Toshkent davlat transport universiteti

 

 

2-§.

 

Funksional qatorlar 

1. Yaqinlashish sohasi. Hadlari 

x ning funksiyasi bo‘lgan 

 

 

( )

( )

( )

1

2

n

x

u

u

x

u

x

+

++

+

   

 

 

 

(1)

 

qatorga  funksional  qator  deb  ataladi.  Funksional  qatorni  yaqinlashuvchi  sonli 

qatorga  aylanturuvchi 

x   argumentning  qiymatlar  to‘plami  funksional  qatorning 

yaqinlashish  sohasi  deb  ataladi.  Agar 

x –  yaqinlashish  sohasiga  tegishli  nuqta 

bo‘lsa, u holda 

 

 

 

 

( )

( )

lim

n

S x

S

x

=

 

funksiya,  bu  yerda 

( )

( )

( )

1

2

( )

n

n

S x

u

u

u

x

x

x

+

++

=

  funksional  qatorning 

yig‘indisi deb, 

( )

( )

( )

 

 

n

n

R

x

S x

S

x

=

−

 esa qatorning qoldig‘i deb ataladi. 

Eng sodda hollarda (1) qatorning yaqinlashish sohasini aniqlash uchun, 

x  ni 

fiksirlangan  deb  hisoblab,  ushbu  qatorga  sonli  qatorlarni  yaqinlashishga 

tekshirishning ma’lum usullarini qo‘llash yetarli bo‘ladi. 

Misol 1. Ushbu 

(

) (

)

(

)

2

3

2

3

1

1

1

1

...

...

2 3

3 3

4 3

(

1) 3

n

n

x

x

x

x

n

−

−

−

−

+

+

+ +

+







+ 

 

qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

Yechish. 

n

u

orqali  qatorning  umumiy  hadini  belgilaymiz  va  quyidagiga  ega 

bo‘lamiz:

 

1

1

1

1

3 (

1)

1

lim

lim

.

3

(

2) 3

1

n

n

n

n

n

n

n

n

u

x

n

x

u

n

x

+

+

+

→

→

−



+

−

=

=

+ 

−

 

Agar

 

1

1

3

x −

   bo‘lsa,  ya’ni  2 

4

x

−     bo‘lsa  Dalamber  alomatiga  ko‘ra,  qator 

yaqinlashuvchi  (shu  bilan  birga  absolyut  yaqinlashuvchi)  bo‘ladi;  agar 

1

1

3

x −

 , 

ya’ni agar 

4

x   yoki 

2

x  −  bo‘lsa qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.  

4

x =  da 

1

1

1

1

...

...

2

3

4

1

n

+ + + +

+

+

 

garmonik qatorni hosil qilamiz, shuning uchun qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.  

2

x = −  da  

1

1

1

1

... ( 1)

...

2

3

4

1

n

n

− + − + + −

+

+

 

ishoralarini almashinuvchi qatorni hosil qilamiz. Leybnis alomatiga ko‘ra, bu qator 

(shartli) yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

Shunday  qilib,  berilgan  funksional  qator 

2 

4

x

−     da  yaqinlashuvchi 

bo‘ladi  

Misol 2. Ushbu  

 

2

3

1

1

1

1

...

...

1

1

1

1

n

x

x

x

x

+

+

+ +

+

+

+

+

+

 

qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

Yechish.  Agar 

1

x 

 

bo‘lsa,  u  holda 

1

lim

lim

1 0.

1

n

n

n

n

u

x

→

→

=

= 

+

  Qator 

yaqinlashishining  zaruriy shartiga ko‘ra qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar 

1

x = −  

bo‘lsa, 

n

u = 

  va  qator  uzoqlashuvchi. 

1

x =   da  ham  uzoqlashuvchi  qator  hosil 

qilamiz: 

1

1

1

.

2

2

2

+ + +

  

Agar 

1

x 

  bo‘lsa,  u  holda  har  qanday 

n   natural  soni  uchun

1

1

1

n

n

x

x



+

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu

 

2

3

1

1

1

1

...

