Transponirlangan matritsa. Matritsaning rangi 1-misol

TRANSPONIRLANGAN MATRITSA. MATRITSANING RANGI 

1-misol. Berilgan 

















1

3

2

0

A

 transponirlang. 

A  matritsaning  1-chi  va  2-chi  satrlarni  mos  ravishda  1-chi  va  2-chi  ustun  qilib  tasvirlaymiz,  ya’ni 

















1

2

3

0

T

A

 

 

 

 

Har  qanday  A

m×n

  matritsaning  ixtiyoriy  ravishda  tanlangan  k  ta  (k≤min(m,n))  satr  va  ustunlarining 

kesishmasida  joylashgan  elementlaridan    tuzilgan  k-tartibli  determinant  bu  matritsaning  k-tartibli  minori 

deyiladi. 

2-misol. Berilgan matrisaning rangini toping: 



























3

1

5

1

5

3

1

1

6

5

1

2

 

 

~

II

3

III

12

3

9

0

4

1

3

0

6

5

1

2

~

I

III

2

I

II

2

3

1

5

1

5

3

1

1

6

5

1

2



































































.

0

0

0

0

4

1

3

0

6

5

1

2























 

Oxirgi topilgan matritsadan ko’rinadiki u ikkita 0 qatnashgan satrdan iborat, bundan berilgan matritsa rangi 2 

teng.   

 

 

3-misol. Matritsani minorlari yrdamida rangini toping va biror bazis minorrini ko’rsating: 

























2

1

6

2

2

1

0

0

4

3

3

1

A

. 

A  matritsaning  nol  elementlari  mavjud  bo’lmaganligi  uchun 

 

1

rang



A

.  Uning  2-tartibli  biror  0  ga  teng 

bo’lmagan minorini topamiz:  

0

3

1

0

3

3

2







M

. Bundan 

 

2

rang



A

. Tarkibida 

2

M

 mavjud bo’lgan 3-tartibli minorlarini hisoblaymiz,  

 

0

6

2

3

1

1

yoyamiz

yicha

bo'

satr 

-

2

1

6

2

1

0

0

3

3

1

1

3

























M

; 

 































2

1

4

3

6

2

2

2

1

3

yoyamiz

yicha

bo'

ustun 

-

1

2

1

6

2

1

0

4

3

3

2

3

M









0

12

12

4

6

6

2

2

3





















; 

Tarkibida 

2

M

ni saqlovchi barcha 3-tartibli minorlar 0 teng ekan, bunda 

 

3

rang



A

. Yani 

 

2

rang



A

. 

Matritsaning bazis minorilardan biri 

1

0

3

3

2



M

.   

 

 

Mustaqil bajarish uchun misollar 

Quyidagi matritsalarni transponirlang: 

1.1.21. 

















5

2

0

3

A

 

 

1.1.22. 



























1

5

2

3

0

1

A

 

 

 

Agar A matritsa berilgan bo’lsa 

T

AA

 va 

A

A

T

 ni hisoblang: 

1. 



























4

2

0

3

2

1

A

 

Berilgan matritsaning rangini toping 

2. 





















1

4

3

1

1

1

1

0

0

3

2

1

. 

Matritsani minorlari yrdamida rangini toping va biror bazis minorrini ko’rsating 

3. 





















9

8

7

5

4

2

3

2

1

. 

 

TESKARI MATRITSA. MATRITSAVIY TENGLAMALAR 

X noma’lum matritsali matritsali tenglamala deb quyidagi ko’rinishdagi ifodalarga aytiladi 

B

AXC

B

XA

B

AX







va

;

. 

Agar  bu  tenglamalardagi  A  va  C  matritsalar  maxsusmas  matritsalar  bo’lsa,  u  holda  bu  tenglamaning  yechimi 

quyidagicha ifodalanadi: 

1

1

1

1

va

;















BC

A

X

BA

X

B

A

X

. 

1-misol. 























9

3

1

4

2

1

1

1

1

A

 

matritsaga teskari matritsani 

 

toping. 

