Trigonometrija 4 Sinusov i kosinusov poučak Primjena trigonometrije u planimetriji i stereometriji Projektna nastava

Mira Mihajlović Petković        

1

Trigonometrija 4

Sinusov i kosinusov poučak

Primjena trigonometrije u planimetriji i stereometriji

Projektna nastava

Geodet iz 1913. godine

Mira Mihajlović Petković        

2

Forum za podršku nastavi na PMF-Matematičkom odjelu

Pitanje:

 Zašto se netko sjetio da pomoću omjera stranica trokuta definira trigonometrijske funkcije? 

Jeli to nekome bilo dosadno ili je opet praksa zahtjevala taj naum? 

Odgovor:

Kako se zovu preostala dva omjera stranica,mislim na 'hipotenuza kroz priležeća' i 'hip. kroz 

nasuprotna' i zašto ta dva omjera/funkcije nisu u uporabi?

U ovom (a i mnogim drugim slucajevima matematike nastale prije 19. i 20. stoljeca) prvo je 

bila praksa, a tek onda teorija, tocnije: nesto je matematicki uvedeno jer je za nesto trebalo. 

Konkretno, trigonometrijske se funkcije pojavljuju u postklasicnom grckom razdoblju 

(2.st.pr.Kr.-5.st.n.e.) i to iz potreba astronomije. Prvi se varijantom na temu sinus bavi 

Hiparh

 (s tim da on u biti nema sinus, nego ono sto bi mi zvali dvostruki sinus polukuta, a 

on je zvao tetivom: racunao je duljinu tetive koja pripada zadanom sredisnjem kutu u 

kruznici danog radijusa, i to za razne kuteve i tako dobio prvu tablicu "sinusa"). Grcki 

matematicari do kraja klasicnog razdoblja racunaju samo s tetivama (npr. Ptolomej) i koriste 

ih za izracunavanje raznih astronomskih podataka. Od poznatih teorema, tu se pojavilo 

koristenje pravila koja mi zovemo adicioni teorem za sinus i teorem o sinusima. 

Polutetive tj. sinusi se iz istih potreba pojavljuju prvi put u Indiji oko 500.n.e. (Aryabhata), a 

Arapi ih oko 10. stoljeca prosiruju (nalaze bolje metode izracunavanja tablica, otkrivaju nova 

svojstva, uvode tangens...) 

U kasnom srednjem vijeku i renesansi se postavlja kompletna trigonometrijska teorija 

(Regiomontanus i neki arapsko-maorski matematicari prije nejga). Od kosinusa se u to doba 

puno cesce koristi 1 minus kosinus (i zove versinus). Imena sinus i kosinus ustaljuju se tek 

u 17. stoljecu. Sve do renesanse trigonometrija se koristi prakticki iskljucivo za 

astronomiju, a ne kao zasebna matematicka teorija. U biti se cak puno vise razradjivala 

sferna od ravninske trigonometrije, a ravninska se u pravilu koristila samo onoliko koliko 

treba za sfernu. 

Eto toliko o povijesti dragog vam sinusa

Mira Mihajlović Petković        

3

Formule :

Pravokutni trokut

sin

a

c





cos

b

c





a

tg

b





b

ctg

a





2

ab

P



Sinusov poučak:

: :

sin : sin : sin

a b c









2

sin

sin

sin

a

b

c

R













Cosinusov poučak:

2

2

2

2

cos

a

b

c

bc









2

2

2

cos

2

b

c

a

bc



 



2

2

2

2

cos

b

a

c

ac









2

2

2

cos

2

a

c

b

ac



 



2

2

2

2

cos

c

a

b

ab









2

2

2

cos

2

a

b

c

ab









Formule za površinu trokuta:

sin

2

ab

P





sin

2

ac

P





sin

2

bc

P





Heronova formula









P

s s a s b s c









Poluopseg  

2

a b c

s

 



Paralelogram

sin

P av ab











2

2

2

2

2

e

f

a

b







Površina četverokuta 

sin

2

ef

P





Mira Mihajlović Petković        

4

Primjena sinusovog poučka

Sinusov poučak možemo primjeniti ako su nam zadani sljedeći elementi 

raznostraničnog trokuta: 



Dvije stranice I kut nasuprot jedne stranice



Dva kuta I jedna stranica

1.

Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta ako je  

a)

cm

,

a

68

3



, 

35 37 ',

36 47 '





 

 

b)

20

,

18

,

48 40 '

a

cm b

cm











c)

1, 2 ,

3, 4 ,

63 50 '

b

m c

m











d)

cm

,

a

68

3



,

55 37 ',

36 47 '





 

 

Rješenje:  Za rješavanje zadatka 1. koristimo skicu

    a)  Kao je zadano  , ,

a

 

 dovoljno je uzeti iz formule sinusovog poučka samo:

       

sin

sin

a

b







. 

      Kako tražimo b izrazimo ga iz formule:  

sin

3,68 sin 36 47

3,78

sin

sin 35 37

a

b

cm





















  

              Kut 



 dobijemo iz 

180

  

  

   =>  

180

(

) 107 36



 





 







Mira Mihajlović Petković        

5

              A stranicu c iz:  

sin

sin

a

c







  =>  

sin

3,68 sin107 36

6,02

sin

sin 35 37

a

c

cm





















             A površinu možemo dobiti po bilo kojoj od tri formule: 

             

sin

2

ab

P





  , 

sin

2

ac

P





ili 

sin

2

bc

P





=>

  

2

6,63

P

cm



               b), c) i d) zadatak se lako riješe po primjeru a)

2. U trokutu je 

''

'

,

cm

R

,

cm

c

28

33

50

12

11











. Odredi površinu. 

3.   Opseg trokuta je 20cm, a dva su kuta 



6

41,  i 



5

69, . Odredi nepoznate stranice i 

kuteve trokuta.

Rješenje:

Zadano je o = 20 cm,  

41,6





 , 

69,5







Možemo izračunati lako treći kut trokuta: 

180

68,9



 



   



Iz sinusovog poučka dobijemo odnose stranica:  : :

sin : sin : sin

a b c









: :

sin 41,6 : sin 69,5 : sin 68,9

0,6639 : 0.9367 : 0,933

a b c







 

  =>

Pa možemo zapisati:  

0,6639

0.9367

0,933

a

k

b

k

c

k







 i uvrstiti u formuli za opseg  o = a + b +c 

O = 0,6639k + 0,9367k + 0,993k = 2,5936 = 20 cm  => k = 7,711

=>  a = 5,12cm,   b = 6,66 cm,   c = 7,06 cm.

4. Razlika duljina dvije stranice trokuta je 6cm, a kutevi nasuprot tim stranicama su 



6

32,  i 



8

75, . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta.

Rješenje: 

Zadano je a – b = 6 cm, 

32,6





  i 

75,8







Izrazimo a = b + 6 i uvrstimo u formulu   

sin

sin

a

b







  =>

6

sin 75,8

sin 32,6

b

b









  => 





6 0,5388

0,9694

b

b

 

 

  =>   0,5388

3, 2328 0,9694

b

b





  =>  

7,51

b

cm



Mira Mihajlović Petković        

6

a = 13,51 cm. 

Treći kut lako nađemo:  

180

71,6



 



   



A stranicu c iz jednakosti: 

sin

sin

a

c







  => 

sin

13, 22

sin

a

c

cm









5. Odredi duljine stranica i kutova trokuta  sa slika:

a)                                      

b)

            

c)

Zadatak ima jednostavno rješenje, kao i 1.

                                                                            

                                                                                       

Kraj poglavlja

Mira Mihajlović Petković        

7

                

Primjena kosinusovog poučka

Cosinusov poučak možemo primjeniti ako su nam zadani sljedeći elementi 

raznostraničnog trokuta: 



Dvije stranice I kut između te dvije stranice



Sve tri stranice

1. Odredi nepoznate elemente trokuta ako je 

a)

20

,

18

,

48 40'

a

cm c

cm











b)

'

,

m

,

c

,

m

,

b

50

63

4

3

2

1











c)

cm

c

,

cm

b

,

cm

a

21

13

20







d)

cm

b

,

cm

a

37

40





, 



 18



Rješenje:

a)

20

,

18

,

48 40 '

a

cm c

cm











Primjenom formule:     

      

2

2

2

2

2

2 cos

20

18

2 20 18 cos 48 40

248, 4841

b

a

c

ac

c







 





 

 





     

15, 76

b

cm



     Kut 



 dobijemo formulom: 

2

2

2

2

2

2

15,76

18

20

cos

0,3038

2

2 15,76 18

b

c

a

bc



 















    

                    =>  

72 18









Kut 



dobijemo iz formule

:  

180

180

72 18 48 40

59 2



 









   

  

 

 

Površinu trokuta možemo izračunati formulom: 

2

20 15,76

sin

sin 59 2

135,136 ¨135,14

2

2

ab

P

cm











 



b)

'

,

m

,

c

,

m

,

b

50

63

4

3

2

1











Rješenja: 

