = = = =
+ +
Dalamber alomatiga ko‘ra qator yaqinlashuvchi. Demak, berilgan qator absolut yaqinlashuvchi.
b). Berilgan qatorni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: 1 ln 3
ln 4 ln 5
ln( 1) ln 2 ... ( 1) ...
2 3 4 n n n − + − + − + + − +
Bu ishoralari almanishuvchi qator yaqinlashuvchi, chunki Leybnits alomatining barcha shartlari bu qator uchun o‘rinli bo‘ladi: 1) ln 3
ln 4 ln 5
ln( 1) ln 2 ... ...
2 3 4 n n + 2)
1 ln(
1) 1 lim lim 0. 1 n n n n n → → + + = =
Berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlaridan qator tuzamiz:
ln 3 ln 4 ln 5
ln( 1) ln 2 ... ...
2 3 4 n n + + + + + + +
Hosil bo‘lgan musbat hadli qatorni integral alomati yordamida yaqinlashishga tekshiramiz: ln(
1) ( )
x f x x + = funksiya integral alomatining barcha shartlarini qanoatlantiradi. U holda ( )
1 1 1 ln( 1) ln( 1) ( )
ln( 1) ln( 1) 1
dx x dx f x dx x d x x x + + + + + + = = + + = + 2 1 ln ( 1) , 2 x + + = =
ya’ni integral alomatiga ko’ra bu qator uzoqlashuvchi va demak berilgan qator shartli yaqinlashuvchi. 6-masala. Ushbu funksional qatorning yaqinlashish sohasini aniqlang. 6 9 3 3 2 1 ...
... 2 4
3 4 4
n x x x x n − + + + +
+
n u orqali qatorning umumiy hadini belgilaymiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:
3 3 1 3 3 3 1 3 | | | | 4 | | | | 1 | | lim lim
lim lim
. 1 | | ( 1)4 | | 4 1 4 4 1
n n n n n n n n n u x n x n x x u n x n n + − + → → → → = = = = + + +
Dalamber alomatiga ko‘ra, agar 3 | |
1 4
bo‘lsa, ya’ni 3 | | 4 x yoki
3 3 4 4 x − bo‘lsa qator yaqinlashuvchi (shu bilan birga absolyut yaqinlashuvchi) bo‘ladi, agar 3 | |
1 4
, ya’ni agar 3 4 x yoki
3 4
bo‘lsa qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 3 4 x = da
1 4 4 1 4 2
... ... 4
3 n n n = + + + + + =
garmonik qatorni hosil qilamiz, shuning uchun qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 3 4 x = − da
4 4 4 4 2 1 ... ( 1) ...
3 5
n − + − + − + + − + ishoralarini almashinuvchi qatorni hosil qilamiz. Leybnis alomatiga ko‘ra, bu qator (shartli) yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan funksional qator 3 3
4 x − da yaqinlashuvchi bo‘ladi 7-masala. Darajali qatorning yaqinlashish radiusini, yaqinlashishi oralag’ini toping, hamda oraliq chekkalarida yaqinlashishga tekshiring. 2 3
1 1 ( 3) ( 3) ( 3) ... ( 3) ... 2 2 3 3
n x x x x n n − +
− + − + + − + Yechish. Bu yerda 1 1 1 , ( 1) 1
n a a n n n n + = = + + . Darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz: ( 1)
1 1 lim lim 1 1 1. n n n n R n n n n → → + + = = + + =
Shunday qilib, agar 1 3 1
x − − , ya’ni 2 4
bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi.
Qator yaqinlashishini oraliqning chekka nuqtalarida tekshiramiz. Agar 4 x = bo‘lsa,
3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 ...
... 2 3 n + + + + + qatorni hosil qilamiz. Bu qator umumlashgan garmonik qator bo‘lib, 3 1 2 p = bo‘lgani uchun yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar 2
3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 ... ( 1) ... 2 3 n n − +
− + + −
+ ishoralari almashinuvchi qatorni hosil qilamiz. Bu qator absolyut yaqinlashuvchi qator bo‘ladi, chunki uning hadlari absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator yaqinlashuvchidir. Shunday qilib, darajali qator 2 4
tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘ladi. 8-masala. ( ) 2 ln 4
3 x x − −
funksiyani x ning darajalari bo’yicha qatorga yoying. Yechish. Berilgan funksiyani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: ( ) ( ) 2 ln 4 3 ln (1 )(4 3 ) ln(1
) ln(4 3 ). x x x x x x − −
= − + = − + +
Endi ( ) 2 3 1 ln 1 ( 1) 2 3 n n x x x x x n − + = − + − + − +
tenglikdan foydalanamiz: ( )
) 2 3 1 ln 1
ln 1 ( ) . 2 3
n n x x x x x x x n n = − = + − = − − − − − − = −
( ) 3 3 ln 4 3 ln 4(1 ) ln 4
ln(1 ) 4 4 x x x + = + = + + =
2 2 3 3 1 1 2 3 1 3 3 3 3 3 3 ln 4 ln(1
) ln 4
( 1) ( 1)
. 4 4 2 4 3 4
4 4
n n n n n n n n x x x x x x n n − − = = + + = + − + − + −
+ − =
Natijada 1 1 1 1 3 1 3 ( ) ( 1) ln 4
( 1) 4 4 ln 4 n n n n n n n n n n n n x x f x x n n n n − = = = + − = − + − = −
yoyilmani hosil qilamiz. 9-masala. Aniq integralni 001
, 0 = aniqlikda hisoblang: 2 0,25
2 0
e dx − .
funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Ushbu 2 3 1 1! 2! 3! !
x x x x x n e = + +
+ + + +
yoyilmada x ni 2 2x − bilan almashtirib, quyidagini hosil qilamiz: 2 4 6 2 2 2 4 8 ( 1) 2 1 2 2! 3! ! .
n n x x x x x n e − − = − + − + + + Bu qatorni [0; 0,25 ] kesmada hadma-had integrallab, quyidagiga ega bo’lamiz: 2 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 2 4 6 2 0 0 0 0 0 0 2 4 8 ( 1) 2 2 2! 3! ! n n n x dx dx x dx x dx x dx x dx n e − − = − + − + + + = 1 4 1 4 1 4
1 4 3 5 7 2 1 1 4 1 1 1 1 1 2 4 8 2 ( 1)
3 2! 5
3! 7 ! (2
1) n n n x x x x x n n + = − + − + + −
+ + = 3 5 7 2 1 1 2 4 8 2 ( 1) 4 4 3
4 2! 5
4 3! 7
! (2 1)
n n x n n + = − + − + + − +
+ = 0,25 0,010416 0,000392 0,02050781 = −
− + = Berilgan aniqlikni ta’minlash uchun ikkita hadni olish yetarli bo’ladi, chunki Lebnis alomatidan keyingi natijaga asosan ishoralari almashinuvchi yaqinlashuvchi qatorlar uchun xatolik | | 0,000392 0,001 n R bo’ladi. Shunday qilib, 2 0,25
0 2 0, 25 0,010416 0,239584. x dx e − = − = Foydalanilgan adabiyotlar. 1. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985. – 416 с. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Демидовича Б.П. – М.: 2004. – 495 с. 3. Л.А. Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике. –М.: Высшая школа, 1983. 4. Ataxanov K. U., Ikromova M. E. Oliy matematikadan topshiriqlar to‘plami. 1-, 2-qismlar. Toshkent, 2008. 5. Karimov A.M., Jukova L.G. Oliy matematikadan hisob-grafik ishlari bo‘yicha topshiriqlar to‘plami. Toshkent, 2009. Download 0.97 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|