Trigonometriyalıq úshjaqlıq hám sferalıq úshmúyeshlik

ÓZBEKISTAN RESPUBLIKASI JOQARI HÁM ORTA
ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTRLIGI
Berdaq atındaġı Qaraqalpaq Mámleketlik Universiteti
Matematika fakulteti “Matematika” tálim baġdarı
1v1-kursı studenti Saparbaev Hamza
“Analitik geomtriya ” páninen
Trigonometriyalıq úshjaqlıq hám sferalıq úshmúyeshlik temasinda jazġan

KURS JUMISI

Orınlaġan : Saparbaev Hamza

Qabıllaġan : Seydullaev Abat

Nókis 2021

Mazmunı
1) Kirisiw
2) Sferik úshmúyeshlik: sferik trigonometriyaning tiykarǵı formulaları
3) Sferik trigonometriyanıń tiykarǵı formulaları. Sferik trigonometriya
4) Juwmaqlaw
5) Paydalanılġan ádebiyatlar

KIRISIW

Biz búgingi Trigonometriyalıq úshjaqlıq hám sferalıq úshmúyeshlik temasında Sferik úshmúyeshlik — sferadaǵı úsh úlken sheńber betiniń kesilisiwinen payda bolǵan úshmúyeshlik. Negizinde, Jer sırtında jasalǵan ápiwayı úshmúyeshliklerdi úyrenemiz hám esapların kórip shıġamız

Sferik úshmúyeshlik — sferadaǵı úsh úlken sheńber betiniń kesilisiwinen payda bolǵan úshmúyeshlik. Negizinde, Jer sırtında jasalǵan ápiwayı úshmúyeshlik de Cv. boladı. Sferik úshmúyeshlik kóbinese astronomık hám geodezik izertlewlerde qollanıladı.

Sferik úshmúyeshlik: sferik trigonometriyaning tiykarǵı formulaları
Astronomiyanıń kóplegen máselelerin qaraǵanımızda aspan sferasınan paydalanǵanımız ushın aspan deneleriniń kόrinetuǵın hám haqıyqıy háreketleri menen baylanıslı bolǵan kóp máselelerdi sheshiw sferik úshmúyeshlik qásiyetleri hám formulalarına tiykarlanadı. Sferanıń qandayda bir úlken sheńber tegisligi boylap jatpaytuǵın úsh noqatı arqalı ótkerilgen úlken sheńberlerdiń kesilisiwinen payda bolǵan úshmúyeshlik sferik úshmúyeshlik dep ataladı. Sferik úshmúyeshliktiń múyeshi dep, sol múyeshti quraytuǵın úlken sheńber tegislikleri payda etken eki jaqlı múyeshka aytıladı. Bul sferik múyeshler onıń ushlarınan táreplerine ótkerilgen urınbalar arasındaǵı tegis múyesh penen όlshenedi.
Sferik úshmúyeshlik sferada jatqan qálegen úsh múyeshke iye bolǵan forma emes; onıń tárepleri úlken sheńberlerdiń doǵaları bolıwı kerek. Egerde sferanıń radiusı r bolsa, AB - doǵanıń uzınlıǵı

boladı, bul jerde c - oraydan qaraǵanda AB doǵasın quraytuǵın múyesh. Bul múyesh AB táreptiń oraylıq múyeshi dep ataladı. Táreplerdiń uzınlıqları hám oraylıq múyeshler bir birine jalǵız jol menen ótkeni sebepli, tárepler ornına múyeshlerdi ańlatıw qolay. Buǵan baylanıslı, sferanıń radiusı sferik trigonometriya teńlemelerine kirmeydi. Bul jerde biz úlken (A, B, C) háripler menen sferik úshmúyeshliktiń múyeshlerin hám olarǵa keri táreplerin, yamasa anıqlaw etip aytqanda, olarǵa sáykes oraylıq múyeshlerdi kishi (a, b, c) háripler menen belgileymiz.
Sferik úshmúyeshlik ishki múyeshleriniń jıyındısı 180° úlken bolıp 540° dan kishi boladı. Sferik úshmúyeshlik ishki múyeshleri jıyındısı hám 180° arasındaǵı parq sferik arttırıw dep júritiledi.
(1.17)
Sferik arttırıw menen sferik úshmúyeshliktiń beti arasında tómendegi baylanıs bar:
(1. 18)
bul jerde R-sfera radiusı. Tegisliktegi úshmúyeshlik, sferik úshmúyeshlikten keskin parq etkeni ushın onıń formulaların sferik úshmúyeshlik ushın qollap bolmaydı.