3,7

a

m



, 

18 51





 

, 

97 19





 

, 

2

1,99

P

m



c)

cm

c

,

cm

b

,

cm

a

21

13

20







Mira Mihajlović Petković        

8

Rješenja: 

75 44









, 

36 52





 

, 

67 24









,  

2

120,02

P

cm



d)

cm

b

,

cm

a

37

40





, 



 18



                Rješenja: 

12, 4

c

cm



, 

67 10









,  

94 50





 

,  

2

228,67

P

cm



2. Izračunaj površinu i opseg  trokuta ako je 

'

,

cm

b

,

cm

,

a

15

47

15

4

11











3. Ne rabeći računalo, izračunaj površinu trokuta ako je 

1

3

6

3

1











c

,

b

,

a

Rješenje:

 Primjenom kosinusovog poučka:



 





 



2

2

2

2

2

2

1

3

3 1

6

1 2 3

cos

2

2 1

3

3 1

a

c

b

ac













 







 





3



1 2 3

 

3



6







2

2

2 1

3



 

4

2

1

2



=>  

60







  

( iz tablice)  => 







2

1

3

3 1

3

1

3

2

sin

sin 60

2

2

2

2

ac

P















 





2

2

3

3

2

2

cm





Bilo je idealno za ponoviti korijene.

4. Ako je površina trokuta 

2

14cm

P



, a dva njegova kuta 

'

,

'

48

64

22

58





 odredi duljine 

stranica. 

  

Rješenje: 

Ako je 

58 22





 

 i  

64 48





 

 i znamo formule za površinu trokuta:

sin

.sin 58 22

14

2

2

sin

.sin 64 48 14

2

2

bc

bc

P

ac

ac

P



















 

    =>   

2

.0,8514 14 /

2

0,8514

2

.0,9048 14 /

2

0,9048

bc

ac









   =>  

32,887

32,887

30,946

30,946

bc

c

b

ac

c

a



 



 

  =>  

32,887

30,946

30,946

0,941

32,887

b

a

b

b

a





 



 =>

Izračunamo treći kut: .

180

56 50



 





    

   i iz treće formule za površinu:

Mira Mihajlović Petković        

9

2

2

0,91

sin

14

sin 56 50

14

2

2

14

0,381

14

36,7454

6,1

0,381

ab

b b

P

b

b

b

cm

























 

     =>  

0,91 6,1 5.55

32,877

5, 4

6,1

a

cm

c

cm











5. Odredi površinu trokuta ako je 











23

5

2

5

11



,

cm

,

a

,

cm

,

c

b

.

Rješenje:

Iz  

11,5

11,5

b c

cm

b

c

 

 



Po kosinusovom poučku:

2

2

2

2 cos

a

b

c

bc





 

  =>  









2

2

2

2,5

11,5

2 11,5

cos 23

c

c

c c





 

  



  =>  

2

2

2

2

6, 25 132,25 23

(23

2 ) 0,9205

3,841

44,1715

126 0

c c

c

c

c

c

c







 











2

1,2

44,1715

44,1715

4 3,841 126

44,1715 3,9061

2 3,841

7, 682

c

 















1

1

1

2

2

2

5, 24

11,5

6, 26

6, 26

11,5

5, 24

c

b

c

cm

c

b

c

cm



 

 







 

   

Kako su

  

1

2

c

b



  i  

2

1

c

b



oba rješenja daju isti 

trokut samo druge orjentacije, pa površinu možemo izračunati odmah formulom:

2

1 1

sin

6,408

2

b c

P

cm







6. Odredi duljine stranica i kutova trokuta  sa slika:

                                                                    b)      

       a)

  

           

                        

Mira Mihajlović Petković        

10

7. Odredi stranice a i b ako je 

'

,

cm

v

,

cm

c

c

10

62

5

10











Rješenje:

                                                               

c

v

      Iz pravokutnog tokuta ADC  možemo izračunati  stranicu b:

sin 62 10

c

v

b







=>  

5

5,65

sin 62 10

sin 62 10

c

v

b

cm















A onda primjenom kosinusovog poučka na trokutu ABC dobijemo a:

2

2

2

2

2

2 cos

5,65

10

2 5,65 10 cos 62 10

79,1626

a

b

c

bc

c







 





 

 





 => 

8,9

a

cm



8. Od redi 

c

t ako je  

'

,

cm

b

,

cm

a

26

98

56

82











              

        Rješenje:

            Kosinusovim poučkom iz dobivenih elemenata trokuta ABC možemo dobiti c:

