Туннельный эффект. Гармонический осциллятор в квантовой механики План Туннельный эффект. Стационарные задачи квантовой механики

Стационарные задачи квантовой механики.
Волновая функция стационарного состояния частицы имеет вид
,
где функция является решением стационарного уравнения Шредингера , или в развернутой форме
,
где потенциальная энергия явно не зависит от времени, полная энергия в каком-либо квантовом состоянии имеет определенное значение, плотность вероятности не зависят от времени.


Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.


Одномерная потенциальная яма. Потенциальная энергия частицы имеет вид


0,

, ,
то есть, внутри ямы потенциальная энергия
равна нулю, а вне ямы обращается
в бесконечность (рис.1).
Для того, чтобы выполнялось
уравнение Шредингера

для одномерного движения частицы
вдоль оси x, функция вне ямы и на её краях должна обращаться в нуль.
Задача сводится к решению уравнения
Шредингера
(1)
внутри ямы:
с граничными условиями: , где

. (2)

Решение уравнения (1) хорошо известно из теории колебаний. Запишем это решение в виде
. (3)


Из граничного условия при следует, что .


Другое граничное условие приводит к квантованию энергии:
.(4)
Учитывая (2), получаем квантованные значения допустимой энергии частицы
, (5)
где n – квантовое число, а соответствующее ему значение называется уровнем энергии.
Первые три уровня энергии изображены на рис.1, слева. Состояние частицы с наименьшей энергией , ( ) называется основным (невозбужденным) состоянием, все остальные состояния являются возбужденными. Для того, чтобы перейти из основного в возбужденное состояние, частица должна получить энергию извне, равную .