...

n

x

x

x

x

+

+

+ +

+  

qatorning 

hadlari  cheksiz  kamayuvchi  geometrik  progressiyani  tashkil  qilgani  uchun 

yaqinlashuvchi  qator  bo‘ladi.  Bundan,  solishtirish  alomatiga  ko‘ra,  berilgan 

qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

 

Shunday  qilib,  qatorning  yaqinlashish  sohasi 

1

x 

  tengsizlik  bilan 

aniqlanadi. Shuning uchun qator 

(

; 1)

(1;

)

x  − −

+

 da yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

Misol 3. 

 

0

cos

2

nx

n

nx



=



 qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

Yechish. 

 

cos

1

.

2

2

n

nx

nx

nx

u =



 

Agar 

0

x    bo‘lsa,  u  holda  umumiy  hadi 

1

2

nx

  bo‘lgan  qator  yaqinlashuvchi 

bo‘ladi.  Shuning  uchun  bu  holda  solishtirish  alomatiga  ko‘ra,  berilgan  qator 

absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

Agar 

0

x   bo‘lsa, u holda 

1

1

2

nx

  bo‘ladi va  cosnx funksiya esa  n →  da 

nolga intilmaydi, chunki

   

cos

0

nx →   dan  cos 2

1

nx → −   ekanligi  kelib  chiqadi; 

shunday qilib, 

0

x   da qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi.  

Demak, berilgan qator 

(0;

)

x 

+

 da yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

2.  Tekis  yaqinlashuvchi  qatorlar.  (1)  funksional  qator  biror 

X   sohada 

yaqinlashuvchi bo‘lib, bu qator uchun quyidagi shart o‘rinli bo‘lsin: 

Har  qanday 

0



   soni  uchun  x   ga  bog‘liq  bo‘lmagan  shunday  N nomer 

mavjud bo‘lsinki, barcha n

N

 larda 

( )

( )

n

S x

S x



−



 yoki 

( )

n

R x





 

tengsizlik birvaqtda barcha

  x

X

  lar uchun o‘rinli bo‘lsin. 

Uholda (1) funksional qator

X sohada tekis yaqinlashuvchi deb ataladi. 

Теорема 2.1.  (1) funksional qator  X  sohada tekis yaqinlashuvchi bo’lishi 

uchun  

lim sup

( )

0

n

n

x X

R x

→ 

=  

tenglikning bajarilishi zarur va etarli. 

 

Misol  4. 

1

2

1

( 1)

n

n

x

n

−



=

−

+



  qator   Ox   o‘qining  barcha  nuqtalarida  tekis 

yaqinlashuvchiligini ko‘rsating. 

Yechish. 

Bu 

qator 

Leybnis 

alomatining 

barcha 

shartlarini 

qanoatlantirganligi  uchun 

x   ning  har  qanday  qiymatida  yaqinlashuvchi  bo‘ladi. 

Shu bilan birga uning qoldig‘i quyidagi tengsizlik yordamida baholanadi: 

1

( )

( )

n

n

R x

u

x

+



  ya’ni 

2

1

1

( )

.

1

1

n

R x

x

n

n





+ +

+

 

Ushbu  tengsizlikning  o‘ng  tomonidagi  ifoda 

x   ga bog‘liq bo‘lmagan holda 

nolga intiladi. Shuning uchun, teorema 2.1. ga asosan, berilgan qator 

𝑥 ning barcha 

haqiqiy qiymatlarida tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. 

Misol  5.  Ushbu 

1

1

n

n

x



−

=



  qatorni 

(

)

1;1

−

  oraliqda  tekis  yaqinlashuvchilikka 

tekshiring. 

Yechish.  Ko‘rsatilgan  oraliqda  qator  cheksiz  kamayuvchi  geometrik 

progressiya  sifatida  yaqinlashuvchi  bo‘ladi.  Harqanday

( 1;1)

x  −

  da  qatorning 

qoldig‘i  uchun 

1

2

( )

...