2

2

2

2

2

2

cos

82

56

2 82 56 cos98 26

c

a

b

ab















   



  => 

105,86

c

cm



Mira Mihajlović Petković        

11

A kut



 iz formule:  

2

2

2

2

2

2

56

105,86

82

cos

0,64255

2

2 56 105,86

b

c

a

bc



 











 

=> 

50 1





 

Iz trokuta ACD primjenom cosinusovog poučka i spoznaje da težišnica 

c

t dijeli       

stranicu c na dva jednaka dijela i dobivamo izraz za izračunavanje težišnice iz vrha 

C:

2

2

2

2

2

c

c

t

b

 







 

 

2

c



2

2

105,86

cos

56

2

2

b





















105,86

2



56 cos50 1

5869,56299



 

 

=>  

76,61

c

t

cm



9. Iz točke A vidi se točka C pod kutom od 



15 , a iz točke B, koja je 300m udaljeno 

od točke A,  pod kutom od 



38 . Koliko su udaljene točke A i C, a koliko B i C? 

          Rješenje:

Primjenom sinusovog poučka  na trokut ABC dobijemo:

sin15

sin 38

sin

y

x

c











a  iz spoznaje da je 





180

180

15

38

127

  



  

  

 

   



pa lako dobijemo x i y.

Kraj poglavlja!

Mira Mihajlović Petković        

12

Primjena na planimetriju i stereometriju

1. Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta ako je 

cm

a 10



, a duljine težišnica 

9

a

t

cm



 i 

6

c

t

cm



   Rješenje:

Trebali bi znati da težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1 od vrha prema polovištu 

suprotne stranice. Iz toga možemo zaključiti da:

2

2

3

3

c

CT

t





1

6



2

4

      

1

1

3

3

a

DT

t





1

9



3

3

      

1

1

2

2

CD

a





1

10



5

5



Pogledajmo trokut ADT i vidimo da su nam poznate sve tri stranice pa pomoću 

kosinusovog poučka možemo naći kut 



:

2

2

2

2

2

2

5

3

4

cos

0,6

2

2 5 3

CD

DT

CT

CD DT







 











 

  =>  

58 7





 

Sada pogledajmo trokut DCA i iz njegovih poznatih elemenata možemo izračunati 

stranicu b:  

2

2

2

2

2

a

a

b

t

 



 

 

 

2

a



2

2

cos

5

9

10 9 cos58 7

58, 4627

a

t





 





  

 

  =>

b = 7,64 cm

Mira Mihajlović Petković        

13

Iz istog trokuta možemo izračunati i kut 



: 

2

2

2

2

cos

2

a

a

b

t



   

 

 



2

a



2

2

2

5

7,64

9

0,031

10 7, 64

b













   => 

88 13





 

I konačno iz trokuta ABC možemo izračunati treću stranicu:

2

2

2

2

2

2

cos

10

7, 64

2 10 7, 64 cos88 13 153,6144

c

a

b

ab















  







  => c = 12,39 cm

            Kutove 



 ili 



 možemo dobiti formulom:                 

2

2

2

2

2

2

7,64

12,39

10

cos

0,5909

2

2 7,64 12,39

b

c

a

b c



 











 





 => 

53 46





 

            A preostali kut je najlakše izračunati formulom: 

180

38 1



 





    

2. Izračunaj duljinu stranice a trokuta ako je 

cm

t,

cm

,

c

,

cm

,

b

a

11

2

17

4

12







.

3.   Dvije stranice paralelograma su jednake 

cm

,5

11

i

cm

,8

16

, a jedan unutarnji kut   

iznosi

'

16

135



. Odredi duljine dijagonala paralelograma.

4.  Duljine stranica paralelograma jednake su 15cm i 20cm,  a duljina jedne njegove 

dijagonale je 32cm. Odredi unutarnje kutove te duljinu druge dijagonale.

5.  Duljina stranice romba je 13 cm, a kraća dijagonala  15 cm. Odredi dulju 

dijagonalu, unutrašnje kutove romba i površinu.

6.   Površina paralelograma iznosi 50 cm

2

, a  njegove stranice 10 cm i  6 cm. Odredi 

kut između dijagonala i unutrašnje kutove paralelograma.

7.  Dijagonale deltoida (zmaja)  razlikuju se za 4 dm, a jedna stranica je duga  7 dm. 

Izračunaj površinu deltoida, te njegove unutrašnje kutove.   

5. Odredi kutove i dijagonale trapeza ako su osnovice 6 cm i 4 cm, a krakovi 3 cm i 4 

cm.

