Toshkent davlat transport universiteti

Misol 9. Ushbu  

2

3

2

3

1

1

1

1

...

...

1 3

2 3

3 3

3

n

n

x

x

x

x

n

+

+

+ +

+









 

darajali qatorni yaqinlashishga tekshiring.  

Yechish. Bu yerda 

1

1

1

1

;

3

(

1) 3

n

n

n

n

a

a

n

n

+

+

=

=



+ 

. 

Qatorning yaqinlashish 

radiusini topamiz: 

1

(

1) 3 3

1

lim

lim

lim3 1

3.

3

n

n

n

n

n

n

n

a

n

R

a

n

n

→

→

→

+

+  





=

=

=

 +

=











 

Bundan 

qator 

3

3

x

−     tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  x   larda 

yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. 

Endi oraliqning chekka nuqtalarida qatorni yaqinlashishga tekshiramiz. Agar 

3

x =   bo‘lsa,  unda 

1

1

1

1

...

...

2

3

n

+ + + + +   garmonik  qatorni  hosil  qilamiz. 

Ma’lumki,  garmonik  qator  uzoqlashuvchi.  Agar 

3

x = −   bo‘lsa,  u  holda  ishoralari 

almashinuvchi 

1

1

1

1

... ( 1)

...

2

3

n

n

− + − + + −

+   qatorni  hosil  qilamiz.  Bu  qator 

Leybnits  alomatining  shartlarini  qanoatlantiradi  va  shartli  yaqinlashuvchi  bo‘ladi 

(§1 misol 19ga qarang).  

Shunday  qilib,  darajali  qatorning  yaqinlashish  sohasi 

3

3

x

−     tengsizlik 

bilan aniqlanadi. 

Misol 10. 

2

3

2

3

1

1 2

1 2 3

!

(

1)

(

1)

(

1)

...

(

1)

...

2

2

2

2

n

n

n

x

x

x

x



 

+ +

+

+

+

+ +

+

+

 

qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish. Bu yerda 

1

1

!

(

1)!

,

2

2

n

n

n

n

n

n

a

a

+

+

+

=

=

 

demak, 

 

1

!

2

! 2

2

2

lim

lim

lim

0.

2

(

1)!

2

! (

1)

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

R

n

n

n

n

+

→

→

→





=



=

=

=

+

  +

+

 

Qator 

1 0

x + =  da, ya’ni 

1

x = −  nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi.  

Misol 11. 

2

3

1

...

...

2!

4!

6!

(2 )!

n

x

x

x

x

n

+

+

+

+ +

+

 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish. 

1

1

1

,

.

(2 )!

(2(

1))!

n

n

a

a

n

n

+

=

=

+

 

(2

2)!

lim

lim (2

1)(2

2)

.

(2 )!

n

n

n

R

n

n

n

→

→

+

=

=

+

+

= 

 

Bundan qator 

x ning har qanday qiymatida yaqinlashishi kelib chiqadi. 

Misol 12. Ushbu  

2

1

1

2

1

n

n

n

n

x

n

+



=









−







 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish.  Bu  yerda 

2

1

2

1

n

n

n

a

n

+





= 



−





bo‘lgani  uchun  darajali  qator 

yaqinlashish radiusini hisoblashning ikkinchi formulasidan foydalanib, topamiz: 

2

1

1

2

2

1

1

1

1

4.

lim |

|

1

lim

2

1

2

1

lim

1

2

n

n

n

n

n

n

n

n

R

a

n

n

n

+

+

→

→

→

=

=

=

=

=

 









 









 

−













−





 

Bundan qatorning yaqinlashish intervali 

4

4

x

−    ekanligi kelib chiqadi.

 

Endi  qator  yaqinlashishini  oraliqning  chekka  nuqtalarida  tekshiramiz.  Agar 

4

x =  bo‘lsa,

 

2

1

2

1

2

2

1

n

n

n

n

n

+



=









−







  sonli  qatorni  hosil  qilamiz.  Bu  qatorning 

umumiy hadi uchun 

 

2

1

2

2

2

1

2

lim

lim

2

lim

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

lim

lim

0

1

2

2

1

2

1

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

n

n

n

e

e

n

n

+

→

→

→

−

→

→









=

=



=









−

−

−









=



=

 = 





−

−









 

o‘rinli bo‘ladi. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaganligi sababli qator 

uzoqlashuvchi bo‘ladi.  