1

n

n

n

n

n

x

R x

x

x

x

x

+

+

=

+

+

+ =

−

  tenglik  o‘rinli  bo‘ladi. 

Fiksirlangan ixtiyoriy 

n  uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:  

1 0

1 0

1

lim

( )

,

lim

( )

2

n

n

n

n

R x

R x

→− +

→− −

=

=  , 

Bu ikki tenglik shuni ko‘rsatadiki, bir xil 

n  nomerda 

( )

n

R x





 ( agar

1

2



 bo‘lsa) 

Tengsizlik bir vaqtda barcha 

x  lar uchun o‘rinli bo‘la olmaydi. 

Shunday  qilib,  berilgan  qatorning   ( 1;1)

−

  oraliqdagi  yaqinlashishi  tekis 

yaqinlashish bo‘lmaydi. 

Funksional qator tekis yaqinlashishining Veyrshtrass alomati. Bizga (1) 

funksional qator va  

 

1

2

3

...

...

n

 





+

+

+ +

+

 

(2) 

sonli qator berilgan bo’lsin. Agar 

X  sohaning barcha nuqtalarida  

 

( )

(

1, 2,3,...)

n

n

u x

n





=

 

(3) 

tengsizliklar  bajarilsa  va  (2)  sonli  qator  yaqinlashuvchi  bo’lsa,  u  holda  (1) 

funksional qator 

X  da absolyut va tekis yaqinlashadi. 

(3) tengsizliklar o‘rinli bo‘lganda (1) funksional qatorga (2) qator yordamida 

kuchaytirilgan qator deb ataladi.  

Misol 6.

 

1

1

sin

,

cos

n

n

n

n

a

nx

a

nx





=

=





  qatorlar  ixtiyoriy  oraliqda  tekis 

yaqinlashuvchi  bo‘lishi  uchun 

1

n

n

a



=



  sonli  qatorning  absolyut  yaqinlashuvchi 

bo‘lishi yetarlidir.  

Haqiqatan, 

sin

,

cos

n

n

n

n

a

nx

a

a

nx

a





 

tengsizliklar  o‘rinli  bo‘lganligi  uchun,  agar 

1

n

n

a



=



absolyut  yaqinlashuvchi  qator 

bo‘lsa, u holda Veyrshtrass alomatiga ko‘ra berilgan qatorlar har qanday oraliqda 

tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

3.  Funksional  qatorlarni  differensiallash  va  integrallash.  Endi,  funksional 

qatorlarni differensiallash va integrallashga doir ikkita teoremani keltiramiz. 

1. Agar hadlari uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan 

 

1

2

3

( )

( )

( ) ...

( ) ...

n

u x

u x

u x

u x

+

+

+ +

+

 

qator biror 

X  sohada tekis yaqinlashuvchi bo‘lib,

 

   ( )

S x  uning yig‘indisi bo‘lsa, u 

holda 

1

2

( )

( )

...

( )

...

b

b

b

n

a

a

a

u x dx

u x dx

u x dx

+

+ +

+







 

qator  yaqinlashuvchi  bo‘ladi  va  uning  yig‘indisi 

( )

b

a

S x dx



  ga  teng  bo‘ladi  ([a,b] 

kesma

X sohaga tegishli bo‘ladi).  

2. 

1

2

( ),

( ),...,

( ),...

n

u x u x

u x

funksiyalar  biror  X  sohada  aniqlangan  bo‘lib,  shu 

sohada 

1

2

( ),

( ),...,

( ),...

n

u

x u

x

u

x







 uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin.  

Agar 

1

( )

n

n

u x



=



  qator 

X   sohada  yaqinlashuvchi  bo‘lib,  yig‘indisi 

( )

S x

  ga 

teng bo‘lsa va 

1

( )

n

n

u

x



=





 qator 

X  sohada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning 

yig‘indisi berilgan qator yig‘indisidan olingan hosilaga teng bo‘ladi: 

1

2

( )

( )

( ) ...