1.17-Súwret. Sferik úshmúyeshlik

Sol sebepli sferik úshmúyeshlik ushın bólek formulalardı kórip shıǵamız. Ushları A, B hám C noqatlarda jatqan sferik úshmúyeshlik, radiusı R hám orayı O noqatda bolǵan sferada jatsın(1. 19 -súwret). B hám C noqatlarınan ótken radius baǵıtları OB hám OC lardı A ushınan b hám c táreplerine ótkerilgen urınbalar menen kesiliwge shekem dawam ettiremiz. Bul kesilisken noqatlar (K hám L) dı óz-ara tutastırıp, bir tárepi (KL) ulıwma bolǵan eki teń qaptallı AKL hám OKL úshmúyeshliklerdi payda etemiz. Bul úshmúyeshliklerdiń ulıwma tárepi KL dıń úlkenligin hár eki úshmúyeshlikten bólek-bólek tapsaq,
AKL den: (1. 19 )
OKL den: (1. 20 )
(1. 20 ) den (1. 19 ) dı ayırsaq:
(1. 21)
Endi AKO hám ALO úshmúyeshlikler tuwrı múyeshli ekenliginen paydalanıp, olardan tabılǵan radius,
, (1. 22)
boladı. Sonıń menen birge, bul úshmúyeshliklerden:

yamasa , yamasa
yamasa , yamasa
Bul ańlatpalardı (1. 21) ga qoyıp ıqshamlap, tómendegi teńlemeni payda etemiz:

jáne onı 2R² qa bόlsek,
yamasa
(1.23)
Demek, sferik úshmúyeshlikte bir tárepiniń kosinusı, qalǵan eki tárepiniń kosinusları menen sol tárepler sinusları hám olar arasındaǵı múyesh kosinusınqa kóbeymesiniń jıyındısına teń boladı. (1. 23) formulanı sferik úshmúyeshliktiń basqa tárepleri ushın da jazıw múmkin.
(1.24)
(1.25)
Bul teńlemelerden (1. 24) formuladaǵı cosα orınına (1. 23) teńlemeniń oń tárepin qoysaq, ol jaǵdayda:



ǵa almastırıp, barlıq aǵzaların sinc ga bόlsek :

yaki
. (1.26)
Sonıń menen birge:
_, (1.26')
, (1.27)

sonday eken, sferik úshmúyeshlikte qandayda bir tárepi sinusınıń sol tárepke japısqan múyesh kosinusına kόbeymesi, múyeshti shegaralaytuǵın ekinshi tárep sinusınıń úshinshi tárep kosinusına kóbeymesinen shegaralaytuǵın tárep kosinusin úshinshi tárep sinusına hám keyingi eki tárep arasındaǵı múyesh kosinusı kóbeymesiniń ayırǵanǵa teń. (1. 26 -1. 27) formulalar sferik úshmúyeshlik ushın bes elementli formulalar dep júritiledi. Endi (6 ) teńlemeni cosA ǵa salıstırǵanda anıqlap, sinuslar formulaların tabamız.

(1.28)
Eki tárepin kvadratqa kóterip:
(1.29)
payda etemiz. 1 den (1. 29 ) dıń hár eki tárepin ayırsaq:
(1.30)
bul jerde ni menen almastırıp, teńliktiń eki tárepin ǵa bόlsek :

Yamasa:

Qawsırmalardı ashıp, jıynasaq:

Demek,
(1.31)
alınǵan nátiyje a, b, s lar ushın simmetrik bolǵanınan


Payda etilgen úsh teńlemelerdiń oń tárepleri teń bolǵanınan


(1.32)
yaǵnıy, sferik úshmúyeshlik qálegen múyeshi sinusınıń, bul múyesh aldındaǵı tárep sinusına qatnası ózgermeytuǵın shama bolıp tabıladı.
Egerde biz a, b hám c tárepleri júdá kishi (nolge umtılıwı múmkin degen limit) dep qabıl qılsaq, ol jaǵdayda sferik úshmúyeshlik tegisliktegi úshmúyeshlikke aylanadı. Egerde hámme múyeshler radiandarda kórsetilgen bolsa, ol jaǵdayda biz tómendegi formulalarǵa iye bolamız :
(1. 33)
Bul approksimatsiyalardı kosinuslar formulasına qoyıw arqalı biz tegislik geometriyasındaǵı sinuslar formulasına kelemiz:
(1. 34)
Tap sol jol menen sferik trigonometriyadaǵı kosinuslar formulasınan tegisliktegi kosinuslar formulası
(1. 35)
dı keltirip shıǵarıwımız múmkin.