Agar 

4

x = −   bo‘lsa 

2

1

2

1

( 1)

2

2

1

n

n

n

n

n

n

+



=





−





−







  qatorni  hosil  qilamiz.  Bu  qator 

ham zaruriy shart bajarilmaganligi sababli uzoqlashuvchi bo‘ladi.  

Shunday  qilib,  berilgan  qatorning  yaqinlashish  sohasi  yaqinlashish  intervali 

(-4;4) bilan ustma-ust tushadi.  

Misol 13. Ushbu  

3

6

3

2

1

...

...

5

5

5

n

n

x

x

x

+

+

+ +

+

 

qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish.  Qator  maxraji 

3

5

x

q =

  bo‘lgan  geometrik  progressiya  bo‘lganligi 

uchun 

3

1

5

x 

 da yaqinlashuvchi va 

3

1

5

x 

 da uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bundan kelib 

chiqadiki, qatorning yaqinlashish oralig‘

i 

3

3

5

5

x

−

 

 tengsizlik bilan aniqlanadi.  

Misol 14. Ushbu 

4

0

(2

1)9

n

n

n

x

n



=

+



 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish

. 

4

x

t

=  belgilash kiritib

 

2

2

1

...

...

3 9

5 9

(2

1) 9

n

n

t

t

t

n

+

+

+ +

+





+ 

   

 

 

(7)

 

qatorni  hosil  qilamiz.  Bunda 

1

1

1

1

,

(2

1)9

(2

3)9

n

n

n

n

a

a

n

n

+

+

=

=

+

+

.  (

7)  qatorning 

yaqinlashish radiusini topamiz:

 

1

3

2

(2

3)9

2

3

lim

9lim

9lim

9.

1

(2

1)9

2

1

2

n

n

n

n

n

n

n

n

R

n

n

n

+

→

→

→

+

+

+

=

=

=

=

+

+

+

 

0

t    bo‘lganligi  uchun,  qator  0

9

t

    da  yaqinlashuvchi  bo‘ladi.  Agar 

9

t =  

bo‘lsa, u holda  

1

1

1

1

...

3

5

7

+ + + +

 

qatorni  hosil  qilamiz.  Bu  qator  uzoqlashuvchi  bo‘ladi  (uni  garmonik  qator  bilan 

solishtirish  mumkin).  Bundan  (7)  qator  0

9

t

  da  yaqinlashuvchiligi  kelib 

chiqadi.  Shunday  qilib,  berilgan  qator 

4

9

x 

  da,  ya’ni 

3

3

x

−

 

  da 

yaqinlashuvchi bo‘ladi.  

Misol 15. Ushbu  

2

1

1

(

2)

4

n

n

n

x

n

−



=

−





 

qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish

. 

Dalamber alomatidan foydalanamiz: 

2

1

2

1

1

1

(

2)

(

2)

,

.

4

(

1) 4

n

n

n

n

n

n

x

x

u

u

n

n

−

+

+

+

−

−

=

=



+ 

 

U holda 

2

1

2

1

2

1

1

2

2

4

lim

lim

(

1) 4

4

2

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

u

n

u

n

x

+

+

−

+

→

→

−

−



=



=

+ 

−

. 

Demak,

2

2

1

4

x −



, ya’ni  

2

2

4

x −



 da qator yaqinlashuvchi. Bu tengsizlikni 

yechib, qator 

 

0

4

x

 

 

oraliqda yaqinlashuvchi bo‘lishini topamiz.  

Endi qator yaqinlashishini oraliqning chekka nuqtalarida tekshiramiz. Agar

4

x =  bo‘lsa,

 

1

1

1

1

...

...

2

4

6

2n

+ + + +

+  qatorni hosil qilamiz. Ravshanki, bu 

qator uzoqlashuvchi. Agar

0

x =  bo‘lsa, 

1

1

1

1

...

...

2

4

6

2n

− − − − −

−  uzoqlashuvchi 

qatorni hosil qilamiz. 

Shunday qilib, berilgan qatorning yaqinlashish sohasi  (0;4)  oraliqdan iborat 

bo‘ladi.  

Misol 16.Ushbu  

(

1)

1

(

2)

(

1)

n n

n

n

x

n

+



=

−

+



 

qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish.  Koshi  alomatidan  foydalanamiz. 

(

1)

(

2)

(

1)

n n

n

n

x

u

n

+

−

=

+

  bo‘lganligi 

uchun 

1

2

1

n

n

n

x

u

n

+

−

=

+

. 