( ) ...

n

S x

u

x

u

x

u

x









=

+

+ +

+

 

Misol 7. Ushbu 

 

 

2

 

...

...

4

9

x

x

x

arctg x

arctg

arctg

arctg

n

+

+

+ +

+  

qatorga hadma-had differensiallash haqidagi teoremani qo‘llash mumkinmi? 

Yechish. Berilgan qatorni quyidagi yaqinlashuvchi qator bilan solishtiramiz: 

 

2

...

...

4

9

x

x

x

x

n

+ + + +

+  

(

x –fiksirlangan son). 

Agar 

( )

n

x

u x

arctg

n

=

 

va  

2

n

x

v

n

=

 desak, u holda 

2

2

0

2

( )

lim

lim

lim

1

( )

0

n

n

n

n

x

a

arctg

u x

arctg

n

n

x

v x

n











→

→

→

=

=

=

=

=

→

 

va  solishtirish  alomati  II  ga  asosan  berilgan  qator 

x ning  har  qanday  qiymatida 

yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

Berilgan qator umumiy hadining hosilasini topamiz: 

2

2

2

2

4

4

1

1

( )

1

n

n

u

x

x

n

x

n

n



=



=

+

+

. 

Hosilalardan tuzilgan qator quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 

2

2

4

2

4

1

4

9

...

1

2

3

x

x

x

+

+

+

+

+

+

 

Bu qatorning hadlar quyidagi yaqinlashuvchi 

2

2

2

2

1

1

1

1

1

...

...

2

3

4

n

+

+

+

+ +

+

 

qatorning  mos  hadlaridan  kichik  bo‘ladi.  Shuning  uchun  Veyshtrass  alomatiga 

ko‘ra  hosilalardan  tuzilgan  qator 

(

;

)

− +

  oraliqda  tekis  yaqinlashuvchi  bo‘ladi. 

Demak,  berilgan  qatorga  qatorlarni  deffensiallash  haqidagi  teoremani  qo‘llash 

mumkin bo‘ladi. 

Misol 8. Ushbu  

2

3

3

4

1

sin

sin 2

sin 3

...

sin

...

2

2

2

n

n

x

x

x

nx

+

+

+

+ +

+

 

qatorga 

;

6 4

 













  kesmada  funksional  qatorlarni  hadma-had  integrallash  haqidagi 

teoremani qo‘llash mumkinmi? 

Yechish. Quyidagi 

2

3

3

4

1

1

...

...

2

2

2

n

n +

+

+

+ +

+

 

sonli  qator  yaqinlashuvchi  bo‘ladi  (buni  masalan,  Dalamber  alomati  yordamida 

tekshirish  mumkin).  Shuning  uchun,  berilgan  qator  Veyrshtrass  alomatiga  ko‘ra

(

;

)

− +

  oraliqda  tekis  yaqinlashuvchi  bo‘ladi  (Misol  6  ga  qarang).  Demak,  bu 

qatorga  qatorlarni  integrallash  haqidagi  teoremani  har  qanday chekli 

 

;

a b

 kesma 

uchun, xususan,

;

6 4

 













 kesma uchun qo‘llash mumkin bo‘ladi. 

4. Darajali qatorlar. Darajali qator deb  

2

0

1

2

(

)

(

)

...

(

)

...

n

n

a

a x

a

a x

a

a x

a

+

−

+

−

+ +

−

+

 

 

 

(4) 

ko‘rinishidagi  funksional  qatorga  aytiladi,  bu  yerda 

0

1

,

,

,...,

,...

n

a a a

a

−

 

haqiqiy 

sonlar. 

Darajali  qatorning  asosiy  xossasi:  agar  darajali  qator 

0

x

x

=

  da 

yaqinlashuvchi 

bo‘lsa,  u  holda  bu  qator 

0

x

a

x

a

− 

−

 

tengsizlikni 

qanoatlatiruvchi 

x   ning  barcha  qiymatalarida  yaqinlashuvchi  (shu  bilan  birga 

absolyut yaqinlashuvchi) bo‘ladi (Abel teoremasi). 