    1) 

A

det

 ni topamiz: 





0

2

23

25

4

3

1

9

1

1

2

1

1

)

1

3

1

4

1

1

9

2

1

(

9

3

1

4

2

1

1

1

1

















































     

0

det



A

 bo’lgani uchun 

1



A

 mavjud. 

       2) Matritsaning barcha algebraik to’ldiruvchilarini topamiz: 

 

,

6

3

4

9

2

9

3

4

2

9

3

4

2

1

1

1

11



















A

 

 





,

5

4

1

9

1

9

1

4

1

9

1

4

1

1

2

1

12

























A

 

 

,

1

2

3

2

1

3

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

3

1

13























A

 

 



 



,

6

3

9

3

1

9

1

9

3

1

1

9

3

1

1

1

1

2

21































A

 

 

,

8

1

9

1

1

9

1

9

1

1

1

9

1

1

1

1

2

2

22























A

 

 



  

,

2

1

3

1

1

3

1

3

1

1

1

3

1

1

1

1

3

2

23































A

 

 

,

2

2

4

2

1

4

1

4

2

1

1

4

2

1

1

1

1

3

31























A

 

 



 



,

3

1

4

1

1

4

1

4

1

1

1

4

1

1

1

1

2

3

32































A

 

 

.

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

3

3

33























A

 

        3) Matritsani tuzamiz

 























































1

2

1

3

8

5

2

6

6

~

33

23

13

32

22

12

31

21

11

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

T

ij

 

        4) 

1



A  matritsani topamiz 



































































5

,

0

1

5

,

0

5

,

1

4

5

,

2

1

3

3

1

2

1

3

8

5

2

6

6

2

1

~

det

1

1

A

A

A

 

                Endi 

1



A

 ning to`g`riligini tekshiramiz: 

























































5

.

0

1

5

.

0

5

.

1

4

5

.

2

1

3

3

9

3

1

4

2

1

1

1

1

1

AA





 

 









 

 









 

 















































































































































5

.

0

9

5

.

1

3

1

1

1

9

4

3

3

1

5

.

0

9

5

.

2

3

3

1

5

.

0

4

5

.

1

2

1

1

1

4

4

2

3

1

5

.

0

4

5

.

2

2

3

1

5

.

0

1

5

.

1

1

1

1

1

1

4

1

3

1

5

.

0

1

5

.

2

1

3

1





















1

0

0

0

1

0

0

0

1



 

2-misol. Matritsaviy tenglamalarni yeching  





































4

1

3

2

3

2

2

1

X

. 

  Berilgan  matritsali  tenglmani 

B

AX



  ko’rinishda  yozib  olamiz.  Uning  yechimi 

B

A

X

1





  ko’rinishda 

izlanadi (agar 

1



A  mavjud bo’lsa). 

1) A matritsaning determinantini topamiz 

0

1

4

3

3

2

2

1

det

















A

. Teskari matritsa 

1



A

 mavjud ekan. 

2)  Teskari matritsani topamiz 

 













































1

2

2

3

1

2

2

3

1

~

det

1

1

A

A

A

 

3) Matritsani topamiz 























































2

3

1

4

4

1

3

2

1

2

2

3

1

B

A

X

                  

3-misol. Matritsaviy tenglamalarni yeching 



















































4

5

2

3

3

2

2

1

2

1

0

1

X

 

 Berilgan matritsali tenglmani 

B

AXC



 ko’rinishda yozib olamiz. Uning yechimi 

1

1







BC

A

X

 ko’rinishda 

izlanadi (agar 

1



A  va 

1



C

mavjud bo’lsa). 

1) A va C matritsalarning determinantlarini topamiz: 

0

2

2

1

0

1

det







A

 va 

0

1

3

2

2

1

det











C

.  Teskari 

matritsalar 

1



A  va 

1



C

 mavjud ekan. 

2) Teskari matritsalarni topamiz: 







































2

/

1

2

/

1

0

1

1

1

0

2

2

1

~

det

1

1

A

A

A

 











































1

2

2

3

1

2

2

3

1

~

det

1

1

C

C

C

 

3) Matritsani topamiz 













































































































3

5

8

13

1

2

2

3

1

1

2

3

1

2

2

3

4

5

3

5

,

0

5

,

0

0

1

1

1

BC

A

X

 

 

Mustaqil bajarish uchun misollar 

Berilgan matritsaga teskari bo’lgan matritsani toping. 