U holda 

0,

2

1

'

;

lim

,

2

1

'

.

n

n

n

agar x

bo lsa

u

agar x

bo lsa

→



− 

= 



− 



 

Shunday  qilib,  qator 

2

1

x −



  tengsizliklarni  qanoatlantiruvchi 

x   larda, 

ya’ni 1

3

x

   oraliqda yaqinlashuvchi bo‘ladi.  

Misol 17. Ushbu   

!

1

!

n

n

x

n



=



   qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish. Dalamber alomatidan foydalanamiz: 

!

(

1)!

1

,

.

!

(

1)!

n

n

n

n

x

x

u

u

n

n

+

+

=

=

+

 

U holda

 

 

(

1)!

!

1

!

!

,

(

1)!

1

n

n n

n

n

n

x

x

u

n

u

n

n

x

+

+

=



=

+

+

 

1

0,

1

'

;

lim

,

1

'

.

n

n

n

agar

x

bo lsa

u

agar

x

bo lsa

u

+

→





= 







 

Shunday qilib, qator

1

x 

 da, ya’ni 

1

1

x

−    da yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

Misol 18. Ushbu 

2

4

1

2

2

1 3

5

... ( 1)

(2

1)

...

n

n

x

x

n

x

−

−

−

+

− + −

−

+

 

qatorning yig‘indisini toping. 

Yechish.  Cheksiz  kamayuvchi  geometric  progressiya  hadlarining  yig‘indisi 

formulasi 

1

a

S

q





=





−





 dan foydalanib quyidagiga ega bo‘lamiz: 

(

)

3

5

1

2

1

2

... ( 1)

...

,

1 .

1

n

n

x

x

x

x

x

x

x

−

−

−

+

− + −

+ =



+

 

Endi  hosil  bo‘lgan  tenglikni  hadma-had  differensiallasak,  kutilayotgan  natijaga 

kelamiz: 

(

)

2

2

4

1

2

2

2 2

1

1 3

5

... ( 1)

(2

1)

...

,

1 .

(1

)

n

n

x

x

x

n

x

x

x

−

−

−

−

+

− + −

−

+ =



+

 

Misol 19. Ushbu 

(

)

2

3

4

1

1

... ( 1)

...

1

1 2

2 3

3 4

(

1)

n

n

x

x

x

x

x

n n

+

+

−

+

+ + −

+









+

 

qatorning yig‘indisini toping. 

Yechish. 

Berilgan 

qatorni 

ketma-ket 

ikki 

marta 

hadma-had 

differensiallaymiz  va  hosil  bo‘lgan  qatorning  yig‘indisini 

1

a

S

q

=

−

  formula 

yordamida topamiz, bu yerda 

1

a =  va  q

x

= −

: 

2

1

1

1

1

... ( 1)

...

.

1

n

n

x

x

x

x

+

−

− +

− + −

+ =

+

 

Endi  hosil  bo‘lgan  qatorni  ketma-ket  ikki  marta  hadma-had 

0   dan  x   gacha 

integrallab, quyidagilarni topamiz: 

2

3

1

... ( 1)

...

ln(1

);

2

3

n

n

x

x

x

x

x

n

+

−

−

+ + −

+ =

+

 

2

3

4

1

1

0

... ( 1)

...

ln(1

)

.

1 2

2 3

3 4

(

1)

x

n

n

x

x

x

x

t dt

n n

+

+

−

+

+ + −

+ =

+







+



 

Oxirgi  integralni  bo‘laklab  integrallaymiz: 

ln(1

) ,

u

t dt

dv

dt

=

+

=

  desak,

 

1

dt

du

t

=

+

 va 

v

t

=

 bo‘ladi. Demak,  

0

0

0

0

0

ln(1

)

ln(1

)

ln(1

)

1

1

ln(1

)

ln(1

)

(1

)ln(1

)

.

x

x

x

x

x

tdt

dt

t dt t

t

x

x

dt

t

t

x

x

x

x

x

x

x

+

=

+

−

=

+

−

+

=

+

+

=

+

− +

+

= +

+

−









 

Shunday qilib, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz: 

2

3

4

1

1

... ( 1)

... (1

)ln(1

)

.

1 2

2 3

3 4

(

1)

n

n

x

x

x

x

x

x

x

n n

+

+

−

+

− + −

+ = +

+ −







+

 

 

Loyiha-hisob ishlari

 topshiriqlari