Abel  teoremasidan  quyidagi  natija  kelib  chiqadi:  har  qanday  darajali  qator 

uchun  markazi 

x

a

=   nuqtada  bo‘lgan  shunday 

x

a

R

− 

  interval  (yaqinlashish 

intervali)  mavjud  bo‘ladiki,  bu  intervalning  ichida  darajali  qator  absolyut 

yaqinlashuvchi  bo‘ladi.  Yaqinlashish  intervalining  chetki  nuqtalarida  ( x a R

= 

nuqtalarda  )  darajali  qator  yaqinlashuvchi  ham  uzoqlashuvchi  ham  bo‘lishi 

mumkin. 

Yaqinlashish intervali uzunligining yarmiga teng bo‘lgan  R  soniga darajali 

qatorning  yaqinlashish  radiusi  deyiladi.  Xususiy  holda,  qatorning  yaqinlashish 

radiusi 

R  nolga yoki cheksizga teng bo‘lishi mumkin. Agar

0

R =   bo‘lsa,  u  holda 

darajali  qator  faqat 

x

a

=   da  yaqinlashuvchi  bo‘ladi;  agar R =    bo‘lsa,  u  holda 

qator sonlar o‘qining barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo‘ladi.  

Darajali  qator  yaqinlashish  intervali  va  radiusini  topish  uchun  quyidagicha 

usullardan foydalanish mumkin: 

1. 

Agar 

1

2

,

,...,

,...

n

a a

a

  koeffitsientlar  ichida  nolga  teng  bo‘lganlari 

bo‘lmasa (yoki faqat cheklilarigina nol bo‘lsa) u holda 

1

lim

n

n

n

a

R

a

→

+

=

   

 

 

 

 

(5) 

yoki    

 

 

 

1

lim |

|

n

n

n

R

a

→

=

 

 

 

 

 

(6) 

formulalar  o’rinli  bo‘ladi,  agar  yuqoridagi  limitlar  mavjud  bo‘lsa  (chekli  va 

cheksiz). 

2.  Agar 

1

2

,

,...,

,...

n

a a

a

  koeffitsientlardan  tashkil  topgan  cheksiz  to‘plam 

nolga  teng  bo‘lsa  (xususan,  qator 

(

)

x

a

−

  ning  faqat  juft  yoki  toq  darajalaridan 

tashkil  topgan  bo‘lsa),  u  holda  yuqoridagi  formulalardan  foydalanish  mumkin 

emas.  Bu  holda  yaqinlashish  intervalini  topish  uchun  funksional  qatorlarni 

yaqinlashish  sohasini  topganimiz  kabi  bevosita  Dalamber  yoki  Koshi 

formulalaridan foydalanish mumkin. 

Darajali  qator  yaqinlashish  intervalining  ichida  yotuvchi  har  qanday 

kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Darajali qatorni hadma-had differensiallash 

va  integrallashdan  hosil  bo‘lgan  qatorlar  berilgan  darajali  qator  bilan  bir  xil 

yaqinlashish  intervaliga  ega  bo‘ladilar  va  ularning  yig‘indilari  yaqinlashish 

intervali  ichida  dastlabki  qator  yig‘indisining  mos  ravishda  differensiali  va 

integraliga teng bo‘ladi.  

Shunday qilib, agar  

2

0

1

2

( )

(

)

(

)

...

(

)

...

n

n

S x

a

a x

a

a x

a

a x

a

=

+

−

+

−

+ +

−

+

 

bo‘lsa, u holda  

1

0

2

( )

2

(

) ...

(

)

...

n

n

S x

a

a x

a

na x

a

−



=

+

−

+ +

−

+

 

va  

2

3

1

0

1

2

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

...

...

2

3

1

x

n

n

a

x

a

x

a

x

a

S x dx

a x

a

a

a

a

n

+

−

−

−

=

−

+

+

+ +

+

+



 

bu yerda 

R

x a

R

−  − 

.