1. 



























0

1

2

4

2

3

3

2

1

 

Matritsaviy tenglamalarni yeching 

2. 































3

1

0

2

1

0

1

1

X

 

 

 

3. 































3

1

0

2

1

0

1

1

X

 

 

 

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI 

Teskari matritsa usuli.  

Chiziqli tenglamalar sistemaning matritsaviy ko‘rinishda berilgan bo’lsin: AX=B, bunda  



















































































m

n

mn

m

m

n

n

b

b

b

B

x

x

x

X

a

a

а

a

a

а

a

a

а

А



















2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

,

,

 

Agar 

0

det







A

 bo‘lasa, tenglama yechimi quyida formula yordamida topiladi:

B

A

X







1

 yoki  

















































































n

nn

n

n

n

n

n

b

b

b

A

A

A

A

A

A

A

A

A

x

x

x

X



















2

1

2

1

2

22

12

1

21

11

2

1

1













































nn

n

n

n

n

n

n

n

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b







2

2

1

1

2

22

2

12

1

1

21

2

11

1

.

..........

..........

..........

..........

1

. 

Kramer qoidasi.  

 

Bu yerdan sistemaning 





n

k

x

k

,

1



 yechimi uchun ushbu formulalar kelib chiqadi:         

.

,

,

2

,

1

,

1

)

(

1

2

2

1

1

n

k

A

b

A

b

A

b

x

k

k

nk

n

k

k

k





























   

1-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Karmer qoidasi va teskari matritsa usuli yodamida yeching: 

















7

2

1

y

x

y

x

 

 a) Kramer qoisdasi. Matritsaning determinantini topamiz: 

0

3

1

2

1

1

det













A

. 

Sistemaning yechimi mavjud va u yagonadir. Endi quyidagilarni topamiz: 

6

1

7

1

1











x

 va 

9

7

2

1

1









y

. 

Bundan sistemaning yechimini topamiz:

 

3

3

9

;

2

3

6





















y

x

y

x

. Javob: (2; 3)  

      

b) Sistemani teskari  matritsa usulida  yechamiz. 

















1

2

1

1

A

ga teskari bo’lgan 

1



A  ni topamiz. 

0

3

det





A

 

bo’lgani uchun 

1



A  mavjud. Endi algebraik to’ldiruvchilarni topamiz: 

.

1

;

1

;

2

;

1

22

21

12

11











A

A

A

A

 

 



















1

2

1

1

~

T

ij

A

A

 ni tuzamiz va teskari matritsani topamiz: 























1

2

1

1

3

1

~

det

1

1

A

A

A

. 

 

End sistemani yechimini topamiz: 

 

 

 

 













































































































3

2

9

6

3

1

7

1

1

2

7

1

1

1

3

1

7

1

1

2

1

1

3

1

y

x

 

 

2-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Karmer qoidasi va teskari matritsa usuli yodamida yeching: 





























6

8

7

9

6

5

4

6

3

2

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 a) Kramer qoisdasi. Matritsaning determinantini topamiz: 

0

27

0

8

7

6

5

4

3

2

1

det











A

. 

Sistemaning yechimi mavjud va u yagonadir. Endi quyidagilarni topamiz: 

27

0

6

7

6

9

4

3

6

1

,

54

0

8

6

6

5

9

3

2

6



















y

x

 va 

54

6

8

7

9

5

4

6

2

1









z

. 

Bundan sistemaning yechimini topamiz:  

  

2

27

54

;

1

27

27

;

2

27

54



































z

y

x

z

y

x

.  

Javob: 





2

;

1

;

2



  

      

b) Sistemani teskari matritsa usulida yechamiz. 























0

8

7

6

5

4

3

2

1

A

ga teskari bo’lgan matritsani topamiz. 

 

0

27

det





A

 bo’lgani uchun 

1



A  mavjud va u: 





































3

6

3

6

21

42

3

24

48

27

1

1

A

. 