Mira Mihajlović Petković        

14

              

6. Duljine osnovica trapeza jednake su 12.5 cm i 4 cm, a dva šiljasta kuta 



72  i 



58 . 

Izračunaj površinu trapeza.

7. Površina trokuta je 

2

80cm , jedna stranica 16cm i  kut na njoj 



30 . Odredi stranice i 

polumjer opisane kružnice.

8. Osnovice  trapeza  su  10cm  i  6cm.  Dijagonala  duljine  8cm  zatvara  s  manjom 

osnovicom kut od 



30 . Odredi drugu dijagonalu.

9. Kvadratna prizma koja u bazi ima kvadrat stranice a = 5 cm nagnuta je na jednu 

stranu za kut od 

30



  , a bočni brid joj je b = 7 cm. Koliki su volumen i oplošje te 

prizme.

10.Baza uspravne trostrane prizme je raznostraničan trokut bridova od 4, 5 i 6 cm, a 

visine 8 cm. Odredi oplošje i volumen te prizme.

Kraj poglavlja

Mira Mihajlović Petković        

15

Primjena trigonometrije

1. Odredi udaljenost točaka A i C koje rastavlja rijeka ako znamo udaljenost točaka na 

istoj strani rijeka 

m

AB

300



. Kutovi pod kojim se vide dužine BC i AC su 

'

,

'

40

103

18

52





              

2. Udaljenost točaka P i Q na suprotnim stranama rijeke nije se mogla izmjeriti direktno 

zbog otoka na sredini. Točkom Q na obali prolazi dužina AB. Nađi udaljenost PQ 

ako su izmjereni elementi 

'

,

'

,

m

,

AB

45

57

34

42

3

74















.

                  

             

                          

Mira Mihajlović Petković        

16

3. Iz točke A na moru vidi se vrh svjetionika pod kutom

'

19

11







, a iz točke B koja je 

za d = 52,7m bliže, vidi se vrh pod kutom

'

48

30







, a podnožje pod kutom

'

45

9







. Kolika je visina svjetionika?  

4. Ne vrhu nebodera nalazi se reklama. Iz točke udaljene 150m od nebodera podnožje 

reklame vidi se pod kutom



42 , a njen vrh pod kutom



45 . Kolika je visina reklame? 

          

Mira Mihajlović Petković        

17

5. Na putu iz grada A u grad B zrakoplov je skrenuo s kursa 

'

38

12



. Nakon 78 km leta 

pilot je ispravio kurs i letio još 120km do mjesta B. Ako zrakoplov leti stalnom 

brzinom 420km na sat, izračunajte koliko je vremena zrakoplov dulje letio zbog 

skretanja?

                  

6. Brod plovi prema luci i od nje je udaljen 12km. Nakon što su prešli 5 km kapetan 

shvati da je skrenuo s kursa za 



21 . Koliko su tada bili udaljeni od luke?

                                

                                             

Mira Mihajlović Petković        

18

7. Dva broda isplovila su pod kutom od 



37 . Dok je jedan brod prešao 32km, drugi je 

prešao 25km. Koliko su tada bili udaljeni jedan od drugoga? 

                                                                                                                 

8. Iz krajnjih točaka dužine 100m vidi se vrh brda pod kutovima 71 33'



 i  63 26 '



. Odredi 

visinu brda.

          

                                         

                                            

                                                

                                                

63 26'



            

71 33'



          

                                       

                                                                     

Mira Mihajlović Petković        

19

9. Sa prozora visokog 20m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 



12 , a sa zemlje 

(točno ispod prozora) pod kutom od 



58 . Koliko je visoka zgrada?

                                                                                            

Rješenje:  Zgrada je visoka h = x + y

Iz trokuta BDA je   12

12

x

x

tg

DB

DB

tg

 







Iz trokuta CEA je   58

58

x y

x y

tg

CE

CE

tg





 







A kako je 

12

58

x

x y

DB

CE

tg

tg













  i 

20

y



  =>  

20

12

58

x

x

tg

tg









=>  





58

20

12

x tg

x

tg



 







Riješimo jednadžbu po x:

58

12

20

12

58

12

20

12

x tg

x tg

tg

x tg

x tg

tg



  

 







  

 





    

 Izračunamo tangense kutova i uvrstimo i dobijemo:                      

1,3875

4, 2511/ :1,3875

3,06 3

x

x

m







 =>  Zgrada je visoka h=23 metra.

      U prilogu su dva projekta učenika

Opće gimnazije s pravom javnost

i  iz Rijeke

Mira Mihajlović Petković        

20

           

Mira Mihajlović Petković        

21