Тригонометрия элементлари

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС ВА КОТАНГЕНСНИНГ ИШОРАЛАРИ

Айтайлик, (1;0) нуқта бирлик айлана бўйлаб соат милли ҳаракатига қарама-қарши ҳаракат қилмоқда. Бу ҳолда I чоракда жойлашган нуқталарнинг ординаталари ва асциссалари мусбат. Шунинг учун, агар бўлса, бўлади.

II чоракда жойлашган нуқталар учун ординаталар мусбат, асциссалар эса манфий. Шунинг учун, агар бўлса, бўлади. Шунга ўхшаш, III чоракда , IV чоракда эса .

Агар (1;0) нуқта соат милли йўналишида ҳаракат қилса, у ҳолда ҳам синус ва косинуснинг ишоралари нуқта қайси чоракда жойлашганига қараб аниқланади.
Бизга маълумки, таърифга кўра . Шунинг учун, ва бир хил ишораларга эга бўлса, , ва қарама-қарши ишораларга эга бўлса, бўлади.
нинг ишоралари нинг ишоралари билан бир хил.



АЙНИ БИР БУРЧАКНИНГ СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС ВА КОТАНГЕНС ОРАСИДАГИ МУНОСАБАТ

Синус билан косинус орасидаги муносабатни аниқлаймиз.

Айтайлик, бирлик айлананинг М(х;у) нуқтаси (1;0) нуқтани бурчакка буриш натижасида ҳосил қилинган бўлсин. У ҳолда сину ва косинус таърифига кўра бўлади.
М нуқта бирлик айланага тегишли, шунинг учун унинг (х;у) координаталари тенгламани қаноатлантиради.
. (1)
(1) тенглик нинг исталган қийматида бажарилади ва асосий тригонометрик айният дейилади.
(1) тенгликдан синусни косинус орқали ва аксинча косинусни синус орқали ифодалаш мумкин:
, (2)
. (3)
Энди тангенс билан котангенс орасидаги боғланишни аниқлаймиз. Тангенс ва котангенс таърифига қўра:
; .
Бу тенгламаларни кўпайтирамиз: . Демак,
. (4)
(4) тенгликдан тангенсни сотангенс орқали ва аксинча котангенсни тангенс орқали ифодалаш мумкин.
, (5)
. (6)
(4) – (6) тенгликлар бўлганда ўринли бўлади.
Асосий тригонометрик айниятдан ва тангенснинг таърифидан фойдаланиб, тангенс билан косинус орасидаги боғлиқликни топамиз. фараз қилиб, тенгликни иккала қисмини га бўламиз:
,
. (7)
Агар , яъни бўлса, (7) формула тўғри бўлади.
(7) формуладан тангенсни косинус ва косинусни тангенс орқали ифодалаш мумкин.
Бундан ташқари, асосий тригонометрик айниятда котангенс билан синус орасидаги боғлиқликни топиш мумкин.

,
. (8)