End sistemani yechimini topamiz: 

 

 











































































































































2

3

2

1

2

1

2

7

14

1

8

16

3

1

6

9

6

3

6

3

6

21

42

3

24

48

27

1

z

y

x

 

 

 

 















































































































2

1

2

6

3

6

3

1

2

1

3

2

2

1

2

2

3

7

2

14

2

1

3

8

2

16

3

1

. Javob:





2

;

1

;

2



   

2.2.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Karmer qoidasi va teskari matritsa usuli  

 

yodamida yeching:





























24

9

8

7

15

6

5

4

6

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 

 Matritsaning determinantini topamiz: 



 



0

225

225

48

72

105

96

84

45

9

8

7

6

5

4

3

2

1

det

























A

. 

 

0

det



A

 bo’lgani uchun sistemaning yechimi mavjud emas. 

 

 

 

Mustaqil bajarish uchun misollar 

Chiziqli tenglamalar sistemasini Karmer qoidasi va teskari matritsa usuli yodamida yeching: 

1. 



















5

2

4

y

x

y

x

 

 

 

 

2. 





























21

8

10

3

6

4

6

2

3

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 

BIR JINSLI VA BIR JINSLI BO’LMAGAN CHIZIQLI  TENGLAMALAR SISTEMASI 

n noma’lumli m ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin: 













































0

0

0

3

3

2

2

1

1

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

n

mn

m

m

m

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a



































         (1) 

 

1-misol.  Bir  jinsli  chiziqli  tenglamalar  sistemasining  umumiy  va  fundamental  yechimlar  sistemasini 

toping 















0

3

2

0

2

y

x

y

x

 

  Sistemani kengaytirilgan matritsasini yozib, uni qiyudagicha ko’rinishga keltiramiz 

































0

0

7

0

2

1

~

I

2

II

0

0

3

2

2

1

 

Endi A matritsani qaraymiz: 

































7

0

2

1

~

I

2

II

3

2

2

1

 

Bir jinsli tenglama hamma vaqt birgalikdadir, ya’ni 

 





2

2

|

rang

rang









n

B

A

A

 

 

Bundan ko’rinadiki sistema aniqlangan va yagona yechimga trivial yechimga ega, ya’ni 

0

;

0





y

x

. 

 

 

 

 

























0

0

0

7

0

2

y

x

y

y

x

-umumiy yechim.  

 

 

 

2-misol.  Bir  jinsli  chiziqli  tenglamalar  sistemasining  umumiy  va  fundamental  yechimlar  sistemasini 

toping 



















0

2

0

z

y

x

z

y

x

 

 Sistemani kengaytirilgan matritsasini yozib, uni qiyudagicha ko’rinishga keltiramiz 





















































1

1

0

1

1

1

~

3

:

II

3

3

0

1

1

1

~

I

2

II

1

1

2

1

1

1

 

Bir jinsli tenglama hamma vaqt birgalikdadir, ya’ni 

 





n

B

A

A









3

2

|

rang

rang

 

 

Bundan  ko’rinadiki  asosiy  o’zgaruvchilar  soni  2  ta,  ozod  hadlar  soni 

 

1

2

3

rang









A

n

  ga  teng. 

Ya’ni,  x   va 

y

  lar  asosiy  o’zgaruvchilar, 

z

-esa  ozod  had. 

y

  va 

z

  juftligini  asosiy  o’zgaruvchi  deb 

olaolmaymiz, chunki 

0

1

1

1

1







, 

0

1

1

0

1

1







  bo’lgani uchun  x  va 

y

 lar asosiy o’zgaruvchilar bo’ladi. 

 

Hosil qilingan matritsaga mos sistemani yozib olamiz 





























z

y

x

z

y

z

y

x

0

0

0

  

Ozod  hadni  t  bilan  almashtirsak,  ya’ni 

t

z



  bo’lsa,  u  holda  umumiy  yechim 





 

1

;

1

;

0

;

;

0





t

t

t

;  (0;1;1)  -  -

fundamental yechim.   

 

Mustaqil bajarish uchun misollar 

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy va  fundamental   yechimlar sistemasini toping: 

1. 















0

6

4

0

3

2

y

x

y

x

 

2. 





























0

9

8

7

0

6

5

4

0

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

      3. 





























0

3

3

6

0

2

2

4

0

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x